книги / Электрорадиоизмерения

грешности к действительному значению измеряемой вели­ чины:

В зависимости от закономерностей проявления и мето­ дов учета погрешности делятся на систематические, случай­ ные и. промахи.

Систематические погрешности при повторных измере­ ниях не изменяются по величине и знаку или изменяются по определенному закону.

Для исключения систематических погрешностей нужно перед измерением проанализировать возможные причины их появления, правильно выбрать метод и условия измере­ ния. Иногда бывает возможно устранить источники этих по­ грешностей, например предварительно установить стрелку прибора в нулевое положение, экранировать прибор для защиты его от электромагнитных полей, применить стаби­ лизированные источники питания и т. д.

Если источники погрешностей неизвестны или их нельзя устранить, то применяют другие способы исключения систе­ матических погрешностей. Наиболее распространенным из них является внесение поправок в результаты измерения. Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обрат­ ным знаком, С = —АЛ. Действительное значение измеряе­ мой величины определяется путем прибавления поправки к показанию прибора.

Для составления и обновления поправочных таблиц и графиков необходимо проводить контрольные проверки измерительных приборов.

Чтобы уменьшить субъективную погрешность, экспери­ ментатор должен производить измерения очень тщательно.

Существуют также специальные методы исключения систематических погрешностей. Наиболее распространен­ ными из них являются методы замещения и компенсации погрешности по знаку.

Метод замещения, при котором измерения производятся дважды — с искомой величиной и с образцовой, будет рас­ смотрен в § 1-3.

Метод компенсации погрешности по знаку применяется в случаях, когда известна причина возникновения погреш­ ности (например, влияние постоянного магнитного поля), но неизвестно ее значение. При этом методе измерения произ­ водят дважды таким образом, чтобы систематическая по­ грешность входила в первый результат с одним знаком, а во второй — с противоположным. Окончательно значение искомой величины определяется как среднее арифметиче­ ское результатов двух измерений.

Случайными называются погрешности, изменение кото­ рых не подчиняется какому-л^бо известному закону. Они проявляются в том, что при повторных измерениях, выпол­ ненных в одинаковых условиях, результаты получаются несколько различными. Причины появления этих погреш­ ностей носят случайный характер. Например, влияние окружающей среды, неточный отсчет показаний, различ­ ные помехи и т. д.

Следует обратить внимание, что физическая природа причины систематической и случайной погрешностей может быть одной и той же. Но в первом случае появление погреш­ ности закономерно, а во втором — нет.

Промахами называются отдельные, очень большие по­ грешности, явно искажающие результат измерения. Они резко выделяются на фоне случайных погрешностей и воз­ никают обычно в результате оплошности экспериментатора (например, ошибочный отсчет или запись показаний). Пока­ зания, содержащие промахи, не учитывают.

Паспортные погрешности измерительных приборов. Каж­ дый измерительный прибор имеет паспорт, в котором заводизготовитель указывает максимальную погрешность для данной серии приборов. Новые приборы должны иметь по­ грешность, которая не превышает 80% указанной в пас­ порте.

Для многих приборов указывается основная и дополни­ тельная погрешность.

Основные погрешности возникают при нормальных усло­ виях эксплуатации прибора, указанных в его паспорте

приведенная относительная погрешность

Тпр=2оо Ю 0=1.5%.

Класс точности прибора 1,5.

Подставим в формулу (1-1) значение АЛ, выраженное

Из полученного выражения видно: чем ближе значение измеряемой величины к верхнему пределу шкалы, тем меньше относительная погрешность измерения.

Если требуется измерить какую-то величину с относи­ тельной погрешностью ±1,5%, то это не значит, что доста­ точно взять прибор класса точности 1,5. Все зависит от зна­ чения измеряемой величины: если оно совпадает с верхним пределом шкалы, то выбор будет справедливым, в против­ ном случае относительную погрешность определяют по формуле (1-3). Многие приборы имеют несколько шкал с различными пределами измерений.

Для большинства радиоизмерительных приборов, в от­ личие от электроизмерительных, деление на классы точ­ ности не производится. Допустимые величины относитель­ ных или абсолютных погрешностей устанавливаются ГОСТ или техническими условиями. Эти значения приводятся в технической документации на прибор.

Обработка результатов многократных измерений. Много­ кратные измерения проводятся для нахождения более точ­ ного значения измеряемой величины.

Во всех дальнейших рассуждениях будем считать, что систематические погрешности тем или иным спосо­ бом исключены. Речь пойдет только о случайных ошиб­ ках.

Чтобы найти более точное значение измеряемой величины, нужно произвести несколько измерений. При этом чем больше количество измерений, тем точнее можно определить ре­ зультаты измерения, а заодно можно оценить и погрешность измерения.

При достаточно большом количестве измерений наиболее достоверным является результат, полученный как среднее арифметическое отдельных результатов измерений A lt

п

2

Л* -ЬЛд-Ь.. *4-Лп

пп

где п — количество измерений.

Чаще всего случайная погрешность оценивается сред­ ней квадратичной погрешностью а. Средняя квадратичная погрешность отдельного измерения равна:

где ДЛ! = A t — Лд; ДЛ2 = Л, — Лд; ДЛ„ = А п — Лд.

На практике действительное значение измеряемой ве­ личины, как правило, неизвестно. Поэтому вместо него обычно пользуются средним арифметическим Лср, а вместо абсолютных случайных погрешностей ДЛ — остаточными погрешностями а.

Остаточной погрешностью ос называется разность между средним арифметическим значением и результатом отдель­ ного измерения

«1 ^ср Ль ос.)==ЛСр Ло* ссп = А.Ср Лл.

В теории погрешностей доказывается, что средняя квад­ ратичная погрешность результата отдельного измерения, выраженная через остаточные погрешности, определяется по формуле

У а-1 ±

ag+ ... + «7,

п — 1

Поскольку среднее арифметическое значение результата является наиболее вероятным, то и случайная погрешность его будет меньше, чем у результата отдельного измерения. Согласно теории погрешностей средняя квадратичная по­ грешность среднего арифметического значения равна:

Из последнего выражения видно, что увеличение коли­ чества повторных измерений п приводит к уменьшению слу­ чайной погрешности среднего арифметического значения результата,

Чаще всего при измерениях распределение случайных погрешностей происходит по нормальному закону.

Закон нормального распределения случайных погреш­ ностей устанавливает зависимость между количеством слу­ чайных погрешностей и их величиной. Графическое изобра­ жение этого закона приведено на рис. 1-1.

Математическое выражение нормального закона Гаусса имеет вид:

На рис. 1-1 изображены три кривые нормального распределения для различных значении средней квадратичной погрешности. По оси

выше и уже). Таким образом, величина средней квадратичной погреш­ ности хорошо характеризует точность измерения.

Она зависит от высоты выбранного участка (г. е. количества появления погрешностей) и от величины выбранного интервала AAt — АЛ2.

При нормальном законе распределения вероятность появления случайных погрешностей в интервале AAV— АЛ2 вычисляется как определенный интеграл ог функции у. Значения этого интеграла (т. е. вероятности) вычислены для различных пределов (интервалов :±:ДЛ) и сведены в таблицы.

При измерениях часто необходимо оценить не только их точность, но и надежность. Требуется знать, насколько можно быть уверенным, что ошибки не выйдут за определенные пределы.

Для оценки надежности измерений пользуются понятиями довери­ тельная вероятность и доверительный интервал. Доверительные интер­ валы dbA/1 задаются в значениях dzko (где k — 1 ,2 ,3 ...). По таблицам интегралов вероятностей можно определить значения доверительных вероятностей для различных доверительных интервалов. При уве­ личении доверительных интервалов значения доверительных вероят­ ностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. Например,

для доверительного интервала ЛА = о доверительная вероятность Р составляет 0,68. Следовательно вероятность того, что случайная погреш­ ность не превышает среднего квадратичного значения (-to), равна 0,68. Вероятность появления погрешности, большей а, равна: 1 — 0,68 = = 0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь по­ грешность, большую а.

В электрорадиоизмсрениях обычно задаются значением довери­ тельной вероятности Р = 0,997 в доверительном интервале, равном За. В этом случае вероятность появления случайной погрешности, боль­ шей 3 а, равна 1 — 0,997 » 3/1000.

Значение амакс = 3 о считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3 а, маловероятны, так как они появляются в трех из тысячи измерений (или в одном из 370). Эти по­ грешности считают промахами и при обработке результатов измерений не учитывают.

2

Погрешность авср = -g- а называется вероятной случайной погреш­

ностью. Иногда эту величину называют также срединной погрешностью. Вероятность ее появления равна 0,5.

Следует отметить, что нормальный закон распределения и указан­ ный способ определения доверительных интервалов справедливы только при очень большом количестве измерений. На практике чаще всего зна­ чение о приходится определять по результатам сравнительно небольшого количества измерений. В этом случае для определения доверительного интервала вместо коэффициентов k нужно пользоваться коэффициен­ тами Стьюдента tptu которые находятся по специальной таблице и зави­ сят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измере­ ний п. При увеличении количества измерений значения коэффициентов Стьюдента приближаются к коэффициентам k.

В табл. 1-3 приведены коэффициенты Стьюдента для различных значений вероятности Р и количества измерений п.

Проанализировав способы оценки случайных погрешностей, под­ ведем итог и рассмотрим порядок обработки результатов многократных измерений.

Таблица 1-3

р

1. В табл. 1-4 записать результаты каждого измерения с учетом поправок на систематические погрешности. Поправки определяются по специальным таблицам или графикам.

Таблица 1-4

2. Вычислить среднее арифметическое значение результатов п изме-

рений:

i~*1 ^ср п

3 Определить остаточные погрешности отдельных измерений

af*= /1Ср А[.

4.Найти квадраты остаточных погрешностей отдельных измере­ ний (а;)2.

5.Вычислить среднюю квадратичную погрешность среднего ариф­ метического значения результатов измерений

6.По заданным доверительной вероятности и количеству измере­ ний п определить коэффициент Стыодента tpn, а затем значение довери­ тельного интервала tрпоА в единицах измеряемой величины.

Окончательный результат измерения запишется в виде

^ср —tvnPA’

Например, при измерении сопротивления среднее арифметическое результатов 20 измерений /?ср = 1495,3 Ом, значение средней квадра­ тичной погрешности аА = 1,3 Ом. Нужно определить интервал, в кото­

ром находится значение измеряемого сопротивления, с доверительной вероятностью Р = 0,99. По табл. 1-3 находим для Р = 0,99 и п = 20 коэффициент tpn = 2,9. Тогда результат равен R = 1495,3 dz 3,8 Ом.

Нужно отметить, что обычно погрешность указывается только с одной значащей цифрой. Две значащие цифры указываются только

в случаях, когда первая значащая цифра меньше трех нли при особо точных измерениях. Приводить значение погрешности с большей точ­ ностью нет смысла, так как to — приближенная величина, показываю­ щая, что все погрешности с вероятностью Р будут меньше ее.

Запись числового значения результата должна производиться с тон же точностью, что и погрешности.

При округлении десятые доли отбрасываются, если их значение меньше пяти, а последняя сохраняемая цифра не изменяется. Если значение десятых долей больше пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

В приведенном выше примере, нужно округлить результат и по­ грешность. Тогда окончательная запись результата будет иметь вид: R = 1495 ± 4 Ом.

Определение погрешностей при косвенных измерениях. При кос­ венных измерениях результат определяется путем выполнения опре­ деленных математических действий над результатами прямых измере­ ний. Поэтому для оценки погрешности косвенного измерения нужно знать погрешности каждого прямого измерения.

Чаще всего для определения результатов косвенных измерений используются зависимости вида

Малые приращения измеряемых величин будем рассматривать как абсолютные погрешности, а отношение абсолютной погрешности к изме­ ряемой величине является относительной погрешностью. Поэтому

УА = к1У1+кгУг+ - + кпУп,

где уА = ДЛ/Л — относительная погрешность окончательного резуль­

тата косвенного измерения;

Yi = ДАг/Alt у2 — ДЛ2/Л2... — относительные погрешности ре­ зультатов прямых измерений.

Относительные погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, но для определения наибольшей возможной погреш­ ности нужно складывать их абсолютные величины.

Окончательно формула для предельного значения относительной погрешности величины А, определяемой из выражения (1-4), имеет вид:

Тл= i *iTi |+| *2Y21+-..+ |

Пример. Измеряется мощность, рассеиваемая на резисторе R, определенном с погрешностью у^ — 1,5%. Падение напряжения U

на этом резисторе измерено с погрешностью уи = 1%. Определить

максимально возможную относительную погрешность измерения мощ* ности уpi-

P = “- = U*R-H

Ур= (2Уа + Y*) = (2 • 1 + 1 .5 ) = 3,5%.

Если результат косвенных измерений равен сумме

то предельная относительная погрешность равна:

Все рассмотренные выше формулы определения погрешностей кос­ венных измерений справедливы только для предельных погрешностей (когда истинная величина погрешности не известна).

1-3. МЕТОДЫ ЭЛЕКТРОРАДИОИЗМЕРЕНИЙ

Как уже указывалось в § 1-1, измерения могут быть пря­ мыми и косвенными. В свою очередь прямые измерения могут быть выполнены различными методами.

ГОСТ 16263-70 определяет метод измерения как сово­ купность приемов использования принципов и средств измерения.

Все методы подразделяются на два класса: метод не-

посредственной оценки и метод сравнения.

Метод непосредственной оценки. При этом методе зна­ чение измеряемой величины определяется по измеритель­ ному прибору, отградуированному в единицах этой вели­ чины. Например, измерение различных величин стрелоч­ ными приборами (тока — амперметром, напряжения — вольтметром и т. д.).

Точность метода непосредственной оценки сравнительно невелика — она определяется точностью используемого прибора.