книги / Численные методы. Ч. 5
.pdf<2 ‘ = - к { s"l(” ~ 'l) + cos(« - л) ] + |
- г . ) . |
Рис. 2.1. Приближённое решение уравнения АТж(лг)+ W{\) =О
с граничными условиями Г(х)| г=0= Т°
и А,Г'(*)| = - |
а |
-7^] при использовании |
4 (а) и 64 |
(б) сегментов на отрезке [0,7г] |
|
Точное решение поставленной задачи
T{x) = W0synxlX +\_W0- a { T ° - T j) \x /{ \ + an) +T0 |
(2.18) |
позволяет определить погрешность полученного приближённого ре шения и точные значения потоков на торцах стержня:
|
Х(ж0-а (г ° -7 :))1 |
x(w0-a{T°-T„)) |
||
е ° = ^ И = о = |
W0 cosx:-+ —---- |
г------------- |
L |
= ^ 0+ —---- г------------- |
|
А+ ап |
|
А+ ап |
|
|
Х(г0-а(г°-Г _)) |
X(w0 -а(т° - TJ) |
||
|
W0COSJC+ |
Х+ал |
|
=W0- |
|
|
|
\+ ап |
|
В табл. 2.2 приведены величины тепловых потоков для прибли жённых решений, полученных при различном числе сегментов. Точ ные значения потоков: Q0=403,34 Вт/м2и QL=1596,66 Вт/м2
Таблица 2.2
Приближённые значения тепловых потоков на торцах стержня при различном числе m сегментов
m |
Q° |
& |
m |
2 ° |
of- |
2 |
363,380 |
596,660 |
i 6 |
403,341 |
1577,45 |
4 |
403,340 |
1303,77 |
32 |
403,339 |
1591,85 |
8 |
403,339 |
1520,54 |
64 |
403,340 |
1595,47 |
На рис. 2.2, а показана зависимость от координаты х погрешности
Д(*) = Г(х) - Тл(х) = Т(х) - X |
(*) • |
|
/=0 |
|
|
В табл. 2.3 приведены значения погрешностей |
|
|
К - F - 7 - . | = a g f M - r . M - g a |
nt)-t,T < p,U ) |
|
|
2m |
m |
8«,2ш= \K ~ Tm\ =max|r2m(x)- Tm(x)( = max £ 7>, ( x ) - ^ 7 ’(pi(x),
Рис. 2.2. Погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, полученного на четырёх сегментах с использованием пробных кусочно-линейных функций (а); зависимость погрешностей 8т(—о—)и him (-Д-) приближённого решения от длин сегментов (б)
определённых с помощью точного решения 7\х) дифференциаль ного уравнения и сравнением двух последовательных приближён ных решений Тти Tim дифференциального уравнения при различ ных значениях числа т и 2т сегментов с использованием чебышёвской нормы. Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 2.2, б.
Таблица 2.3
Погрешность Ътприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов
т |
h |
5m |
^т.2т |
т |
h |
5m |
&т.2т |
2 |
1,570796 |
3,00733 |
2,95867 |
16 |
0,196350 |
0,068358 |
0,0657 |
4 |
0,785398 |
1,00522 |
1,00466 |
32 |
0,098175 |
0,016445 |
0,0165 |
8 |
0,392699 |
0,268929 |
0,2585 |
64 |
0,049087 |
0,004208 |
0,0041 |
С применением формулы (В.1) приближенно определяется поря док погрешности численного решения дифференциального уравне ния разложением (2.9) по системе кусочно-линейных пробных функ ций. Для 8тпорядок погрешности оценивается значением
Ьт= (In3,00733 - In0,004208)/(ln 1,570796 - In0,049087) = 1,89622.
Для5т,2m эта величина
Погрешность полученного решения дифференциального урав нения методом Галёркина с использованием системы кусочно линейных пробных функций в обоих случаях можно приближённо оценить как величину второго порядка относительно длин h сегмен тов, т.е.
8т = \т -? т Л = о {и 2), |
ътЛт=|2т;.ср( - £ |
г,ф, |» о (а2). |
|
II 1=0 II |
II 1=0 |
/=О |
II |
В силу этого &т->0 при //->0 или |
Это позволяет утвер |
||
ждать, что последовательность приближённых решений дифферен циального уравнения, полученных аппроксимацией кусочно-посто янными функциями (2.9), сходится равномерно на отрезке [0, тс].
Выполненные расчёты (см. табл. 2.3, рис. 2.2, б) показывают, что погрешности Ъти §2тпрактически одинаково оценивают погрешность приближённого уравнения. Это означает, что при отсутствии точного решения, когда погрешность 8топределить невозможно, для контроля погрешности можно применять оценку ?>2т. На рис. 2.3 приведена за висимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов раз ностной сетки.
Рис. 2.3. Зависимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки
Выводы
1.Процедура метода Галёркина использована для приближённого решения дифференциального уравнения. Сформирована система ли нейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения искомого решения по системе кусочно-линейных функций.
2.Разработана вычислительная программа определения коэффи циентов разложения решения дифференциального решения по сис теме кусочно-линейных функций.
3.С использованием разработанной программы определены ко эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.2).
4.Для указанной последовательности разложений определены оценки Ът и bim погрешности приближённого решения (см. табл. 2.3) для различного числа т сегментов.
5.Показано, что с уменьшением длины А сегментов погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, определяе мая чебышёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.2, б). Установле но, что погрешность аппроксимации имеет первый порядок относи тельно длин сегментов (шага интегрирования).
6.Выполненное исследование показывает, что последователь ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу ченных методом Галёркина при аппроксимации кусочно-линейными
функциями, сходится равномерно на отрезке [0, л].
7. Для численного решения дифференциального уравнения ме тодом Галёркина с использованием кусочно-линейных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с процес сором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оператив ной памяти 512 Мбайт) требуется 2,5*10-3 с.
2.2. Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
Задание. Методом Галёркина с использованием кусочно-квадра тичных пробных функций построить приближённое решение одно мерного дифференциального уравнения стационарной теплопровод
ности [A.r'(jc)]' + W0sin х =0 |
с граничными условиями |
= Т°, |
\Т /(х]х=к= - a [r(jc)|j=7i -7^]. |
Сформировать систему линейных алгеб- |
|
раических уравнений относительно коэффициентов разложения ис комого решения по заданнной системе пробных функций; разрабо тать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последовательности сегмен тов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксима ции; оценить быстродействие вычислительной программы. При вы
полнении расчётов принять: |
L = к, Я = |
70 Вт/м •град, |
W0=1000 Вт/м3, а =30 Вт/м2 град, Т° = 10(f, Tm = 2(f |
||
Разрешающие соотношения |
|
|
Стержень, имеющий длину |
L = к, разбивается |
на т сегментов |
xf], i =l,m, равной длины h = xj -x,_l =л/ти. На каждом из сегмен тов определяются кусочно-квадратичные пробные функции:
(2.19)
Пробные функции1на отрезке [0, л] определяются соотношениями:
|
|| 2(*—-*i/у2ЛX*--*i*|)/hа2. * е к»*Д |
||
0 |
1 |
°о,. |
*е[х0,хД |
2 (* - |
* , - 1/2 Х * - |
*,-| ) Д 2, |
хе [х,_,,х, 1 |
<Р,(*)= '2{ х - х 1+]/г\ х - х м ) / И 2 , |
хе [х,.,х1+Д / = 1,/и —1; |
||
Общее число пробных функций п = 2т + 1.
Для дальнейших выкладок граничные условия для каждого сег мента [х ,з а п и с ы в а ю т с я в форме
|
(2.20) |
|
ЬТ'(х)|х. Хм =-д„ |
где |
, q, - тепловые потоки на поверхностях левого и правого торцов |
соответствующего сегмента. На основе пробных функций (2.11) фор
мируется приближённое решение задачи на сегменте |
в виде |
Т„(* ) = Т^Фы М + ^1- 1/2 Ф/-1/2 (* ) +Ttф,(х ), |
(2.21) |
где Ti-\ , Tj-y2и Ti - коэффициенты разложения искомой функции 71[х) по функциям (2.19), аппроксимирующие значения температуры в уз лах Xi-y2и х/ соответственно. Система уравнений (2.10), записан ная для выбранного сегмента (индекс к принимает значения / —1, i - У2и /),
jlЬТ'п{х)ч>м {х)]сЬ- |
\\Г„{х)у'м {х)с1х+ JlF(jc)(p,..1(x>& = 0, |
|
xl-l |
ХЫ |
xi-1 |
■ ^л'Мфм/гМ]^- |
\^Tn{xWi-\i2{x)dx+ }^(х)ф1_1/ 2 = 0, |
||
■*/-| |
|
x i - i |
x i-1 |
ДА.7;(х)<р,.(х)]'а!г- |хг;(х)фДх)(&+ |ж (х)ф Дх>& = 0, |
|||
kx/_1 |
x i - t |
-тм |
|
преобразуется к виду |
|
|
|
г |
- |
} ^ '( * ) ф(x)dxм + Xjw (х>ры {x)dx =0, |
|
|
|||
|
x i-\ |
|
х .-\ |
|
Х1 |
х/ |
|
• ^„'(*)ф ,-1 /2 (*)|^- |
}а.7;'(х)<р;_1/2(х>&+ }^(х)ф ,.1/2(х>&=о, |
||
|
xi-) |
x/-i |
|
|
}хг;(х)<р;(х>&+ \ W {X)ф,.(х>&=о. |
||
|
xi-1 |
|
x/-i |
С учетом свойств пробных функций
Фы (■*/ )= Ф/-1/2 (*,-1 )= Фг—1/2(*, )= Ф,(*М )= 0>
ф,_|(х,_| ) = ф,(х,)=1
и граничных условий (2.20) полученная система уравнений принима ет вид
|
- |
q'-t - |
\b.T'n{x)yj_x{x)dx+ |
|ж (х )ф м {x)dx = 0, |
||||
|
|
|
x , - l |
|
|
x i- 1 |
|
|
|
|
X, |
|
X, |
|
|
|
|
|
• - |
\ХТ'п{хУр'^п {х)ск + |
jfV(x)ф,_|/2(х)<& = О, |
|
||||
|
|
х/-1 |
|
xl- 1 |
|
|
|
|
|
~9,~ |
\^ Тп(хУР/(^)Л + |
}и/(х)ф,(х)а!г = 0, |
|
||||
|
|
Х,_, |
|
X i- 1 |
|
|
|
|
или, с учётом приближения (2.21), |
|
|
|
|
||||
|
X, |
X, |
|
|
X, |
|
X, |
|
7;., |
| ^ , ( х )л + 7;ч,2 { м Ы |
^ м М ^ + |
т; ^ ф;(х )ф;_1(х )л |
= ^ |
^ . . ( х ) * - ^ , |
|||
|
|
*.-i |
|
|
|
|
*.-1 |
|
|
X, |
|
|
X, |
|
X, |
|
X, |
<7/-1 }^ф'_,(х)ф'Ч;2(х )Л + 7;_|/2 |
JX(p'!l/2(x )^ + 7 ; |
|Аф'(х)ф'_|/2(х )Л = |
}ил(х)ср(_1,2(х )Л , |
|||||
|
|
|
|
х,_, |
х,_, |
|
х,_, |
|
|
X, |
|
X, |
|
|
X, |
X, |
|
^-1 |
|Хср'_,(х)ф'(х)Л+7;ч/2 |Аф'_|/2(х)ф'(x)dx+Ti |Хф',2{x)dx= }ж (*)ф i{x)dx-qr |
|||||||
|
x i-\ |
|
x i-i |
|
|
-r i-i |
Х,_, |
|
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур 7м, 7}_«/2и 77, т.е. коэф фициентов разложения (2.21) решения по пробным функциям. Далее, с учётом того, что
ф'-i ( * ) = 2(2х - хм/2 - х,.) / h2,
Ф/-1/2М |
= - 4 (2х - |
х,_, - х , ) / И1 , |
Ф /М |
= 2(2х - * м |
- х,_|/2)/А 2, |
подсчитываются интегралы:
}Аф ': , ( х )<& = ~ }(2 х - х , . |/2 - х ,)2<Л =
2А. (гх-х,..^ - х ,.)3*' |
2А. |
Г/г3 | |
27/г3") |
7Х |
|
А4 |
3 |
ЗЛ4 |
( 8 + |
8 J |
3/г ’ |
х, |
|
х, |
|
|
|
}А,ф'_1(х)ф'_|/2{x)dx = }аФ'_|/2(х)ф'_, [x)dx =
x i-1 |
* .- l |
00 |
(2 x - x,.., - x , )3 |
A (2 x - x w - x,. )2 |
|
4 _ |
|
VO |
00 |
|
1 |
1 |
1 |
.h |
||
A4 |
|
|
|
|
4А< х>
J ^ P i - l ( х ) ф , (jf)flbc = ^4 J ( 2 x^ i—-1/2 — X/
•>/-1
1 |
1 |
|
^ |
82 . Г |
|
||
|
JS" |
•u |
24 |
|
|
|
|
* — * Ы
+7А^|
24
•*'1-1/2
82. ЗА ’
=
42. (2* |
* |-| X i - \ l l f |
А(2х -У,_! X j~]j2 X |
А4 |
6 |
4 |
42.4А3 _ X А4 48 " ЗА ’
|
] к М ф м * = ^ |
jsin х(х - х,._1/2Хх- х, >&= |
|
|
|||
|
■*>-1 |
|
ХМ |
|
|
|
|
|
= ^ |
}sinx[x2- (х,_1/2+ х, )г + х,_|/2х,]с& = |
|
|
|||
_ |
sin х - (х2- 2)cosх - (х,_у2+ х, Xsinх - хcosх)- х,_1/2х,.cosх |Г = |
||||||
|
=Wn 3sinx, . +sinxf |
Г 4 Л|cosxw +-4cosx, |
|
|
|||
|
|
A |
W |
) |
|
|
|
|
jx.<p;_1/2(х)ф;., {x)dx = J2.(p'_,(x>p;_l/2(x>&= - ^ |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
ЗА |
|
|
|
|^<Pw/2(*)* = ^ T |
j(2jc_ *<-1“ xi)2(к = |
|
|
|||
|
8A, (2x - xf_, -x, )3 |
= ^ . ( Аз + |
162. |
|
|
||
|
|
|
|
аз)= 10Л) |
|
|
|
|
|
|
|
ЗА |
ЗА |
|
|
|
J2,<p((x)<p(-i/2(x)fl£t — ^4 j(2x |
xH X/4/2^2x x,_| |
x()c£r |
|
|||
82. |
(2x-xM-x, )3 A(2x-xw - x ,.)2 4 _ |
82.Г^14A3 |
2AM |
82. |
|||
A4 |
6 |
|
8 |
|
A4 , 48 |
48 |
ЗА |
* /-l |
4 |
|
Xj |
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
]tV(x)<pi_n dx = — |
jsinx(x- xM)(x- x ()dx = |
|
|
||||||
|
= - -jrr- Jsinx[x2 - (xw +x,)x +xMx,\lx = |
|
|
|
||||||
|
= - ^ [ 2 is in x - ( x ! -2)cosx-(xw + x, )(sinx - xcosx)- xMx, cosx \ |
= |
||||||||
|
8(cosjcf! - |
cos |
JC,.) |
4(sinxM + sin xt) |
|
|
|
|||
|
= W'n |
]? |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J^cp'_i(*>p'(*>&= |
J^up'(xto'u [x)dx = ^ , |
|
|
|
|||||
|
\Ы -уг (XW, (x)dx = |
К |
(*)<p'/ 2 -i |
= |
“ |
> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ЗЛ |
|
|
|
|
}^Ф /2 ( * ) * |
|
= 7 7 |
}(2a‘ “ *w “ |
* /- 1/2 )2<* = |
|
|
|
||
|
2X (2x - x M - x , - ) 3 |
_ |
2X Г27A3 |
ИЪЛ_1Х |
|
|
||||
|
A4 |
|
|
~ ЗА4^ |
8 |
+ 8 J _ |
3A’ |
|
||
|
jfF(x)(p,.cfe = |
|
jsin x(x - xw )(x- x,.l/2)abr= |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^ r - }sin x[x2- (xM + x,_l/2)x+ xwx,,1/2\ix = |
|
|
|
||||||
= |
[2x sin JC—(JC2—2)cos x - (xM + |
\sin x - x cos x) - JCM |
cos JC]*' = |
|||||||
|
sinx. , +3sinx, ( 4 |
Л |
|
|
|
4cosx, |
, |
|||
|
= ^n |
|
|
U 2 |
J |
|
h1 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка полученных значений приводит к системе линей ных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициен тов Г/_ь Т\-\/2 и Т\ :