1362
.pdf
5 |
|
(x - 1)2 = 0,6 × e x |
|
6 |
2 x × (x + 0,1) = 0,9 |
||||||
7 |
1,1 |
× ln x = (- 0,9) × (x + 1) |
3 |
8 |
|
|
|
1,1 |
|
||
1 + x = |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
x + 1,2 × lg x = 1 |
|
10 |
1,2 × (x + 0,7) = 2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
|
ln x + (x + 1)3 = 0 |
|
12 |
(x - 3) × cos x = 1 |
||||||
13 |
|
tg(0,55x + 0,1) = x 2 |
|
14 |
lg(2 + x) + 2x = 3 |
||||||
Порядок выполнения работы
1.Отделите графически один из корней уравнения f (x) = 0 так, чтобы на отрезке изоляции
корня выполнялись условия, необходимые для применения метода.
2. Составьте программу уточнения корня с точностью до ε , результат работы которой должен быть в виде таблицы
n |
|
an |
|
bn |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
где n – номер итерации, an |
и bn – |
начальная и конечная точки вложенных отрезков, ln – длина вло- |
||||
женного отрезка. |
|
|
|
|
|
|
3.Найти приближенное значение корня, записать результат с верными значащими цифрами.
Задачи для раздела 3. |
|
|
|
|
|
Дана таблица значений функции |
f (x) = e x - sin x с верными цифрами: |
||||
x |
|
f (x) |
|
x |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1,0 |
1,8768 |
0,1 |
|
1,0053 |
|
1,1 |
2,1130 |
0,2 |
|
1,0227 |
|
1,2 |
2,3881 |
0,3 |
|
1,0543 |
|
1,3 |
2,7057 |
0,4 |
|
1,1024 |
|
1,4 |
3,0696 |
0,5 |
|
1,1693 |
|
1,5 |
3,4842 |
0,6 |
|
1,2575 |
|
1,6 |
3,9536 |
0,7 |
|
1,3695 |
|
1,7 |
4,4823 |
0,8 |
|
1,5082 |
|
1,8 |
5,0758 |
0,9 |
|
1,6763 |
|
1,9 |
5,7396 |
1.Вычислите приближенное значение f (a) с помощью первого интерполяционного многочлена
Ньютона второй степени, определите его абсолютную погрешность и верные значащие цифры.
2.Линейным интерполированием найдите значения функции |
f для аргументов a, b и опреде- |
||||||
лите их верные значащие цифры с помощью таблицы конечных разностей. |
|||||||
Все исходные данные считать точными числами. |
|
|
|
|
|||
Вариант |
a |
b |
Вариант |
a |
|
b |
|
1 |
0,38 |
0,35 |
8 |
0,71 |
|
0,75 |
|
2 |
1,02 |
1,07 |
9 |
0,85 |
|
0,83 |
|
3 |
1,15 |
1,18 |
10 |
0,96 |
|
0,92 |
|
4 |
1,22 |
1,24 |
11 |
0,12 |
|
0,18 |
|
5 |
1,36 |
1,31 |
12 |
0,23 |
|
0,26 |
|
11
6 |
0,59 |
0,54 |
13 |
1,58 |
1,55 |
7 |
0,63 |
0,68 |
14 |
0,44 |
0,47 |
Задачи для раздела 4.
Задание
1.Вычислите данный интеграл по формуле трапеций при n = 3 и при n = 6 . Оцените по-
грешность приближения I 6(T ) методом двойного пересчета, а затем найдите абсолютную погрешность этого приближения по формуле строгой оценки погрешности.
2.Вычислите данный интеграл по формуле Симпсона с точностью до ε = 0,5 ×10−4 .
3.Вычислите интеграл по формуле Ньютона-Лейбница с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах.
4.Сравните полученные результаты по их точности.
Варианты заданий
Вариант |
|
|
|
|
Интеграл |
Вариант |
|
|
Интеграл |
|
π |
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ cos(1 − 2x) dx |
2 |
∫ cos x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
∫ e2x dx |
4 |
∫ cos 3x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (x − e2 x )dx |
|||
5 |
∫ sin 2x dx |
6 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
∫ (3x + cos x)dx |
|||
7 |
1 + x |
8 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
∫ e x |
2 dx |
10 |
∫ sin(x + 1)dx |
|||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1,5 |
(1 + x + x 4 )dx |
|
3 |
|
|
|||
11 |
∫ |
12 |
∫ e−3x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
∫ ln(2x + 3)dx |
|
∫ |
|
dx |
||||
13 |
14 |
x − 1 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Указания к работе
При вычислении по формуле Симпсона нужно сначала определить число n , при котором формула обеспечивает точность ε , затем составить программу реализации формулы и с ее помощью найти
I n(C ) . Чтобы не учитывать вычислительные погрешности, шаг разбиения и значения функций следует брать с двумя запасными цифрами.
Задачи для раздела 5.
12
Задание
Используя метод Эйлера-Коши, найдите численное решение дифференциального уравнения на отрезке
[a,b] с шагом h = 0,1, |
удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 (в таблицу подставлять |
|||||||
улучшенные значения y* |
|
|
|
h |
||||
, найденные двукратным вычислением с шагом |
|
=0,05). Оцените погрешно- |
||||||
|
||||||||
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти чисел yi* |
методом двойного пересчета и определите верные значащие цифры этих чисел. Начертите |
|||||||
ломаную Эйлера. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
Уравнение |
x0 |
y0 |
|
[a,b] |
||
1 |
|
y ' = x + y |
|
0 |
0,8 |
[0,1] |
|
|
2 |
|
y ' = x + cos y |
1,8 |
2 |
[1,8; 2,8] |
|
||
3 |
|
y ' = e x + y |
|
0 |
1,2 |
[0,1] |
|
|
4 |
|
y' = xy + sin x |
0 |
2 |
[0,1] |
|
||
5 |
|
y ' = x + 3 sin y |
1,6 |
2 |
[1,6; 2,6] |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
y' = ex + y |
|
0 |
-1 |
[0,1] |
|
|
7 |
|
y' = xy + ex |
|
-1 |
0,5 |
[− 1,0] |
|
|
8 |
|
y' = x + y2 |
|
-2 |
0 |
[− 2,−1] |
|
|
9 |
|
y' = sin(x − y) |
1 |
3 |
[1,2] |
|
||
10 |
|
y' = cos(x + y) |
2 |
0 |
[2,3] |
|
||
11 |
|
y' = y + cos x |
|
2 |
0 |
[2,3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
y' = x2 + y |
|
1 |
0 |
[1,2] |
|
|
13 |
|
y' = x + e y |
|
1 |
-1 |
[1,2] |
|
|
14 |
|
y' = x + sin y |
1,5 |
3 |
[1,5; 2,5] |
|
||
Порядок выполнения
1.Убедиться в существовании и единственности решения поставленной задачи Коши.
2.Вычислить «вручную» y1* и оценить его погрешность.
3.Составить программу вывода таблицы
xi |
yi* |
yi |
Ei |
|
|
|
|
где yi – приближение к значению точного решения в точке xi , найденное однократным вычислением по методу Эйлера-Коши с шагом h = 0,1, Ei – оценка погрешности значения
4.Получить искомое численное решение, выписывая табличные значения с верными значащими цифрами.
5.Построить соответствующую ломаную Эйлера.
13
Задачи для раздела 6.
Задание
Дана система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены которой являются точными числами. Найдите ее приближенное решение с точностью до ε = 0,5 ×10−3 .
Системы уравнений по вариантам |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Исходная система: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Mx1 − 0,04x2 + 0,21x3 − 0,18x4 = −1,24 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ Nx3 − 0,09x4 = P |
|
|
|
|||||||
0,25x1−1,23x2 |
|
|
|
|||||||||||||
− 0,21x |
+ Nx |
2 |
+ 0,80x |
3 |
− 0,13x |
4 |
= 2,56 |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,15x − 0,31x |
2 |
+ 0,06x |
3 |
+ Px |
4 |
= M |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
M |
|
|
|
|
N |
|
|
|
P |
|
|
Вариант |
M |
N |
P |
1 |
-0,77 |
|
|
|
0,16 |
|
|
|
1,12 |
|
8 |
0,89 |
0,08 |
-1,21 |
||
2 |
0,93 |
|
|
|
0,07 |
|
|
|
-0,84 |
|
9 |
-1,13 |
0,14 |
0,87 |
||
3 |
-1,14 |
|
|
|
-0,17 |
|
|
|
0,95 |
|
10 |
0,91 |
-0,23 |
-1,04 |
||
4 |
1,08 |
|
|
|
0,22 |
|
|
|
-1,16 |
|
11 |
1,25 |
-0,14 |
-1,09 |
||
5 |
0,87 |
|
|
|
-0,19 |
|
|
|
1,08 |
|
12 |
0,79 |
0,18 |
-0,86 |
||
6 |
-1,21 |
|
|
|
0,20 |
|
|
|
0,88 |
|
13 |
0,79 |
0,18 |
-0,86 |
||
7 |
1,09 |
|
|
|
-0,16 |
|
|
|
0,84 |
|
14 |
-1,19 |
-0,21 |
1,21 |
||
Порядок выполнения работы
1.Преобразуйте систему к приведенному виду с выполнением условий сходимости итерационной последовательности.
2.Возьмите в качестве начального приближения вектор свободных членов приведенной системы и найдите вручную первое приближение. Затем определите его абсолютную погрешность и проверьте условие окончания итерационного процесса.
3.Составьте программу вычисления приближений до достижения требуемой точности с выводом на каждом шаге значений:
|
k |
x1 |
|
x2 |
x3 |
|
x4 |
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь x1 , x2 , x3 , x4 – |
координаты векторов-приближений, Ek – |
абсолютные погрешности этих век- |
|||||||
торов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найдите приближенное решение системы и выпишите его координаты с верными значащими цифрами.
14
4. Методические указания по организации самостоятельной работы
4.1 Общие рекомендации для самостоятельной работы
ДЛЯ ВСЕХ
Самостоятельная работа студентов является основным способом овладения учебным материалом в свободное от обязательных учебных занятий время.
Целями самостоятельной работы студентов являются:
-систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
-углубление и расширение теоретических знаний;
-формирование умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;
-развитие познавательных способностей и активности студентов:
-формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.
Запланированная в учебном плане самостоятельная работа студента рассматривается как связанная либо с конкретной темой изучаемой дисциплины, либо с подготовкой к курсовой, дипломной работе, а также к защите ВКР. В данном разделе рассматривается только самостоятельная работа первого вида.
Самостоятельная работа выполняется в два этапа: планирование и реализация. Планирование самостоятельной работы включает:
-уяснение задания на самостоятельную работу;
-подбор рекомендованной литературы;
-составление плана работы, в котором определяются основные пункты предстоящей подготовки. Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в работе.
На втором этапе реализуется составленный план. Реализация включает в себя:
-изучение рекомендованной литературы;
-составление плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу);
-взаимное обсуждение материала.
Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал. Оставшаяся восполняется в процессе самостоятельной работы. В связи с этим работа с рекомендованной литературой обязательна.
Работа с литературой и иными источниками информации включает в себя две группы приемов: техническую, имеющую библиографическую направленность, и содержательную. Первая группа – уяснение потребностей в литературе; получение литературы; просмотр литературы на уровне общей, первичной оценки; анализ надежности публикаций как источника информации, их относимости и степени полезности. Вторая – подробное изучение и извлечение необходимой информации.
Для поиска необходимой литературы можно использовать следующие способы:
-поиск через систематический каталог в библиотеке;
-просмотр специальных периодических изданий;
-использование материалов, размещенных в сети Интернет.
Для того, чтобы не возникало трудностей понимания текстов учебника, монографий, научных статей, следует учитывать, что учебник и учебное пособие предназначены для студентов и магистрантов, а монографии и статьи ориентированы на исследователя. Монографии дают обширное описание проблемы, содержат в себе справочную информацию и отражают полемику по тем или иным дискуссионным
15
вопросам. Статья в журнале кратко излагает позицию автора или его конкретные достижении в исследовании какой-либо научной проблемы.
В процессе взаимного обсуждения материала закрепляются знания, а также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний, развивается речь.
При необходимости студенту следует обращаться за консультацией к преподавателю.
Составление записей или конспектов позволяет составить сжатое представление по изучаемым вопросам. Записи имеют первостепенное значение для самостоятельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого материала, выделить основные положения, проследить их логику.
Ведение записей способствует превращению чтения в активный процесс. У студента, систематически ведущего записи, создается свой индивидуальный фонд подсобных материалов для быстрого повторения прочитанного. Особенно важны и полезны записи тогда, когда в них находят отражение мысли, возникшие при самостоятельной работе.
Можно рекомендовать следующие основные формы записи: план, конспект, тезисы, презентация. План – это схема прочитанного материала, краткий (или подробный) перечень вопросов, отражающих структуру и последовательность материала. Подробно составленный план вполне заменяет
конспект.
Конспект – это систематизированное, логичное изложение материала источника. Объем конспекта не должен превышать 10 страниц. Шрифт Times New Roman, кегль 14, интервал 1,5. Список литературы должен состоять из 5-8 источников, по возможности следует использовать последние издания учебных пособий и исследований.
Тезисы — это последовательность ключевых положений из некоторой темы без доказательств или с неполными доказательствами. По объему тезисы занимают одну страницу формата А4 или одну – две страницы в ученической тетради. В конце тезисов студент должен сделать собственные выводы.
Презентации по предложенной теме составляются в программе Power Point или Impress. Количество слайдов должно быть не менее 15 и не превышать 20 слайдов. Кроме текста на слайдах можно создавать схемы и таблицы. Шрифт должен быть читаемым, например, шрифт черного цвета на светлом фоне или светлый шрифт на темном фоне. Также шрифт не должен быть слишком мелким. В слайдах указываются только основные тезисы, понятия и нормы.
4.2Темы для самостоятельного изучения
1.Метод наименьших квадратов.
2.Метод сжимающих отображений.
3.Метод Якоби.
4.Метод Зейделя.
5.Метод Коши.
6.Метод релаксации.
7.Метод покоординатного спуска.
8.Метод прогонки.
9.Интерполяционный полином Лагранжа.
10.Правило Рунге оценки погрешностей.
4.3Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
16
4.4 Задания для самостоятельной работы
Раздел 1. Элементы теории погрешностей. Элементы машинной арифметики.
Написать реферат по согласованной теме.
Раздел 2. Решение нелинейных уравнений
Изучить метод сжимающих отображений.
Раздел 3. Численные методы теории приближений
Написать реферат по согласованной теме.
Раздел 4. Численные методы интегрирования и дифференцирования
Изучить методы численного дифференцирования, их сходимость и корректность.
Раздел 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод Коши.
Раздел 6. Решение систем линейных уравнений.
Написать реферат по согласованной теме.
17
Юрченко Т.В.
Вычислительная математика
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям, практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы и выполнению курсовых работ)
для обучающихся по дисциплине «Вычислительная математика» по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия профиль Разработка программно-информационных систем
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru