книги / Численные методы решения некорректных задач

полученные нормы били аппроксимацией интегральных норм в простран­ ствах L2 [с, d ] и W\[a, Ъ]. Тот же смысл имеет операция умножения пара­ метра регуляризации а на отношение шагов сетки при формировании диагонали матрицы Р'Р + аЕ в операторах 60, 75, 91, 100.

Операторы с 63 по 69 проверяют необходимость окончания работы программы PT1MR и выполнение условия р (а) > 0. Если это условие не выполнено, то параметр регуляризации а умножается на 2 до тех пор, пока р(а) не станет положительным. Всего допускается ШАХ таких ум­ ножений параметра а на 2.

Операторы с 70 до 77 формируют вторую точку, соответствующую удвоенному значению параметра регуляризации, необходимую для нача­

ла работы метода хорд.

Операторы с 78 по 94 реализуют метод хорд. Если значение обобщен­ ной невязки становится отрицательным, то происходит переход на опе­ ратор 95 —начало модифицированного метода хорд, реализуемого опера­ торами с 95 по 114.

Программа PTIMR завершает свою работу формированием призна­ ка завершения и обратным переходом к старым переменным, реализо­ ванным в подпрограмме PTIMRK, как это описано в § 6 гл. I.

В качестве тестового расчета предлагается использовать решение за­ дачи (1) с ядром (2) и значениями я = 0, b = 1, с = —2, d = 2. В качестве точного решения задачи будем использовать

z(s) = (е-<*-°’3)2/0,03 + £ - (s - ° ,7)2 / ° ’ 0 95504083 ) / о —, 0,052130913.

Сетку по переменной s на отрезке [а, Ъ] выберем из п = 41 точек. Будем использовать значения правой части на сетке из т = 41 точек, вычислен­ ные в соответствии с (3). Точности задания правой части и оператора бу­

Числовые значения приближенного решения, а также программа, вы­ зывающая PTIMR, приведены на рис. 4.2.

2. Описание программы PTIZR. Программа PTIZR может быть исполь­ зована так же, как и PTIMR, в двух режимах:

1)в первом режиме производится минимизация функционала М01[z ] при фиксированном значении параметра регуляризации:

2)во втором режиме программа PTIZR подбирает параметр регуля­

ризации а в соответствии с принципом обобщенной невязки р(а) = 0 (см. § 2 гл. I).

Форма обращения к программе :

CALLPTIZR(AK, U0, А, В, С, D, N, М, Z, AN2, DL, Н, Cl, IMAX, * ALFA, U, NU, IERR)

Здесь:

АК(Х, S) - подпрограмма-функция вычислениия ядра К(х, s) урав­ нения (1).

111

на которой задана правая часть уравнения (1).

Z —входной и выходной параметр. При обращении к PTIZR в Z зада­ ется начальное приближение к экстремали функционала Ма [z ] при задан­ ном в ALFA значении параметра регуляризации (массив длины N). Пос­ ле окончания работы программы PTIZR параметр Z содержит массив

113

программы PTIZR:

С1 < 1.0 —режим поиска экстремали функционала Ма [z ] при фикси­ рованном значении параметра регуляризации ALFA;

Cl > 1.0 — режим подбора параметра регуляризации в соответствии с принципом обобщенной невязки, т.е. из условия р(а) = 0; в этом слу­ чае параметр С1 задает также точность решения уравнения невязки —под­ бирается такое значение параметра регуляризации а, что | р (а) | < е = = (ci —1)62, где значение сг задано в параметре С1.

ШАХ —входной параметр — максимально допустимое число итераций метода хорд при решении уравнения невязки, а также максимально до­ пустимое число умножений параметра регуляризации на 2 при подборе такого значения, при котором обобщенная невязка положительна.

ALFA —входной и выходной параметр:

- в режиме подбора параметра регуляризации (С1 > 1.0), задаваемое в ALFA при обращении к PTIZR значение параметра регуляризации служит начальным приближением для корня уравнения невязки. При этом реко­ мендуется задавать такое начальное приближение параметра ALFA, при котором значение обобщенной невязки на экстремали функционала поло­ жительно. Если квадрат нормы правой части || и$ ||2 больше значения DL, то это условие выполняется для всех достаточно больших значений пара­ метра регуляризации. Если значение обобщенной невязки на начальном приближении отрицательно, то параметр регуляризации умножается на 2 до тех пор, пока обобщенная невязка не станет положительной (но не более ШАХ раз). После окончания программы PTIZR переменная ALFA содержит (в режиме С1 > 1.0, в случае успешного завершения) значе­ ние параметра регуляризации, удовлетворяющее принципу обобщенной невязки;

—в режиме С1 < 1 .0 параметр ALFA при обращении содержит значение параметра регуляризации, при котором необходимо определить экстре­ маль функционала Ма [z] .

U - рабочий массив длиной не менее N*M + 2*N + M. NU —входной параметр —длина рабочего массива.

IERR - выходной параметр —код завершения программы:

IERR = 0 —найдено значение параметра регуляризации, удовлетворяю­ щее принципу обобщенной невязки, если это требовалось (при этом ис­

тельные значения обобщенной невязки, т.е. нарушена выпуклость функции а(д) = р(1/д)); после окончания PTIZR в Z - экстремаль функциона­ ла Ма [z];

114

методом хорд (5) и модифицированным методом хорд (6), но заданная точность не достигнута; при реализации метода хорд встретились отрица­ тельные значения обобщенной невязки; нарушена выпуклость функции а(д) = р(1/д); по окончании в Z экстремаль функционала Ma [z] при текущем значении параметра регуляризации ALFA;

^ERR = 68 — задано или получено значение параметра регуляризации

PTIZRE первых N * М элементов рабочего массива U. Использование вхо­ да PTIZRE возможно также в режиме подбора параметра регуляризации по принципу обобщенной невязки, если, например, программа PTIZR окончилась по коду IERR = 65, 66 или 67.

Вызываемые подпрограммы: PTIZR1, PTIZRA, PTICRO, PTICR0, PTICR1, PTICR3, PTICR4, PTICR5, PTICR6, PTICR8.

Кратко опишем работу программы PTIZR. Операторы с 9 по 29 фор­ мируют начала массивов, делают необходимые начальные установки, а также, если эго необходимо, формируют матрицу А оператора (подпро­ грамма PTICR0).

Операторы с 30 по 39 подбирают такой параметр регуляризации а, что соответствующее ему значение обобщенной невязки положительно. Для этого параметр регуляризации последовательно умножают на 2 (не более ШАХ раз). Для нахождения экстремали функционала Ма [z ] ис­ пользуется подпрограмма PTIZR 1, реализующая метод сопряженных гра­ диентов. Подпрограмма PTIZRA вычисляет значения обобщенной невязки.

Операторы с 40 по 46 формируют вторую начальную точку для мето­ да хорд. Затем операторы с 47 по 60 реализуют метод хорд. Если возни­ кает необходимость (нарушена выпуклость обобщенной невязки), то операторы с 61 по 79 реализуют модифицированный метод хорд.

Отметим, что в качестве начального приближения для минимизации фунционала Ма [z] на очередном шаге используется экстремаль функцио­ нала Ма [z] при предыдущем значении параметра регуляризации.

115

116

Подпрограмма PTIZR1 минимизации функционала Ma [z] делает N итераций метода сопряженных градиентов. Для вычисления градиента функционала Ма [z], значения фунционала невязки и одномерной мини­ мизации используются соответствующие подпрограммы (PT1CR4, PTICR5, PTICR8, PTICRO).

В качестве тестового примера использовании программы PTIZR рас­ смотрим решение задачи (1) с ядром (2) и значениями я = О, & = 1, с = —2, d = 2 при точном решении

(s —0,5)г I

z(s) = exp

0,06 I '

Сетки по обеим переменным выберем из 4! точки (и - w = 41). В качестве правой части используем значения, вычисляемые в соответствии с (3). Точности задания оператора и правой части будем считать равными соот­ ветственно h2 - 1(Г10 и 52 = 10"8. Начальное приближение параметра регуляризации а = 10~6. Уравнение невязки будем решать с точностью до КГ11, что соответствует значению С1 = 1,001. Числовые значения полу­ ченного решения показаны на рис. 4.3. Это решение соответствует значе­ нию параметра регуляризации а = 9,30 X 10~7 и невязке 1,52 X 10~8 .

117

§ 2. Описание программы решения интегральных уравнений с априорными ограничениями методом регуляризации

В настоящем параграфе описывается программа PTIPR, предназна­ ченная для решения интегральных уравнений Фредгольма (1) в случае, когда относительно решения имеется априорная информация о его по­ ложительности или монотонности. Основа метода описана в § 2, 5, 6 гл. I. Для выбора параметра регуляризации используется принцип обобщен­ ной невязки. В качестве стабилизирующего функционала используется стабилизатор первого порядка, т.е. используется Z — гильбертово про­ странство с нормами

Это позволяет гарантировать равномерную сходимость приближен­ ных решений к точному. Для отыскания экстремала сглаживающего функ­ ционала Ma [z] = II A hz - us II2 + а II z II2 при фиксированном значении параметра регуляризации а программа PTIPR использует метод проек­ ции сопряженных градиентов, описанный в § 3 гл. III.

Для выбора параметра регуляризации используется модификация метод;: хорд, описанная в предыдущем параграфе.

Описание программы PTIPR. Программа PTIPR может быть исполь­ зована в двух режимах:

1)в первом режиме производится минимизация функционала Ма [z] при фиксированном значении параметра регуляризации;

2)во втором режиме программа PTIPR подбирает параметр регуля­ ризации а в соответствии с принципом обобщенной невязки р(а) = О (см. § 2 гл. I).

Форма обращения к программе:

CALL PTIPR(AK, U0, А, В, С, D, N, М, Z, IC, AN2, DL,

* Н, Cl, ANGRD, ШАХ, ALFA, U, NU, IERR)

Здесь:

АК(Х, S) — подпрограмма-функция вычисления ядра К(х, s) урав­ нения (1).

U0 — входной параметр-массив значений правой части уравнения (1) на равномерной сетке {xz} /2 i на отрезке [с, d], х х = с, хт = d, состоя­ щей из М точек.

А, В, С, D —входные параметры —соответственно величины а, b, с, d

заданном в ALFA значении параметра регуляризации (массив длины N).

118

ность решения задачи минимизации сглаживающего функционала при

ций метода хорд при решении уравнения невязки, а также максимально допустимое число умножений параметра регуляризации на 2 при под­ боре такого значения, при котором обобщенная невязка положительна.

ALFA —входной и выходной параметр.

жит начальным приближением для корня уравнения невязки. При этом рекомендуется задавать такое начальное приближение параметра ALFA, при котором значение обобщенной невязки на экстремали функционала Ma [z\ положительно. Если квадрат нормы правой части I I lli2 боль­ ше значения DL, то это условие выполняется для всех достаточно боль­ ших значений параметра регуляризации. Если значение обобщенной невязки на начальном приближении отрицательно, то параметр регуля­ ризации умножается на 2 до тех пор, пока обобщенная невязка не ста­ нет положительной (но не более ШАХ раз). После окончания программы PTIPR переменная ALFA содержит (в режиме С1 > 1,0 в случае успеш­ ного завершения) значение параметра регуляризации, удовлетворяющее принципу обобщенной невязки.

119