книги / Строительная механика.-1
.pdfшарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.
На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис. 2.11, а), линейные смещения уз лов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис. 2.11, б) является
геометрически неизменяемой. |
|
||||
Рамы, шарнирные |
|
||||
схемы которых явля |
|
||||
ются |
геометрически |
|
|||
неизменяемыми, |
от |
|
|||
носятся |
к категории, |
|
|||
так |
называемых, |
за |
|
||
крепленных или несво |
|
||||
бодных. |
Для таких |
Рис. 2.12 |
|||
рам |
число неизвест |
||||
|
ных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу же стких узлов: п = пу. В нашем примере л = 3.
В качестве другого примера рассмотрим раму, изображенную на рис. 2.12, а, число жестких узлов которого равно 2. Следовательно, лу = 2.
Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис. 2.12, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений пА= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изо браженной на рис. 2.12, а, равно л = 2+1 = 3.
2.6. Основная система. Канонические уравнения метода перемещений
При расчете методом перемещений заданная система расчленя ется на однопролетные статически неопределимые балки путем вве дения дополнительных связей, позволяющих исключить все ли нейные и угловые перемещения узлов заданной системы.
Получаемая в резуль тате система называется
основной системой метода перемеще ний. Например, для
расчета заданной |
систе |
|
||
мы, изображенной на |
|
|||
рис. 2.13, л, |
по |
методу |
Рис. 2.13 |
|
перемещений |
основная |
|||
|
101
система будет иметь вид, представленный на рис. 2.13, б. При этом
п- П у +пл = 6 + 2 = 8.
■Поскольку в заданной системе имеют место и повороты, и ли
нейные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь равенства нулю ре акций во всех введенных связях, сопротивляющихся этим поворо там и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основ ная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.
Обозначая через /?|, Л2, Rn величины реактивных мо ментов и усилий в п -м количестве дополнительно введенных элементов основной системы, математическая формулировка усло вий эквивалентности заданной и основной систем будет иметь вид:
Л| = 0; Л2 =0; ... R„ =0. |
(2.16) |
Для раскрытия выражений реакций Rj (/' = 1, 2,..., /I), введем сле дующие обозначения:
2/ (/ = 1, 2,..., л) — линейные и угловые перемещения узлов за данной системы при действии системы внешних сил;
(*» k = l, 2,..., л) — реакция в i-й, дополнительно введенной связи от перемещения Z* = 1;
RiPq (/ = 1, 2,..., л) — реакция в /-й, дополнительно введенной связи основной системы от действия заданной системы внешних сил.
С учетом принятых обозначений, суммарную реакцию в /- й до полнительно введенной связи, можно записать в следующем виде:
= г/, Z, + ГьЪ + ... + rinZ„ + RiPq ( /= 1, 2 ,.., л). |
(2.17) |
Для того чтобы основная система стала эквивалентна заданной, полную реакцию Л/ (/ = 1, 2,..., л) во всех введенных связях основ ной системы, согласно (2.16), необходимо приравнять нулю
E f t Zt + PiPq = 0, (| - 1, 2, 3,..., л),
кш1
или в развернутой форме:
/1, Z] + г12Z 2+ -+ /i„ Zn + ^ = 0;
ri\ Z\ + r22 Z 2+ - + r 2„ Zn + R2Pq = 0;
rn\ Z\ + T"n2 Z 2+*--+r/j/J Z n + R^pq = 0.
102
Здесь неизвестными янляются перемещения Z/ (/ = 1, 2,..., л), т.е. возможные перемещения узлов заданной системы по направлению введенных связей в основной системе.
Уравнения (2.18) называются каноническими уравнениями метода перемещений. Коэффициенты этих уравнений обладают свойством симметрии г,* = Гм, что следует из теоремы о вза имности реакций, примененной к основной системе метода пе ремещений.
Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия рав новесия рамы.
Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.
Для определения коэффициентов /у& и свободных членов Яц>д системы канонических уравнений метода перемещений (2.18) необ ходимо предварительно построить эпюры моментов в основной сис теме от заданной системы внешних сил и от единичных переме щений Z/ = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены урав нений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных допол нительных элементах; коэффициенты и свободные члены, пред ставляющие реактивные усилия во введенных дополнительных эле ментах основной системы.
Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов £ Л /= 0, согласно методу сечений.
Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных связях основной системы, определяются раз резанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части hy = 0. При этом направление оси у вы бирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.
Следовательно, для того чтобы построить эпюру моментов в ос новной системе от действия системы внешних сил и от 2} = 1 (| = 1, 2,..., и), необходимо предварительно определить эпюру мо ментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополни тельных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реали зации метода перемещений необходимо предварительно рассмот реть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в од
103
нопролетных статически неопределимых стержнях при кинема тическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.
2.7. Определение реакций в однопролетных статически неопределимых стержневых элементах
Сначала определим выражения изгибающих моментов и попе речных сил в однопролетных балках при единичных угловых пере мещениях или при единичных относительных линейных смещениях концевых сечений (рис. 2.14, а).
Дифференциальное уравнение изгиба балок с постоянным по перечным сечением при отсутствии внешних нагрузок, действу ющих в пролете, записывается в виде
при х = |
0, у = Уо; Ф = Фо; |
Рис. 2.14 |
при х = |
/, у * уI ;ф = ф/ . |
(2.22) |
С учетом 1раничных условий задачи (2.22) из (2.20) и (2.21), по-
с* = уъ; с3 - ф о ; с{ Р + с2 Р + ф0 / + у0 = y j ;
З с 1 /г + 2 с2 /+ ф о = г ф/. |
(2.23) |
104
В результате совместного рассмотрения уравнений (2.23) полу чим выражения произвольных постоянных С/ (/' = 1,2,3,4), представ ленное в следующем виде:
с3 = ф 0 ; с4 =у0.
Далее определим выражения Ми Q
М = |
- - ш ( 6 ц х + г с 2\, |
|
Q = - E J & |
= -E I-6 ci. |
(2.24) |
Для примера вычислим значения Ми Qв концевых сечениях для балки с двумя защемленными концами при <ро = 1. В данном случае имеем: Ф1= У1 шУо= О-
Подставляя эти значения в (2.24) получим
Д(0 = - £ / . 2 с2 = - 2 £ ( ( - |) |
= 4 ^ - ; |
f t = -<£Ас, = |
4 /, = - £ л ( б 1 - / - 2 | ) = 2 ^ |
; |
й - f t - - 6^ . |
Результаты расчетов эпюры моментов и поперечных сил для однопролетных статически неопределимых балок с различными граничными условиями их закрепления и при различном характе ре кинематического на1ружения обобщены в таблице 2.4 (пп. 3, 4, 8, 9). Причем ординаты эпюры моментов отложены со стороны рас тянутого волокна.
Для определения эпюры моментов в однопролетных статически неопределимых балочных элементах основной системы от действия внешних сил, удобно применить метод сил. Так, например, одно пролетная балка, изображенная на рис. 2.14, б, трижды статически неопределима. А балка, изображенная на рис. 2.14, в, один раз ста тически неопределима.
Для удобства результаты расчетов эпюры моментов однопролет ных статически неопределимых элементов, с различными гра ничными условиями их закрепления, от действия наиболее часто встречающихся силовых и температурных нагружений, обобщены в таблице 2.4 (пп. 1, 2, 5 ,6, 7,10).
105
Таблица 2.4
Формулы
106
|
|
|
Продолжение табл. 2.4 |
№ |
Схема балки и воз |
Эпюры изгибающих |
Формулы |
п/п |
действия на нее |
моментов1) и реакции |
|
'M |
t o i w |
н‘ * ~ \ MA =MB =- 6EJ/I2- |
9. |
I*, |
RA = -RB= 12EJ/i3 |
J£T |
||
------- / |
|
|
Неравномерный нагрев
|
цА |
h |
i |
10. |
* |
|
h W |
дг=/г г2 |
р |
||
|
и— |
— -------И |
% |
|
MA =MB =EJaAt/(2h) |
п |
2) |
|
ш |
RA =RB =o |
П р и м е ч а н и е . 1) ординаты отложены со стороны растянутого волокна; 2) А - высота поперечного сечения; а - температурный коэффициент линейного расширения.
При неравномерном нагреве по высоте поперечного сечения балки и при равномерном нагреве по ее длине, изгибающие мо менты и поперечные силы определяются согласно общеизвестных выражений
M = * ^ z A iEJ, |
Q . O ± . * B , |
h |
h i |
где a — температурный коэффициент линейного расширения; Л — высота поперечного сечения; х — независимая переменная 0 < х < /;
/— длина элемента.
Взаключении заметим, что применяя метод перемещений, сле дует твердо придерживается какого-либо определенного правила знаков. Принять, что углы поворота опорного сечения, а также ре активный момент, действующий на балку со стороны заделки, по ложительны, если в результате оси поворачиваются по часовой стрелке. Линейное смещение узла принято положительным, если оно совпадает по направлению с положительной реакцией, вызыва ющей растяжение опорного сечения стержня.
2.8. Пример расчета плоской рамы методом перемещений (задача № 8)
Рассчитаем плоскую раму (рис. 2.15, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь ность расчета следующая.
107
1. Определение степени кинематической неопределимости
Степень кинематической неопределимости определяем по фор муле
п = пу + пл ,
где пу — число неизвестных углов поворота, равное всегда коли честву жестких узлов рамы, исключая опорные; пл — число незави симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из за данной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.
В заданной раме пу = 1. Для определения пл вводим во все жест кие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим степень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис. 2.15, б) по формуле
Пл“ Wm 2 У - С - Соп,
где У—5 — число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор ные; С * 4 — число стержней в шарнирной схеме рамы; Соп - 5 — число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.
|
лЛ = 2-5 - 4 - 5 = 1. |
1 |
Е |
|
|
*-20кН/м |
h |
|
I |
|
____ D -5 |
L i,- v c |
л |
1с |
4 Л-20кН |
1* |
С |
/,-4м к -!------ *и -2— н
Основнм Л систем»
108
Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы Р узлы А, В и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля АВ этой системы опирается на шарнирно-подвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.
Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:
п = пу + пл = 1 + 1 - 2.
Заданная рама дважды кинематически неопределима.
2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений
Основную систему метода перемещений получаем путе^ поста новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли нейному перемещению (рис. 2.15, в).
Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z\ и , равными по величине действительным пе ремещениям заданной системы, получим эквивалентную систему, деформирующуюся тождественно заданной (рис. 2.1S, г).
3. Составление канонических уравнений метода перемещений
Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной сис теме факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют), и реакций в них быть не может.
В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:
|fn Zi +rn Z2 +RiFq =0',
j/ il Zj + /^2 Z j + R2pq = 0.
4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления
4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений
Для определения коэффициентов необходимо построить еди ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис теме метода перемещений. Для их построения используются таб-
109
лицы эпюр изгибающих моментов и реакций статически неопре делимых балок (см. табл. 2.4).
Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, постро енные в основной системе для рассматриваемого примера, показа ны на рис. 2.16, а, в, д.
Для определения реактивного момента Гц, возникающего в до полнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z\ = 1, вырезаем узел В из эпюры М\ (рис. 2.16, б) и решаем уравнение равновесия 1>Муз = 0:
Гп - 1.5 EJC- 1.5 EJC-E Jс= 0, откуда rn = 4EJC.
Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке уз ла В от линейного смещения Zi = 1 узлов В и С определяем из ус ловия равновесия ЪМуз = 0 узла В, вырезанного из эпюры Mi (рис. 2.16, г):
г12 - 0.375 EJC= 0, г12 = 0.375 EJC.
Рис. 2.16
Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакццр, будет и реактивная сила г2ь возникающая в дополнительно постав ленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки уз ла В на угол Z\ - 1:
г12 = г21 = 0.375 EJC.
но