Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1330

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

194.28 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра сопротивления материалов и теории упругости

С.Ю.Лихачева, Д.А.Кожанов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Методические указания к выполнению контрольных работ по АЗМДТТ

Нижний Новгород ННГАСУ

2013

УДК 539.3

Решение задач механики методом конечных элементов: метод. указ. к выполнению контр. работ по АЗМДТТ/Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. С.Ю. Лихачева, Д.А. Кожанов – Н. Новгород: ННГАСУ, 2013. – 17 c.

Методические указания предназначены для студентов различных направлений и специальностей, изучающих основы метода конечных элементов. Разобраны задачи на операции с матрицами, интерполирование с использованием функций формы и численное интегрирование функций. Даны задания для самостоятельной работы.

Составители: С.Ю. Лихачева

Д.А. Кожанов

Содержание

Задача 1.1. Матричный вид системы из 4-х уравнений:..............................................................................		4
Задача 1.2. Перемножение вектора-сроки на вектор-столбец.....................................................................		5
Задача 1.3. Произведение матрицы оператора и матрицы-функции..........................................................		6
Задача 2.	Определение температуры во внутренней точке конечного элемента ......................................	7
Задача 3.	Интегрирование в изопараметрическом двумерном конечном элементе................................	12

Литература……………………...…….……………………………………………………………………...14

Задача 1.1.

Записать в матричном виде систему из 4-х уравнений:

x + 5x − 31x + 4x −8 = 38
	1	3	1	4
13 + x2 +15x3 − x2 +15x3 + 32x1 = 0
		−15x3	− 2x2 − 4x4 −8 = 3
6x4
2x +14x = 6x − 3
	2	4		4

Общий вид записи уравнений в матричном виде:

					a		a	a	a	...		x			b
						11	12	13	14				1		1
					a21		a22	a23	a24...			x2			b2
[A]{x} = b, где [A]					= a		a	a	a	...	, x =	x		, b =	b
						31	32	33	34				3		3
							a42	a43
					a41		a42	a43	a44...			x4			b4
					... ... ...				......			...			...

aij - коэффициенты при			j -ой переменной в i -ой строке.
bi - правая часть i -ой строки.
xi - неизвестные переменные.
Запишем в каноническом виде данную систему уравнений:
				−31x1 + 0x2 + 5x3 + 4x4 = 46
						+ 0x2 + 30x3			+ 0x4 = −13
				32x1		+ 0x2 + 30x3			+ 0x4 = −13

				0x1 − 2x2 −15x3 + 2x4 =11
				0x + 2x + 0x +8x = −3
					1		2	3	4

В данном случае i =	1,4	,	j =	1,4	.
Тогда [A] имеет вид:
						−31		0	5	4
							32	0	30
				[A]			32	0	30	0
				[A]		=	0 −2		−15 2
							0	2	0	8
							0	2	0	8

Вектор столбец переменных xi и вектор столбец правой части имеют вид:

x1	46

x2	−13
{x}=	, {b}=		.
x3		11
x		−3
4

Задача 1.2.

Необходимо вычислить {A}{B}T и {A}T {B}, если исходные матрицы имеют вид:

x + y

	2x
	2x
{A}=	−6
	−6

x −4y

	x

2y − x
{B}=
x	−6y
	y	2
	y

Для того чтобы умножить вектор-строку на вектор-столбец необходимо применить алгоритм матричного умножения.

Алгоритм умножения вектора-столбца на вектор-строку и обратно:

a		b
1		1
a2		b2

{A}= a3		{B}= b3

a4		b4
...		...

Транспонированный вид векторов {A} и {B}:

{A}T = [a1	a2	a3	a4...]
{B}T = [b1	b2	b3	b4...]

Тогда произведение {A}{B}T находится следующим образом:

	a					a b
	1					1 1
	a2					a2b1
T						...]= a3b1
{A}{B}	= a3	[b1	b2	b3	b4	...]= a3b1

	a4					a4b1
	...					...

a1b2	a1b3	a1b4	...

a2b2	a2b3	a2b4	...
a3b2	a3b3	a3b4	...

a4b2	a4b3	a4b4	...
...	...	...
...	...	...	...

В итоге получаем матрицу размерностью n× m, где n - размерность вектора {A}, m - размерность матрицы {B}T .

Произведение {A}T {B} находится следующим образом:

				b
				1
				b2
T	a2	a3	a4		= a1b1	+ a2b2	+ a3b3 + a4b4 +...
{A} {B}= [a1	a2	a3	a4	...] b3	= a1b1	+ a2b2	+ a3b3 + a4b4 +...

				b4
				...

x + y			x
	2x
	2x	2y − x
В нашем случае {A}=		{B}=			.
	−6	x	−6y
			y	2
x −4y			y
Транспонируем заданные вектора {A}		и {B}:

{ }

[

]

x + y 2x −6 x − 4y

{B}T =

x 2y − x x − 6y y2

Найдем произведение {A}{B}T :

x + y

x 2y − x x −6y y

{A}{B} =

−6

x − 4y

(x + y) x

(x + y)(2y − x)

(x + y)(x − 6y)

(x + y) y2

2x(2y − x)

2x(x −6y)

2xy

−6x

−6(2y − x)

−6(x −6y)

−6y2

(x − 4y)x (x − 4y)(2y − x) (x − 4y)(x − 6y) (x − 4y) y2

Найдем произведение{A}T {B}:

2y − x

{A} {B}=

[x + y 2x −6 x − 4y]

x −6y

= (x + y) x + 2x(2y − x)−6(x −6y)+ (x − 4y) y2 .

Задача 1.3.

Найти произведение [A][B] :

	1		∂2

		∂y		2
		∂y
			∂
[A]=	1
[A]=	1		∂x
			∂x
	∂2	0

	∂x∂y
	∂x∂y

Для того, чтобы умножить матрицу

x2	x2 y	0
[B]=	x + y	y	2
2
[A], размерностью			m× n на матрицу [B],

размерностью n k необходимо применить алгоритм матричного умножения, описанный выше. В результате получится матрица, размерностью m k :

a11	a12	a13	a14...	b11
				b11

a21	a22	a23	a24...
a21	a22	a23	a24...	b21
[A]= a31	a32	a33	a34...	, [B]= b31
	a42	a43
a41	a42	a43	a44...	b41
		...
... ...		...	......	...

b12	b13	b14	...
b22	b23
b22	b23	b24...
b	b	b	... .
32	33	34
b42	b43	b44	...
...	...
...	...	......

∑a1kbk1

∑a1kbk2

∑a1kbk3

k=1

∑a2kbk1

∑a2kbk 2

∑a2kbk3

k=1

[A][B]=

∑a3kbk1

∑a3kbk2

∑a3kbk3

k=1

∑a4kbk1

∑a4kbk 2

∑a4kbk3

k=1

...

Для заданных матриц [A]

и [B]:

∂2

∂y

[A][B]=

∂

x2 y

∂x

x + y

∂2

∂x∂y

1 x2 +

∂2

(2)

1 x2 y +

∂2

(x + y)

∂y

∂

(2)

∂

(x + y)

1 x

2 +

1 x2 y +

∂x

∂2

(x2 )+ 0 2

∂2

(x2 y)+ 0 (x + y)

∂x∂y

= x2

x2 y +1

n
∑a1kbk4	...
k=1
n
∑a2kbk4	...
k=1
n
∑a3kbk4	...
k=1
n
∑a4kbk4	...
k=1
...
...	...

0 y2 =

1 0 + ∂∂y22 (y2 )

1 0 +		∂	(y2 )	=
1 0 +		∂x	(y2 )	=
		∂x

∂2	(0)+ 0 y2

∂x∂y
∂x∂y

Задания для самостоятельной работы

1.1. Записать в матричной форме систему 4-х уравнений:

x1+5x3-32x1+4x4-8=38

2x2+14x4 =156

x2+15x3+32x1=0

6x4-15x3-2x2-4x4 -8=3

1.2. Вычислить произведение {А}{В}Т и{А}Т {В}

− 2

2x -3

={А},

={В}

- 6y

2y3

x + 4y

1.3. Найти произведение [A][B]

∂

∂y

x2 y

∂

[A]=

[B]=

∂x

2 x + y

∂

∂x∂y

Задача 2.

В системе координат x, y задан трех - узловой конечный элемент. Известно значение

температуры в узлах КЭ. Необходимо определить значение температуры TK

во внутренней

точке КЭ, если узел 1 имеет координаты (0,0)

и T = 50 C , узел 2 - (5,0) и T = 20 C , узел 3

- (2,4)

и T2

= 35 C . Внутренняя точка K имеет координаты (3,1.5).

Найдем значение температуры в точке K , используя обычный интерполяционный

полином с тремя неизвестными коэффициентами:

						9
a1 + a2 x + a3 y = T
a1,a2 ,a3 = ?
Найдем коэффициенты a1,a2 ,a3 из условия, что значение температуры в узловых
точках известно:
a + a			0 + a 0 = 50
1		2	3
a1 + a2 5+ a3 0 = 20
	+ a2		2+ a3 4 = 35
a1	+ a2		2+ a3 4 = 35
Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, получаем значения
a1,a2 ,a3 :
a1 = 50
a2 = −6
a3 = −0,75
Тогда T = 50 − 6 3− 0,75 1,5 = 30,8750С .
			K
Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения. То есть изобразим
температурное поле T .
	T
	50
	40
					Tk
	30
						y
	20
	10				3
	10
			1		.	2
			1		K
					K
			1	2	3	4
Проинтерполируем функцию температуры с использованием функций формы.

TK = N1KT1 + N2KT2 + N3KT3

N1 = b1 + b2 x + b3 y

N2 = c1 + c2 x + c3 y

N1 = d1 + d2 x + d3 y

Необходимо найти коэффициенты bi ,ci ,di ,i =1,3. Используем для их нахождения

одно из свойств функций формы []: «Функция формы принимает единичное значение в своем узле и нулевое во всех остальных». Тогда для N1 получим систему вида:

b + b 0+ b 0 =1
	1	2	3
b1 + b2 5+ b3 0 = 0
b + b 2 + b 4 = 0
	1	2	3

Отсюда:

b1 = 1

b2 = −0,2 b3 = −0,15

Для коэффициентов ci :

c + c		0+ c 0 = 0
1	2	3
c1 + c2 5+ c3 0 =1
	+ c2	2 + c3 4 = 0
c1

c1 = 0 c2 = 0,2 c3 = −0,1

Для коэффициентов di :

d + d		0+ d		0 = 0
1	2		3
d1 + d	2 5+ d3 0 = 0
		2 + d3 4 = 1
d1 + d2		2 + d3 4 = 1

d1 = 0

d2 = 0

d3 = 0,25

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023194.06 Кб01326.pdf
#
21.11.2023194.09 Кб11327.pdf
#
21.11.2023194.23 Кб01328.pdf
#
21.11.2023194.23 Кб01329.pdf
#
21.11.202394.14 Кб0133.pdf
#
21.11.2023194.28 Кб01330.pdf
#
21.11.2023194.32 Кб01331.pdf
#
21.11.2023194.58 Кб01332.pdf
#
21.11.2023194.67 Кб01333.pdf
#
21.11.2023194.74 Кб11334.pdf
#
21.11.2023194.77 Кб01335.pdf