1067

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.П. Бех

ЗАДАЧИ НАДЕЖНОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Вероятностные методы строительной механики

итеория надежности строительных конструкций» для обучающихся по направлению подготовки

08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализация Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК -------

Бех Л.П. Задачи надежности строительных конструкций [Электронный ресурс]: учеб.-метод.пос./ Бех Л.П.; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ , 2016. – 14; ил., электрон. опт. диск (CD-R)

Пособие содержит примеры расчета строительных конструкций на надежность с позиций вероятностного подхода.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным и

© Л. П. Бех, 2016

© ННГАСУ, 2016

Пример.

Событие А - разрушение здания в сейсмическом районе, p = 0,1 - вероятность разрушения его в течение первого года. Тогда q =1 - p - вероятность неразрушения в течение первого. Тогда Р2(А)=1-0.92=0.19, Р3(А)=1-0.93=0.271, Р10(А)=1-0.910=0.651, Р20(А)=1- 0.920=0.878, Р50(А)=1-0.950=0.995, где Pn(A) – вероятности разрушения здания за n лет.

Т.о. функция надежности (зависимость вероятности не разрушения от пройденного количества лет) от значения 1 асимптотически приближается к ОХ.

Пример.

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление Ry = 240 МПа, матожидание предела текучести Ry = 260 МПа, стандарт предела текучести σ(Ry) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

v(R y ) = σ (Ry ) / Ry = 20 / 260 = 0.077 (7,7%).

Решение:

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

где σ - напряжение, действующее в стержне.

Значение P(σ) – есть вероятность того, что случайный предел текучести Ry будет меньше действующего напряжения σ, т.е. вероятность разрушения. Через интеграл

3 − 4 : P(154.3) ≈ 0 , 4 − 7 : P(104.4) ≈ 0 .

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - Pc(r) = (1-0.0239)4×(1-0.0082)2×(1-0.0256)2=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок,

вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

Пример.

Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность

(предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь

С245, Ry=240 МПа, Ry = 260 МПа – м.о. предела текучести; σ(Ry)=25 МПа (достаточно

большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Решение:

Вычисляем усилия в стержнях.

А) SМА=-N×3a+N1×2a+ N2×a=0,

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2).

Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого Pa;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – Pб;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – Pв;

А) Ра=(1-Р1(σ1а))(1 - Р2(σ2а)), где Р1(σ1а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения s1).

(1-Р1(σ1а)) – вероятность неразрушения стержня 1; (1-Р2(σ2а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не

разрушился.

системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при l1 / l2 = 2 . При увеличении разброса прочности s(Ry) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки

(кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).

Пример.

Случайная нагрузка распределена по нормальному закону. F =100кН, s(F)=10 кН.

Предел текучести Ry=230 МПа. Определить площадь сечения растянутого стержня А, при которой обеспечивается вероятность неразрушения P=0.99.

Решение:

По (12.10) P = 0.5 +Ф(β) = 0.99 → характеристика безопасности b =2,33. Учитывая несущую способность R=A×Ry по (8.10) имеем

β= A × Ry - F ,

σ(F )

где σ(R) = σ( ARy ) = 0 , откуда площадь

При детерминированном расчете, если усилие F определено и равно F :

A=F/Ry = 4.35 (см2),

Разница результатов =18,8%.

Пример.

Нагрузка F и предел текучести Ry – случайны, распределены нормально. F =100 кН, s(F)=10 кН, Ry = 230 МПа, s(Ry)=10 МПа, А = 5,36 (см2). Определить вероятность неразрушения растянутого стержня.

Решение:

Несущая способность вычисляется по формуле:

R=A×Ry.

Математическое ожидание несущей способности

По таблице I [7] находим, что такой коэффициент соответствует значению интеграла вероятностей Ф(t) = 0,490.

Тогда вероятность непревышения расчетного сопротивления составляет

0,5 - Ф(t) = 0,50 - 0,49 = 0,01,

что соответствует обеспеченности P = 1 - 0,01 = 0,99.

Именно такое значение обеспеченности приведено для древесных плит в п. 3.15 Пособия по проектированию деревянных конструкций.

Решим эту же задачу для случая действия только кратковременной нагрузки малой продолжительности, соизмеримой с длительностью стандартных испытаний (например,

при сейсмической нагрузке), когда mдл = 1. Тогда

Ф(t) = 0,499985; 0,5 - Ф(t) = 1,5*105.

Обеспеченность в этом случае составляет P = 1 - 1,5*105 = 0,999985

Таким образом, при совместном действии длительной и кратковременной

(снеговой) нагрузок в течение примерно 2 месяца может разрушиться 1 образец древесных плит из 100, а при кратковременном нагружении до напряжений σ = Rн - только 15

образцов из 1000000 (МИЛЛИОНА) или 1 из 66667.

Пример.

Проверить сжатый элемент фермы покрытия на устойчивость.

Исходные данные

Поперечное сечение из спаренных уголков 75х5, профили гнутые.

Площадь сечения А = 14,78 см2, радиусы инерции ix = 2,31 см, iy = 3,35 см, длина элемента l

= 185 см.

Материал сталь В Ст3 кп, ГОСТ 380-71*.

Кровля двухскатная, угол наклона пояса α = 15o .

Покрытие бесфонарное. Снеговой район IV.