932

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образо-

вания «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

О.Л.Любимцева

Моделирование процессов

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям и практическим занятиям для обучающихся по дисциплине: «Моделирование процессов», направления подготовки 27.03.01 «Стандартизация и метрология»,

профиль «Стандартизация и сертификация»

Нижний Новгород

2016

УДК 658.5 (075.8)

Любимцева О.Л. Моделирование процессов [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос./ О.Л. Любимцева; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т, -Н.Новгород: ННГАСУ, 2016. - с. - 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В учебно-методическом пособии приводятся характеристики содержания курса лекций и практических занятий по разделам с указаниями к самостоятельной работе студентов, включая типовые задания и пример оформления задачи.

Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине: «Моделирование процессов», направления подготовки 27.03.01: «Стандартизация и метрология», профиль: «Стандартизация и сертификация».

© О. Л. Любимцева, 2016

© ННГАСУ, 2016.

3

Целью освоения дисциплины «Моделирование процессов» является формирование основных понятий теории моделирования, теоретических зна-

ний относительно классификации моделей и практических навыков построе-

ния регрессионных моделей на основе статистических исследований.

Для освоения дисциплине необходимо знать основные понятия математики,

математической статистики и наиболее часто востребованные математиче-

ские модели.

Характеристика содержания лекций

Материал курса разделен на 6 разделов. Курс лекций начинается с вве-

дения основных понятий и определений. Формулируются цели и принципы моделирования, виды моделей. Этот материал формирует у студентов струк-

туру курса. Во втором разделе «Алгоритм построения модели» студенту предложены алгоритм построения аналитической модели, алгоритм построе-

ния эмпирической модели, а так же краткая характеристика основных этапов алгоритмов построения аналитических и эмпирических моделей. Материал последующих разделов нацелен на более глубокое усвоение студентом. Тре-

тий раздел «Линейные и нелинейные регрессионные модели» формирует у студентов теоретические основы моделирования процессов. На основе МНК вычисляется оценка параметров линейной регрессии, анализируется точность оценок коэффициентов регрессии и проводится проверка гипотез относи-

тельно коэффициентов линейного уравнения регрессии. В этом же разделе формулируется понятие коэффициента детерминации. Особое место отведе-

но нелинейным регрессионным моделям и их линеаризация. Практическое применение моделирования рассматривается в четвертом разделе. Внимание студентов обращено на мультиколлинеарность, её причины и методы устра-

нения; гетероскедастичность, её суть и последствия, а так же ее обнаружение и устранение; автокорреляцию, ее причины, методы обнаружение и устране-

ния. На основе статистических данных студентам поясняется как произво-

4

дить отбор наиболее существенных факторов в регрессионной модели. С

выше указанным разделом неразрывно связана тема Планирования и прове-

дения эксперимента. В этой части лекций студенту предлагается освоить полный факторный эксперимент. Его ступени от формулировки задачи и вы-

бора факторов исследования до выводов и рекомендаций по формулировке задачи.

Характеристика содержания практических занятий

Практические занятия предусматривают рассмотрение каждой модели,

предложенной на лекции. Так как расчеты очень громоздки, то практические занятия проводятся в компьютерном классе с применением программ MS Excel, АП Deductor. Практические занятия имеют различные цели: обучающие,

контролирующие, в связи с чем студентам предлагается решить общую зада-

чу с комментариями преподавателя, а затем выдается индивидуальное зада-

ние. На практических занятиях активно используется образовательный пор-

тал ННГАСУ. Задание выкладывается на сайт за день до практического заня-

тия. Студенты могут ознакомиться с ним заранее. По завершении занятия,

студенты сдают работы в раздел Задание. Проверив, преподаватель выстав-

ляет оценку на том же сайте. Таким образом, студент может видеть свою оценку и у него есть возможность проработать ошибки.

Примеры заданий

1) Для зависимости Y от X, заданной корреляционной таблицей

1)вычислить коэффициент корреляции и оценить его статистическую значимость;

2)оценить по МНК коэффициенты линейной регрессии Y = α +βX + U;

5

3)построить 95 % - ные доверительные интервалы для коэффициентов α

иβ;

4)сделать прогноз при какомлибо X = x 0 ;

5)рассчитать границы интервала в котором будет сосредоточено не ме-

нее 95 % значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и вы-

бранном значении X=х0.

2) Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

а) в первом случае: x1=9,6; x2=10,0; x3=9,8; x4=10,2; x5=10,6;

б) во втором случае: y1=10,4; y2=9,7; y3=10,0; y4=10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что ре-

зультаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Указания к самостоятельной работе по подготовке к лекциям и

практическим занятиям

Самостоятельная работа по подготовке к лекциям включает повторение материала предыдущих лекций по конспектам. Рекомендуется обратиться студентам к дополнительной литературе рекомендованной преподавателем.

Самостоятельная работа по подготовке к практическому занятию долж-

на включает в себя осмысление задания, выложенного на сайте; прочтение того раздела лекций, к которому относится тема практики. Возможно само-

стоятельное проведение расчетов.

В конце курса студентам предлагается творческое задание. Самостоя-

тельно собрать статистические данные (социальные сети, опрос, данные с производства), сформулировать задачу для изучения и построить модель для исследования данных.

6

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое модель?

2.Что такое объект?

3.Что такое процесс?

4.Что такое гипотеза?

5.Что такое моделирование?

6.Обозначьте цели моделирования.

7.Назовите принципы моделирования.

8.Перечислите аксиомы моделирования.

9.Какие виды моделей существуют?

10.Какие виды моделирования существуют?

11.Что такое фактор, уровень фактора?

12.Что такое аналитическая модель?

13.Что такое эмпирическая модель?

14.Обозначьте преимущества математического моделирования.

15.Перечислите требования, предъявляемые к математической модели.

16.Расскажите о различиях в алгоритмах построения аналитической

и эмпирической моделей.

17.Какие требования предъявляются к входным и выходным факторам?

18.Что такое эксперимент?

19.Что такое планирование эксперимента?

20.Обозначьте цели планирования эксперимента.

21.Что такое полный факторный эксперимент?

22.Что такое рандомизация? Какова цель проведения рандомизации?

7

Список рекомендованной литературы

1.Введение в математическое моделирование: учебное пособие, Аших-

мин В. Н., Москва: ЛО-ГОС, 2005. 440 с.

2.Методы планирования и обработки результатов инженерного экспери-

мента: учебное пособие, Спирин Н. А., ГОУ ВПО УГТУ– УПИ. Екате-

ринбург, 2003. 260 с.

3.Математические методы и модели в экономике. Сетевое планирование:

учеб.пособие, Носков В. В., Юрченко Т. В.; Нижегор. гос. архит.-

строит. ун-т, Каф. информ. систем в экономике, ННГАСУ, 2012.

4.Линейные регрессионные модели в эконометрике [Электронный ре-

сурс], Любимцев О.В., Любимцева О.Л., Н.Новгород : ННГАСУ, 2016. - 1 CD ROM.

8

Приложение

Пример решения задач

Для исследования зависимости годового объема производства Y от основных фондов X получены данные по 20-ти предприятиям.

Результаты решения данной задачи с помощью функции Регрессия представлены на рис. 1 ‒ 3.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Рис. 1. Результаты расчета: регрессионная статистика

На рис. 1 представлены результаты расчета регрессионной статистики. Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

• Множественный R ‒ коэффициент корреляции R;

• R-квадрат ‒ коэффициент детерминации R2 ;

• Нормированный R ‒ нормированное значение коэффициента корреляции;

• Стандартная ошибка ‒ стандартное отклонение для остатков;

• Наблюдения ‒ число исходных наблюдений.

На рис. 2 представлены результаты расчета дисперсионного анализа, которые

используются для проверки значимости коэффициента детерминации R2 .

Дисперсионный анализ

Рис. 2. Результаты расчета: дисперсионный анализ

9

Значения в столбцах на рис. 2 имеют следующую интерпретацию.

• Столбец df ‒ число степеней свободы. Для строки Регрессия число сте-

пеней свободы определяется количеством факторных признаков m, для стро-

ки Остаток ‒ числом наблюдений n и количеством переменных в уравне-

нии регрессии m + 1: n ‒ (m + 1), а для строки Итого ‒ суммой степеней свободы для строк Регрессия и Остаток и, следовательно, равно n ‒ 1.

• Столбец SS ‒ сумма квадратов отклонений. Для строки Регрессия значе-

ние определяется как сумма квадратов отклонений расчетных данных от среднего:

n

SS12 = ∑(yˆ i − y )2 .

i=1

Для строки Остаток это сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических:

n

SS22 = ∑(yi − yˆ i )2 .

i=1

Для строки Итого это сумма квадратов отклонений расчетных данных от среднего:

i=1

•Столбец МS содержит значения дисперсии, которые рассчитываются по формуле:

MS = SS .

• Столбец F содержит расчетное значение F-критерия Фишера Fр, вычисляемое по формуле:

Fp = MS(Регрессия) .

MS(Остатки)

10