книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf3.1. Уравнении поля и определяющие уравнения |
131 |
Кривая 'с, поверхности В' и дВ и область В тела нахо дятся в движении. Возьмем В' как очень малую прямоуголь ную площадку, расположенную перпендикулярно к границе тела (рис. 5). Контур прямоугольника обозначим через с. Если теперь будем уменьшать размеры В' в направлении, перпендикулярном границе, устремляя их к нулю, то из урав нений (18) 1,2 получим краевые условия вида
(21) |
[E + vX B ], = 0, [Н - v X D j, = j m - р ^ - |
Через [Л] t обозначена разность касательных составляющих (параллельных направлению /) вектора А внутри и вне тела,
через jm и ре — плотность поверхностного тока и поверхност
ная |
плотность |
электриче |
|
|
ских зарядов. Индексы t, т |
|
|||
и п обозначают составляю |
|
|||
щие векторов в направлении |
|
|||
t, т и п. |
|
в рас |
|
|
|
Введем теперь |
|
||
смотрение область В в фор |
|
|||
ме |
цилиндра, |
расположен |
|
|
ного таким образом, |
что его |
|
||
ось |
совпадает |
с направле- |
Рис. б. |
|
нием нормали (рис. 6).
Устремляя высоту цилиндра к нулю, получим из уравнений
(19) |
1,2 следующие краевые условия: |
(22) |
[B]ft = 0, [D]rt = pe. |
Здесь [А] „ означает разрыв нормальной составляющей век тора А. Заметим, что из уравнений Максвелла (1)|, 3 полу чается следующее уравнение неразрывности для плотности тока:
(23) |
div j + dpjdt = 0. |
Интегрируя это уравнение по области В и поступая по ана логии с уравнениями (19) 1, 2, получим последнее краевое условие
(24) |
fa (Е + v X В)]„ = — dpjdt. |
К краевым условиям электродинамики (21), (22) и (24) сле дует присоединить краевые условия, связанные с уравнением движения (12). Интегрируя (12) по области В и замечая, что
(25) |
l i \ §i dv = \ ^ nivt da + \ Ч г dv> |
В |
ОБ |
В |
132 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
после простых преобразований получим следующее уравне ние:
(26) J (оц + Тц + g iv1)nl d a + ^Xidv = -^- J (pVi + g t)dv.
д В |
В |
В |
Введем |
В в виде области цилиндра, |
представленного на |
рис. 6. Если рассмотреть ситуацию, в которой высота ци линдра стремится к нулю, то получим краевое условие
(27) [ff/t + T j i + gi Vj ] tij = 0.
Если тело граничит с вакуумом, то для вакуума следует по ложить оц = 0, Тц ф 0.
3.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ МАГНИТОУПРУГОСТИ
Пусть в однородной упругой среде, находящейся в состоя нии покоя, первоначально действует сильное магнитное поле Н° = const. В момент / = 0 возбудим движение тела, прило жив внешние нагрузки. Вызываемые таким образом дефор мация тела и связанное с ней электромагнитное поле будут описаны малыми флуктуациями е, h, так что
(1) |
Н (х, |
/) = Н° + h (х, Of Е (х, /) = е (х, |
t) |
||||
Подставим (1) в определяющие соотношения |
|
||||||
(2) |
D = |
ее + av X Н°, |
В = |
реН — av X Е, |
|||
j = |
a(E + v X B ) + |
pev, |
a = eue — e0ji0. |
||||
|
|||||||
Пренебрегая в |
уравнениях |
(2) |
произведениями |
величин ht, |
|||
ei, |
vi и полагая, что ре = 0, получим |
|
|
||||
(3) |
D = ee + avX H °, |
В = |
щ(Н° + h) = B °-fb , |
||||
|
j = a (е + m vX Н°). |
|
|||||
|
|
|
|||||
Подставляя (1) и (3) в уравнения Максвелла
r o tH = j + |
-4^-, |
rotE = — ^ |
|
|
|
(4) |
|
|
"Ж' |
|
|
|
div В «=* 0, |
|
|
||
div D = ре, |
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
rot h = а (е + pev X Н) + |
ее + |
av X Н°, |
rot е = |
— цеЬ, |
|
(5) |
Н°) = |
0, |
divh = 0, |
ре= |
0. |
edive + a d iv(vX |
|||||
Наконец, подставляя соотношения (1) в уравнения движения
(6) pv2u + (Я + ц) grad div u + X + j X В = pii,
3.2. Линеаризация соотношений теории магнитоупругости |
133 |
найдем
(6') pV2u + (А, -f- р) grad div u + X + pej X Н° = pii.
Учитывая (3)з и (5)ь представим (60 в виде
(6") pV2u + (Я + р) grad div u + X +
+ ре (rot h X Н° - ее X Н° - av X Н° X Н°) = pii.
Заметим теперь, что исключение вектора е из уравнений Максвелла (5) приводит к следующему волновому уравне нию для векторных функций:
(7) (V2 - Р<Э, - М 2) h = - р rot (v X Н°) - a rot (v X Н°),
где р = оре, Ро = ере. Частоты, связанные с колебаниями и механическими волнами, значительно меньше частот элек тромагнитных колебаний при той же самой механической длине волн. Исследуя механические волны, мы можем трак товать электромагнитное поле как квазистатическое. Мате матически это означает, что D = 0, dD/dt = 0. На этом пути получим упрощенную систему уравнений Максвелла
(8) |
roth = j, |
rote = — peh, |
divh = |
0 |
и определяющие соотношения |
|
|
||
(9) |
j = <T(e + |
HevX H °), B = |
M H ° + |
h). |
Значительно упростится и уравнение движения. Имеем
(10)pV2u + (Я + р) grad div u + X + Ре rot h X H° == pu.
Уравнение для перемещений (10) вместе с упрощенным урав нением поля (7)
(11) (V2 - Ш h = - р rot (v X Н°)
образует полную систему уравнений магнитоупругости. Ре
шение этой |
системы дает |
функции h и и. Из уравнений (8) |
||||
и (9) определяем остальные функции: е й ] . |
||||||
Значительно упрощаются также краевые условия, связан |
||||||
ные с системой уравнений (10) |
и (11). Их можно получить |
|||||
из |
краевых |
условий (21), (22), |
(24) и (27) § 3.1, полагая |
|||
D = |
0. Имеем |
|
|
|
|
|
(12) |
|
Iе + pev X |
Н°], =* 0, |
|
[h]t =*fm — pevm, |
|
|
|
He[h]„ = |
0, |
[е + |
pb.v Х;Н°]„ = 0, |
|
(13) |
|
|
[в}г\~Тц\П}=*0. |
|||
Здесь Т}1= |
(ре/2) (Я°А, + |
Щ |
- |
б„ /% )• |
||
Рассмотрим еще тело с идеальной электропроводимостью. |
||||||
В этом случае а = оо, |
а следовательно, и р = оо. Уравнение |
|||||
134 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
(11) упрощается до следующего вида: |
|
(14) |
h = rot (u X Н°). |
Подставляя (14) в (10), получим
(15) pV2u + (Я + р) grad div u + Ш rot rot (u X H°) X H° =*
= pu — X.
Из решения уравнения (15) можно получить перемещение и, что позволит определить функцию h из уравнения (14). За метим, что уравнения (10) и (11) можно записать в виде
(16) |
pV2u + (р + Я)graddivu + |
X + — rotb X В0 = pu, |
|
|
■Ре |
(17) |
(V2 - pa,) b = - |
P rot (v xB°). |
Уравнения (16) и (17) относятся к случаю, когда первона чально задано поле магнитной индукции В0. Тогда
(18) |
B = B° + b, Е = е. |
В случае идеального проводника уравнение (17) принимает вид
(19) |
b = rot (u X В0). |
3.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ
МАГНИТОУПРУГОСТИ
Отправным пунктом наших рассуждений служит уравне ние баланса механической, электродинамической и тепловой
энергий, записанное |
в |
пространственных координатах [43]) |
|
(1) -§i \ ( i PViVi + |
Ри + |
У е ) dv = J {XtVi + pr) dv + |
|
В |
|
|
в |
|
+ |
\ |
(Pfli — Qitii — (E x H), + UeVitii) da. |
|
|
dB |
|
Интегрирование производится по области В и поверхности дВ деформируемого тела. Первый член в левой части пред ставляет изменение во времени кинетической энергии
Ж = (1/2) ^ pvtVidv. Второй член означает изменение во вре
мени механической энергии \ рU dv\ при этом U есть соб-
J в
ственная внутренняя энергия, отнесенная к единице массы. Наконец, 1)е означает электромагнитную энергию, отнесенную к единице объема. Через р обозначена плотность, а через v — скорость частицы тела. Первый член в правой части пред ставляет мощность массовых сил и тепловую мощность. Че
8.3 Основные уравнения |
185 |
рез г обозначено количество тепла, произведенное единицей массы за единицу времени. Первый член в поверхностном интеграле означает мощность поверхностных сил (контакт ных), второй член — приток тепла через поверхность дВ, тре тий— приток электрической энергии; последний представ ляет приток электромагнитной энергии, вызванный движе нием тела во внешнем магнитном поле. Через q обозначен вектор потока тепла, отнесенный к единице поверхности, че рез (EX Н)е- — составляющие вектора Пойнтинга.
Используем известное соотношение
(2) |
~ |
J Uedv = |
J — 'f- dv -f |
J |
UeVitii da |
|
|
|
В |
В |
|
дВ |
|
и произведем следующее дифференцирование: |
||||||
<з > |
9^i°i + |
dv — ^ |
ф |
+ |
v{Vi) + |
|
|
в |
|
в |
|
|
|
|
|
|
+ ( и + |
Y |
(р + (р°t\ i)] dv, |
|
где |
p = d p / d t |
и т. д. |
Учитывая |
уравнение неразрывности |
||
массы |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
dpldt + {pvl\ t = |
0 |
|
||
и соотношение между контактными силами и напряжениями
(5) pi = ОцЩ,
приходим к следующему виду уравнения баланса энергии:
(6) 5 (pU + Ue) dv = $ [(a/if t + Xi — pVi) Vi + GfiVi, ] — qL t +
+ p r - (E X H )u ] ^ .
Воспользовались преобразованием Гаусса. Так как уравнение
(6) должно быть справедливо для любого объема тела, по лучим локальное уравнение
(7) рU -\~tfe—(Gjitj-\-Xi — pvt)V{-{-GfiVi, / Qt,t~Ъ P^ (EXH)f, {.
Займемся сначала выражением Ue. Электромагнитную энер гию Ug представим через составляющие электрического Е и
(8)магнитногоЯ=|(еН пол£2+|л,Я2)й Е} = Е1Е„ Я2=Я,Я.
Предположим, что определяющие уравнения для тел, изо тропных и линейных относительно электрических и магнит ных свойств, имеют вид
(9) |
D = в5, В*=рН. |
3.3 Основные уравнения |
137 |
риантно относительно поворота тела как жесткого целого. Подставляя в (17)
v ^ v + Й Х г , |
v L } - + V i t l - e ijpQpt |
получим второе уравнение движения Коши |
|
(19) |
<J/i = orf/. |
Вернемся к уравнению баланса энергии (17). Благодаря уравнениям движения (19) и (18) уравнение баланса энер гии значительно упрощается. Остается лишь равенство
(20)р0 = Оцёц + p r ~ q iti + (1/ст) ? + я0/Д
Уравнение баланса энергии дополним неравенством Клау зиуса — Дюгема
(21) |
р5 + ( ^ ) ( - ^ > 0 . |
Здесь через 5 обозначена энтропия, отнесенная к единице массы. Введем в (20) свободную энергию F, определенную как
( 22) |
|
|
|
|
|
F = U — ST. |
|
|
|||
Если |
из |
уравнения |
(20) и неравенства (21) исключить член |
||||||||
рг — Яг. «'»то в результате получим неравенство |
|
||||||||||
(23) |
- |
(F + |
S0) + |
jr |
Vi. ,0ll + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ т 0 2<1“1+ “«/A |
|
|||
Примем свободную энергию в виде |
|
|
|
||||||||
(24) |
|
|
|
|
F = F (e{j, 0, 0 fe). |
|
|
||||
Заметив, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/о т |
|
|
Ь |
d F |
. |
. d F |
• |
d F |
л |
|
|
(25) |
|
|
f “ |
^ |
7 |
e" + ^ |
r e + 1 5 ^ e-‘' |
|
|||
приведем неравенство |
(23) |
к виду |
|
|
|
||||||
(26) |
f |
[(*« - |
е 4 |
$ |
*« ~ |
р (« + |
ж ) 6 + |
р i f c «•»] + |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ -у ( — р + л0/Д i —qt |
^ 0. |
|||
Потребуем, чтобы неравенство (26) было справедливо для любых процессов и чтобы величины ё,-/, 0, 0, * могли испытыррть независимые вариации. Поскольку неравенство (26)
138 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
линейно относительно всех переменных, то получим
(27) |
dF |
5 = |
dF |
= о, |
Оц = Р дгч • |
ае • |
|||
(28) |
1 |
|
|
|
а + ло/А i |
|
|
||
Рассмотрим сначала свободную энергию pF и связанные с ней определяющие уравнения. Согласно (24) и (27) 3, для изо тропного и линейного тела примем следующее выражение:
Я |
tl |
(29)рF = p&rfii} + у skkemm — УЧФ — -g"02.
Учитывая соотношения (27), получим
( 3 0 ) |
0( / = 2 ц б (/ + (Я е Л6 — \ в ) 6 , , , |
v = ( 3 ^ + 2 | i ) a ( , |
(31) |
PS = Vess + |
10 9. |
Здесь at — коэффициент линейного температурного расшире ния. Неравенство (28) будет выполнено, если принять, что
( 3 2 ) |
Qi = — £ ( Д i "Ь ЩКГ *** — &о0, I ~Ь я о/»7'о» |
> 0 . |
Это соотношение, представляющее обобщение закона Фурье для теплопроводности, было получено Ландау и Лифшицем '[27]. Уравнение теплопроводности получим из условия ба ланса энтропии
(33) p7’0S = — qi, i + pf•
Учитывая определяющие соотношения (31) и (32), получим уравнение
( 3 4 ) |
&OV 20 — с $ — уТo&kk — п0ТQ'U, i = — р г . |
Используем уравнение притока зарядов |
|
(35) |
'dlvi + Ч Г - О . |
Исключая из (34) и (35) величину divj, получим уравнение
(36) |
(A0V2 — czdt)0 — f j div u -f щТфе = |
pr, |
f j = |
yT0. |
При |
дальнейших рассуждениях будем |
полагать, |
что рв = 0. |
|
Уравнение (36) примет тогда такой же вид, |
как и в случае |
|||
связанной термоупругости: |
|
|
|
|
(37) |
(V2 — (1/и) dt) 0 — -п div ti = — pr/k0, |
r\ = |
r\/k0, |
H = kQfce. |
Рассмотрим уравнение Максвелла с учетом определяющих соотношений (9):
r o tH = j -fe E , rotE = — реН,
(38)
div Е = 0, |
div Н = 0, |
3.3 Основные уравнения |
139 |
Исключая из этих уравнений вектор Е, получим уравнение (39) (V2 - К ) Н - р0<Э?Н = - р rot (v X Н), р = цео, ро = рве.
При выводе этого уравнения учитывался закон Ома (14). Если в уравнение движения (18) подставим определяющие соотношения (30), то получим векторное уравнение теории упругости в виде
(40) pV2u + (Я + р) grad div u + X + Р*[(rot Н - еЁ) X Н] =
= pu +ygradO.
Уравнения (37), (39) и (40) образуют полную систему урав нений магнитоупругости. В уравнениях магнитоупругости (39), (40) имеются нелинейные члены. Эти уравнения не трудно линеаризовать в следующем частном случае. Предпо ложим, что в теле первоначально действует сильное магнитное поле Н° = const. В момент t = 0 возбудим в теле движение механическими или температурными воздействиями. Тогда при t >> 0 имеем
(41) Я (х, *) = Н° + h (х, t), Е = е (х, /),
причем h, е — малые флуктуации. Уравнения Максвелла примут вид
|
rot h = |
j + |
ее, |
rote — — p0h, |
|
|
divh = |
0, |
|
dive = 0. |
|
Линеаризация уравнения |
(39) |
приводит к равенству |
|||
(43) |
(V2 - Щ ) h - |
р0<Эр! = - |
(J rot (v X Н°). |
||
Уравнение движения |
(40) |
после линеаризации примет вид |
|||
□ 2и + |
(Л + ц)grad divu + |
X + |
pe [(roth - её) X Н°] = |
||
(44) |
|
|
|
|
= ygradO, |
|
|
□ 2 = pV2 — pd2. |
|||
Из чидла определяющих уравнений нелинеен только закон Ома. После его линеаризации получим
(45)j = <y(e + pe(vX Н°)—-я0grade).
Если электродинамическую задачу трактовать как квазистатическую, то в уравнении (43) следует опустить член poh, а в уравнении (44) — член ее. В этом случае основные
140 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
|
уравнения магнитоупругости имеют вид |
||
(46) |
( у _ J L < ,,) 0 _ 4divu = - - | - r , |
|
(47) |
(V2 — fid|) h = — f! rot (v X H°), |
|
(48) |
0 2u -f (A. + p) grad div u + |
X + pe rot h X H° = у grad 0. |
Если задано постоянное поле магнитной индукции В0, то |
||
|
B = B °-fb, |
Е = е. |
Уравнения (46) — (48) примут вид |
||
(46') |
(v 2 - ^ a , ) e - r i d i v i i = — ^ г , |
|
(47'j |
(V2- p a ()b = -p r o t(v X B ° ), |
|
(48') |
0 2u + (Л + Ц) grad div u + |
X + -J - rot b х в° = V gra dв. |
|
|
r e |
Основные уравнения магнитоупругости значительно упро щаются в случае идеальной электропроводности, когда р = *= с». Уравнение (47') приводится к виду
(49) |
b = rot(uXB°), |
а уравнение (48') принимает вид
(50)0 2и~Ь ;Я-}-р) grad div u—| X—|
+[rot rot (u X В0) X В0] = у grad 0.
re
Вэтом случае связаны только уравнения (46') и (50).
3.4.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МАГНИТОУПРУГОЙ волны
Сначала будем рассматривать плоские волны магнито упругости в упругом пространстве, обладающем идеальной проводимостью. В этом случае система уравнений магнито упругости принимает особенно простую форму:
(1) |
pV2u + (Я + р) grad div u + ~ rot b X В0 = рй, |
|
r e |
(2) |
b = rot (u X B°). |
Предположим, что все векторы, фигурирующие в этих урав нениях, являются функциями только переменных Х\ и t. При
этом предположении имеем
(3) b = (0, |
<9( (И|Д> и2В1), <Э| {и$В\ |
Ц^з)}» В0 = (Z?i, В2, В$). |