книги / Теория электропривода.-1

Обозначим

при J1 → ∞ (при жесткой заделке первой).

С учетом принятых обозначений система (3.19) будет иметь вид

Скорость ω2 в двухмассовой механической системе является скоростью вращения рабочего механизма, а ω1 – скоростью вращения электродвигателя.

Асимптотические логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ) на рис. 3.7 построены непосредственно по полученным передаточным функциям системы. В соответствии с (3.24) структурная схема системы по ω1 представлена последовательным соединением интегрирующего звена, форсирующего звена второго порядка с частотой сопряжения

Ωс1 = Ω12γ и консервативного звена с резонансной частотой Ω

= Ωс. При Ω = Ωс имеет место нуль передаточной функции консервативного звена и ЛАЧХ при этом терпит разрыв, стремясь к –∞. При Ω = Ω12 имеет место полюс передаточной функции, при котором амплитуды стремятся к +∞, образуя

61

второй разрыв. Низкочастотная асимптота определяется ин-

тегрирующим звеном с коэффициентом 1 и соответственно

JΣ

имеет наклон –20 дБ/дек. Высокочастотная асимптота (Ω >> Ω12) соответствует также интегрирующему звену, но при коэффициенте в γ раз большем, чем в области низких частот (рис. 3.7, а).

а

б

Рис. 3.7. Логарифмические частотные характеристики упругой двухмассовой системы по управляющему моменту: а – по скорости 1-й массы; б – скорости 2-й массы

62

В низкочастотной области сдвиг между колебаниями определяется интегрирующим звеном и составляет –90°. При

Ω = Ω12/ γ скачком меняется знак числителя (3.24), что со-

ответствует уменьшению фазового сдвига на 180°.

Затем на частоте Ω = Ω12 аналогично изменяется знак знаменателя, и фазовый сдвиг вновь принимает значение –90° в соответствии с высокочастотной асимптотой ЛАЧХ.

Структурная схема системы при выходной переменной ω2 представлена интегрирующим и консервативным звенья-

тотой Ωχ2 = Ω12, ЛЧХ которой представлены на рис. 3.7, б. Они построены по передаточной функции (3.23), отличающейся от (3.24) только равенством числителя единице.

В низкочастотной области ЛАЧХ Lω2 совпадает с Lω1, разрыв имеет место только на резонансной частоте Ω12 и в высокочастотной области стремится к асимптоте с наклоном –60 дБ/дек. Соответственно, фазовый сдвиг между колебаниями при этом составляет –270°.

Рассмотрим влияние упругости на движение первой и второй масс механической части системы по ее структуре, представленной на рис. 3.5, и частотным характеристикам, изображенным на рис. 3.7. Движение первой массы при небольших частотах колебаний управляющего воздействия М в соответствии с (3.24) и рис. 3.7, а определяется суммарным моментом инерции электропривода JΣ, при этом механическая часть ведет себя как интегрирующее звено.

В частности, при М = const скорость ω1 изменяется по линейному закону, на который накладываются колебания, обусловленные упругой связью. Таким образом, интегрирующее звено в структуре характеризует условия движения механической части в среднем.

При частотах колебаний управляющего сигнала (момента), близких к резонансной Ω12, амплитуды колебаний скоро-

63

сти ω1 возрастают и при Ω1 = Ω12 стремятся к бесконечности. Проявление резонанса зависит от параметров механической части, так как в числитель передаточной функции Wω1 входит уравнение форсирующего звена второго порядка. Влияние упругости на движение первой массы будет меньше, если рабочий механизм обладает небольшой инерцией (J2 << J1, γ → 1), так же, как если Ω12 → ∞ в области малых и средних частот, то движение первой массы будет близко к движению,

определяемому интегрирующим звеном Wи = JрΣ .

В низкочастотной области асимптоты ЛАЧХ Lω1 и Lω2 совпадают, и в среднем движение второй массы также опре-

деляется интегрирующим звеном Wи = JрΣ . Однако при

Ω > Ω12 наклон высокочастотной асимптоты Lω2 составляет –60 дБ/дек, и колебательность второй массы будет выше, чем первой, при этом независимо от значений γ нет факторов, которые ослабляли бы развитие резонансных колебаний.

Определим уравнения движения первой и второй масс, момента упругой деформации.

Дифференциальное уравнение системы по скорости первой массы имеет вид

С учетом того, что M = const, уравнение примет вид

где εср – среднее ускорение системы, εср = М .

JΣ

Корни характеристического уравнения определены вы-

ше: p1 = 0, p2,3 = ±jΩ12.

64

С учетом частного решения при нулевом корне, соответствующего установившемуся равномерно ускоренному движению системы ω1 = εcp t, и того, что два корня мнимые,

общее решение приведенного выше дифференциального уравнения имеет вид

Аналогично определяется на основании передаточной функции (3.23) изменение скорости второй массы системы:

Решая (3.17) из системы уравнений движения электропривода с учетом (3.29), получим закон изменения упругого

Полученные соотношения показывают, что угловые скорости первой и второй масс изменяются по периодическому закону около среднего значения скорости ωср = εср · t, находясь в противофазе с амплитудами, зависящими от масс и коэффициента упругой связи между ними.

Момент упругой деформации также имеет периодический характер, изменяясь от статического момента сопротивления. Графики изменения упругого момента и угловой скорости первой массы приведены на рис. 3.8.

65

При прочих равных условиях колебания скорости ω1 тем меньше, чем меньше J2, а увеличение Ω12 при тех же ускорениях εср снижает амплитуды колебаний скорости обеих масс.

Если J2 << J1 или Ω12 → ∞ и не требуется оценка качества

движения второй массы, возможен переход от двухмассовой к одномассовой механической системе. Тогда механиче-

ская часть, представленная в виде жесткого приведенного звена, отражает движение системы в среднем и не дает точных представлений о характере движения упругосвязанных масс электропривода.

Рассмотрим влияние упругих связей на динамику двухмассовой системы.

Максимальное значение упругих колебаний в двухмассовой системе из (3.30)

M12max = Mc + 2 J2 εcp.

Отклонение амплитуды колебаний от среднего значения

M12cp = Mc + J2 εcp характеризуется динамическим коэффи-

циентом Kд = М12max , который является важной характери-

M12cp

стикой условий работы механического оборудования и одним из основных показателей динамических качеств ЭП.

Упругие колебания в механической части электропривода неблагоприятно сказываются на его работе, так как увеличивают динамические нагрузки, вызывают неравномерность движения, которая снижает точность выполнения технологического процесса.

66

Динамический коэффициент может быть понижен ограничением темпа нарастания момента двигателя (рывка) при пуске.

Если M = Mm (1−е−Tt ) и Мс = 0, тогда εm = J1 M+ J2 . Средние значения скорости первой массы и упругого

момента будут иметь экспоненциальный характер, их изменения приведены на рис. 3.9.

В реальных системах присутствуют силы внешнего и внутреннего вязкого трения [1, 6], оказывающие на систему демпфирующее воздействие. Для двухмассовой системы моменты сопротивления от сил внешнего вязкого трения на первой J1 и второй J2 массах пропорциональны скоростям соответствующих масс:

Mf1 = a1 · ω1, Mf2 = a2 · ω2,

где a1, a2 − коэффициенты пропорциональности.

Рис. 3.9. Демпфирование упругих колебаний ограничением «рывка»

На структурной схеме (рис. 3.10) с учетом этих сил сопротивления интегрирующие звенья масс охватываются жесткими отрицательными обратными связями, что приводит к потере интегрирующих свойств двухмассовой модели и по-

67

явлению статической ошибки в системе. Установлено, что в технических системах влияние внешнего вязкого трения на динамические свойства системы незначительно и им можно пренебречь [1].

Рис. 3.10. Структурная схема двухмассовой системы с учетом сил внешнего вязкого трения

На колебательную систему действуют, кроме внешних, демпфирующие внутренние силы вязкого трения. Влияние сил внутреннего вязкого трения в материале упругой связи выражают моментом сопротивления, пропорциональным разности скоростей ω1 и ω2:

Mв.т = βв.т · (ω1 – ω2),

где βв.т – коэффициент пропорциональности.

Определим передаточную функцию замкнутой системы по скорости второй массы с учетом влияния внутреннего вязкого трения по структурной схеме, приведенной на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Структурная схема двухмассовой системы с учетом влияния внутреннего вязкого трения

68