книги / Эффективные методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной структуры
..pdfГлава 2
к и н е м а т и ч е с к и й а н а л и з м е х а н и з м о в п а р а л л е л ь н о й с т р у к т у р ы
2.1. Задача кинематики МПС
Прямая задача кинематического анализа механизмов параллельной структуры состоит в определении движения выходного звена меха низма по движению начальных (приводных) звеньев. С точки зрения управления механизмом параллельной структуры наиболее важным является решение обратной задачи кинематики, когда требуется опре делять законы перемещения управляемых приводных координат меха низма с целью обеспечения требуемого закона перемещения выходного звена.
Основные задачи кинематического анализа можно сформулировать следующим образом:
—определение траекторий движения выходного звена по заданным законам движения приводных звеньев (прямая задача кинематики),
—определение законов перемещения управляемых приводных ко ординат, обеспечивающих требуемый закон перемещения выходного звена механизма (обратная задача кинематики),
—определение скоростей выходного звена по заданным скоростям управляемых приводных координат, а также решение обратной задачи,
т.е. определение скоростей управляемых координат, обеспечивающих заданные скорости выходного звена,
—решение линейных уравнений для расчета управления исполни тельными приводами в приращениях и обеспечение заданного закона перемещения выходного звена.
При анализе кинематики механизмов считается, что структурная
схема механизма известна и все зависимости определяются через за данные длины звеньев, управляемые координаты и конструктивные размеры механизма.
В качестве математического аппарата при расчетах применяется матричный аппарат однородных преобразований, предложенный Ж . Де навитом и Р. Хартенбергом [23]. Это позволяет анализировать сложные пространственные кинематические схемы механизмов, применить уни версальные программные средства и общую методику анализа кине матики механизмов параллельной структуры. Поэтому предварительно
42 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
рассмотрим математический аппарат однородных матричных преобра зований.
Перед рассмотрением каждого механизма в отдельности введем систему базисов векторов ei, e2 и ез с началом в центре основания механизма и обозначим этот базис начального положения е, Любое сложное вращение рабочего стола можно рассматривать как последо вательность простых вращений у, затем нового вектора е2 на д и е'з'
на С,
Поворот вокруг орта ei на угол у. Положение новой тройки ортов будет:
ei |
= |
ei, |
e2 |
= |
e2 cos у + ei x e2 sin у = e2 cos у + ез sin у, |
е'з |
= e3 cos у — e2 sin у. |
|
Поворот вокруг орта e2 на угол д |
|
|
||
e'[ = e\ cos д — e3 sin д = e i cos д + |
e2у sin д — e3 cos у sin д, |
|||
e2' = e2, |
|
|
|
|
e'3 = e'i sin д + e3 cos д = ei sin д — e2 sin у cos д + |
e3 cos у cos д. |
|||
Поворот вокруг орта e'3 на угол С |
|
|
||
e' ' |
= |
e" cos С + e'3 x e" sin С = |
e" cos С + e'2 sin С, |
|
e'2 |
= |
—ei sin С + e'3' x e’[ cos С = —e’[ sin С + |
e'2 cos £. |
|
(2 .1)
(2 .2 )
Новые базисы e ', e" и e'" однозначно выражаются через базис е , что позволит определить новое положение рабочего стола через углы
поворотов и базис е .
|
2.2. |
Кинематический анализ трипода |
|
|
Рассмотрим |
решение задачи кинематического анализа |
трипода |
||
(см. |
рис. 2. i ). В начальном положении штанги 1-4, 2 -5, |
3 - 6 |
располо |
|
жены параллельно оси Z . Рабочий стол сферическими |
шарнирами 4, |
|||
5, 6 |
соединяется со звеньями 1, 2, 3 соответственно. PC ограниченный |
|||
треугольником 4 - 5 -6 , углами которого являются центры сферических шарниров, образует равносторонний треугольник. Вращательные шар ниры в точках 1, 2, 3 соединены со штангами. Оси шарниров рас положены в плоскости основания и перпендикулярны биссектрисам, проведенным из центра О' треугольника основания в точки 1, 2 и 3.
Механизм трипода имеет три степени свободы. В работе [4] показа но, что при свободных перемещениях рабочего стола трипода по трем степеням свободы происходит изменение оставшихся трех координат.
2.2. Кинематический анализ трииода |
43 |
6
Однако, если считать эти изменения незначительными, то можно рас сматривать задачу о положениях в предположении, что рабочий стол при взаимных перемещениях в штангах звеньев 1- 4 , 2 -5, 3 - 6 приоб ретает следующие кинематические свойства:
1. Центр треугольника 4 , 5 , 6 - 0 " перемещается только по оси Z.
2 . Возможны два независимых поворота рабочего стола из плоско сти X Y .
3 . Вершины рабочего стола (треугольника) — сферические шарниры перемещаются в вертикальной проекции по лучам 4 - 0 " , 5 - 0 " , 6 - 0 " .
Таким образом, изменяя длины штанг, можно управлять платфор мой по трем степеням. Однако следует установить, приводит ли измене ние трех свободных координат платформы к зависимым перемещениям по трем другим координатам (смещение по оси х, у и поворот вокруг оси Z). Тот факт, что штанги соединены у основания одноподвижными шарнирами, исключает возможность поворота платформы относительно
оси Z.
Для того чтобы ответить на вопрос о том, смещается ли центр платформы при движении, приведем следующие рассуждения. Будем в начале рассматриваем трипод без учета жесткой связи между точками A , B ' и С (см. рис. 2 .2 ), т.е. когда штанги соединены только с основанием платформы одноподвижными шарнирами. Тогда положение
44 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
точек A ' , B ' и C ' зависит только от двух параметров: угла наклона
и длины штанги. Рассмотрим штангу e\, которая лежит в плоскости xOz (см. рис 2 .2 , а).
Рис. 2.2. а — схема соединения штанги с основанием, б — схема трипода, вид сверху
2.2. Кинематический анализ трииода |
45 |
|||
Координаты точки A ' могут быть описаны так: |
|
|||
х а ' |
= |
a — li cos(ui), 'j |
|
|
VA' |
= |
o, |
\ |
(2 .3) |
ZA' |
= |
li sin(«i), |
J |
|
где a — расстояние от центра треугольника до вершин, li — длина штанги A A ', ui — угол наклона штанги A A ' с осью Ox. С учетом того, что вершины шарниров развернуты друг относительно друга на 2п/ 3 , могут быть найдены уравнения движения точек В ' и C '. Для точки В ':
х в ' = —2 a + 2 I2cos(u2),
VB' = |
V3 |
V3 , |
( |
) |
— a — — 12 cos(u2), |
||||
ZB' = |
I2 sin(u2). |
|
|
|
И для точки C ' |
|
|
|
|
XC' = —2 a + 2 I3 cos(u3), |
|
|||
VC' = |
V3 |
+ V3, |
( |
) |
— Y |
a + — 13 cos(u3) |
|||
ZC' = |
I3 sin(u3). |
|
|
|
Однако точки A', В ' и C ' перемещаются |
несвободно, они соедине |
|||
ны жестким треугольником (верхним основанием платформы). Сле довательно, расстояние между данными точками всегда одинаковое и равное стороне верхнего треугольника. Это условие быть описано следующей системой
(ха' —х в ' )2 + (V A ' — VB' )2 + (ZA' —Z B ' )2 = |
L2, |
(х а ' — XC' )2 + (VA' — VC' )2 + (ZA' —ZC' )2 = L2, |
|
(XC' — XB' )2 + (VC' — VB' )2 + (ZC' — ZB' )2 = |
L2. |
где L — сторона верхнего треугольника. Подставляя выражения (2 .3 )-(2 .5 ) в систему уравнений и выполняя преобразования, получаем следующую систему уравнений:
3a2 |
+ х 2 |
+ х2 |
—3axi |
—3ax2 |
+ xiX2 |
+ (zi |
—Z2)2 = L 2A |
|
||
3a2 |
+ xi |
+ x3 |
—3axi |
—3ax3 |
+ X1X3 |
+ |
(zi |
—Z3)2 = |
L2, > |
(2 .6) |
3a2 |
+ x3 |
+ x3 |
—3ax3 |
—3ax2 |
+ X3X2 |
+ |
(3 |
—Z2)2 = |
L2,J |
|
где |
li cos(ui), |
X2 = |
I2cos(u2), |
X3 = |
I3 cos(u3). |
Xi = |
|||||
Zi = |
li sin(ui), |
Z2 = |
l2 sin(u2), |
Z3 = |
l3 sin(u3). |
46 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
Данная система позволяет найти углы наклона штанги к плоскости xOy, в зависимости от длин штанг. Решение системы может быть найдено численным методом. Полученные углы позволяют по формулам (2.3)-(2.5) найти координаты точек A ' , Б ' и C ' . Зная координаты точек, можно найти положение центра платформы для любых длин штанг. Если подставить численные значения в полученные выражения, можно убедиться, что при движении механизма рабочий инструмент смещает ся относительно координат x и у. Однако смещение относительно цен тра составляет 0 ,1- 0 ,0 1 % от величины полезного перемещения и для упрощения задачи мы им в дальнейшем изложении пренебрегаем.
Применим для определения длины каждой штанги замыкание це почки векторов при движении: от нижнего вращательного шарнира 1 к верхнему сферическому шарниру 4 через точки О' и О '' (см. рис. 2.1):
l i = —R e i + (L + ^)вз + Re'( ; |
(2.7) |
— от нижнего вращательного шарнира 2 к верхнему сферическому шарниру 5 через точки О' и О'' —
I2 = R (ei cos 60° —e2 cos 30°) + (L + z )e3 — R (e'( cos 60° —e'2cos 30° ) , (2.8)
— от нижнего вращательного шарнира 3 к верхнему сферическому шарниру 6 через точки О' и О'' —
I3 = R (ei cos 60° + e2 cos 30°) + (L + z) e3 —R (e i cos 60° + e2 cos 30° ) , (2.9)
где a — радиус описанной окружности рабочего стола, z — перемеще
ние |
рабочего стола вдоль оси Z, L — расстояние между точками О ' |
и О'' |
в начальном положении (вдоль оси z). |
Преобразовав полученные формулы (2.7)-(2.9) и подставив выра
жения (2 .1) - ( 2 .2 ), получим следующие значения: |
|
|||
11 |
R (cos$ — 1) ei + R sin ф sin $ e 2 + (L + z —R cos ф sin $) e3, |
|||
12 |
2 R ( 1 |
—cos $) ei + |
2 R ^V 3 cos ф — sin ф sin $ — V3^J e2+ |
|
|
|
|
+ ^ L + z + 2 R cos ф sin $ |
R sin ф^ e3 , |
l3 |
2 R ( 1 |
—cos $) ei + |
2 R (— V 3 cos ф — sin ф sin $ + |
V 3 ^ e2+ |
|
|
|
+ ( L + z + 2 R cos ф sin $ — ^ |
3 R sin ф^ e3 . |
Рассмотрим случай, когда платформа совершает только два враща тельных движения, т.е. углы ф £ [—п/2; п/2] и $ £ [—п/2; п/2]. При этом z = 0, L = 100 мм, R = 30 мм. Графики зависимости длины штанг от углов наклона предоставлены на рис. 2.3.
48 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
расположены на основании, таким образом, чтобы по одной стороне квадрата были шарниры одного типа. Начало координат расположим в центре квадрата.
Рис. 2.4. Схема тетрапода
Осуществим для определения длины каждой штанги замыкание цепочки векторов при движении: от нижнего вращательного шарнира 1 к верхнему сферическому шарниру 5 через точки О' на основании и О" на столе (рис. 2.4):
/1 = - R e \ + (L + z ) ез + x e \ + ув2 + R e 1' , |
(2 .10) |
— от нижнего вращательного шарнира 2 к верхнему сферическому шарниру 6 через точки О' и О''
/2 = - R e 2 + (L + z)e3 + xei + у в2 + R e '2', |
(2 .11) |
— от нижнего кардана 3 к верхнему сферическому шарниру 7 через
точки О' и О'' |
|
/3 —R e 1 + (L + z ) e3 + xe1 + ye2 — R e ' ' , |
(2 .12) |
— от нижнего кардана 4 к верхнему сферическому шарниру 8 через
точки О' и О''
/4 —Re2 + (L + z) e3 + x e 1 + ye2 — R e ''. |
(2.13) |
Дополнительными условиями, обеспечивающими связность шести ко ординат рабочего стола x , у , z ,y , $ и £, являются условия наличия
50 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
в едином базисе относительно неподвижной платформы:
11= ( - R + x + R cos § cos £) e i + (y + R (sin p sin § cos £ +cos p sin £)) e2+
+ ( L + z + R (sin p sin £ — cos p sin § cos £)) ез,
12 = (x — R cos § sin £) ei + (y — R + R (cos p cos £ — sin p sin § sin £)) e2+
+ (L + z + R (cos p sin § sin £ + sin p cos £)) e3,
13 = (R + x — R cos § cos £) ei + (y — R (sin p sin § cos £ + cos p sin £)) e2+ + (L + z + R (cos p sin § cos £ — sin p sin £)) e3 .
Механизм тетрапода имеет четыре степени свободы, при этом две другие степени жестко зависят от них. Из ограничений (2.14) и (2.15) получим следующие зависимости:
x= R cos § sin £,
y= —R sin p sin § cos £ — R cos p sin £.
Вслучае, когда платформа совершает только два вращательных
поворота на углы p £ [—п / 2; п / 2], § £ [—п / 2; п / 2], £ = 0 , x = y = z = 0 и, приняв L = 100 мм, R = 30 мм, получим графики зависимости длины штанг от углов наклона, рис. 2.5.
2.4. Кинематический анализ гексапода
Рассмотрим гексапод в виде эквивалентной схемы соединения двух
дисков [1 1 ].
Диски I, II (рис. 2.6) соединяются между собой шестью абсолютно |
|
жесткими стержнями 1-6, с |
шаровыми шарнирами на концах. М ень |
шее число стержней создаст |
относительную подвижность, в простей |
шем случае неособенного расположения пяти стержней одну степень |
|
подвижности и четырех — две степени подвижности и т. д. В случае семи и более стержней задача становится статически неопределимой: один раз, дважды и т. д.
Вернемся к случаю шести стержней. При неособенном расположе нии стержней система является статически определимой и не имеет по движностей. При нагружении одного из дисков внешней силой и жест ком закреплении второго диска в стержнях возникают силы реакции, которые в общем случае образуют силовой винт. Графоаналитические методы нахождения этого винта изложены, например, в [7].
Взаимодействие твердого тела и основания по направлениям осей стержней определяется плюккеровыми координатами этих осей [17]. Пусть ai, в и pi — углы, которые единичный вектор оси стержня