книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

Формула, естественно, обобщается на случай k-кратного резервирования замещением, т.е. такого резервирования, когда в момент отказа основного элемента 0 переключающее устройство П1 включает в работу 1-й резервный элемент, в момент отказа 1-го резервного элемента переключающее устройство П2 включает 2-й резервный элемент и т.д. до включения в работу последнего k-кратного резервного элемента. Такую группу элементов k-кратного резервирования можно рассматривать как группу элементов, составленную из группы (k – 1)-кратного резервирования и одного дополнительного k-го резервного элемента (рис. 2.19). При таком рассмотрении формула для k-кратно резервированной группы примет вид

ния; pk (t,τ) – вероятность безотказной работы k-го резервного элемента к моменту времени t при условии, что группа (k–1)-кратного резервирования отказала в момент τ; fk−1(t) – плотность распределе-

ния времени безотказной работы группы (k–1)-кратного резервирования.

Рис. 2.19. k-кратное резервирование

71

Если обозначить через qk (t,τ) – вероятность того, что k-й резервный элемент откажет к моменту t при условии, что группа (k–1)- кратного резервирования отказала в момент τ, т.е. если

где Qk−1(t) – надежность (k–1)-кратно резервированной группы. Поэтому

Эти формулы и являются основными формулами расчета надежности системы при резервировании замещением.

При выводе этих формул мы допускали, что переключающие устройства П1, П2, …, Пk действуют безотказно. Однако надежность этих переключающих устройств легче учесть, рассматривая их как самостоятельные элементы, включенные последовательно с соответствующими резервными элементами группы.

В следующих трех подразделах рассмотрим частные случаи резервирования замещением: нагруженный, облегченный и ненагруженный резервы.

72

2.2.5. Резервирование замещением в случае нагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют нагруженный резерв. В этом случае

с постоянным включением резервных элементов в работу (под-

разд. 2.2.3):

Этот результат очевиден, так как случаи нагруженного резервирования с постоянным включением и замещением в смысле надежности не отличаются друг от друга. Действительно, в обоих случаях расход надежности всех резервных элементов начинается с момента включения системы в работу и протекает одинаково интенсивно. Для экспоненциального закона распределения

2.2.6. Резервирование замещением в случае облегченного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют облегченный резерв. В этом случае, как и при нагруженном резерве, отказ резервного элемента может наступить и до его включения в работу. Поэто-

73

му введенную выше вероятность безотказной работы k-го резервного элемента pk (t,τ) здесь можно представить так:

где pk(обл) (τ) – надежность k-го резервного элемента в облегченном режиме, т.е. в резерве, а pk(раб) (t −τ) – надежность этого же k-го резервного элемента в рабочем режиме при условии, что до включения в работу он, будучи в резерве, не откажет к моменту τ.

Учитывая это выражение, основные рекуррентные формулы

(2.58) и (2.59) перепишем так:

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все элементы k-кратно резервированной группы (см. рис. 2.19) с облегченным резервированием подчинены экспоненциальному закону надежности. Пусть

74

2) при k = 2

Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие количественные характеристики надежности рассматриваемой резервированной группы.

2.2.7. Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют ненагруженный резерв. В этом случае естественно считать, что резервный элемент не может отказать до его включения в работу. Поэтому введенные

где рk и qk – надежность и ненадежность k-го резервного элемента в рабочем режиме. Учитывая это, основные рекуррентные формулы (2.58) и (2.59) запишем так:

75

сти Qk (t) k-кратно резервированной группы надо уже знать плотность распределения времени безотказной работы fk−1(τ) (k-1)-

кратно резервированной группы. Однако формулы (2.73), (2.74) можно упростить.

Обозначая pk (t −τ) = u, fk−1(τ)dτ = dv и применяя к интегралу формулу интегрирования по частям, получаем:

где учитываем, что Pk(0) = 1, Qk–1(0) = 0.

Аналогично можно преобразовать и формулу (2.74). Тогда ради упрощения, допуская, что все элементы в рассматриваемой резервированной группе равнонадежны, окончательно получаем:

76

где p(t), q(t), f(t) = – P′(t) – количественные характеристики надежности, общие для всех элементов этой группы. Зная эти характеристики

иприменяя последовательно k раз рекуррентные формулы (2.76)

и(2.77), получаем надежность Pk(t) и ненадежность Qk(t) рассматриваемой резервированной группы в случае, когда ее элементы равнонадежны.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все элементы k-кратно резервированной группы (см. рис. 2.19) с ненагруженным резервированием подчинены одному и тому же экспо-

ненциальному закону надежности: P(t) = e−λt .

77

И в случае любого k получаем:

Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие количественные характеристики надежности рассматриваемой резервированной группы.

Ненагруженное резервирование замещением обеспечивает большую надежность, чем нагруженное резервирование. Это очевидно, так как во втором случае в отличие от первого расход надежности резерва начинается сразу же после включения системы в работу.

Резервирование замещением наряду с нагруженным резервом позволяет также использовать облегченный и ненагруженный резервы. В этом состоит его преимущество перед резервированием с постоянным включением резерва, которое позволяет использовать только нагруженный резерв.

2.2.8.Расчет надежности систем

сфункциональным резервированием

Вподразд. 2.2.2 было введено понятие функционального резервирования и дано его определение. Как было отмечено, одним из примеров функционального резервирования являются однородные реконфигурируемые структуры, когда одна и та же ячейка может

вразличные моменты времени выполнять различные функции, заменяя неисправные (отказавшие) ячейки.

Рассмотрим расчет такой системы на примере однородной реконфигурируемой системы измерительных преобразователей (ОРС ИП), которая является типичной для АСУ ТП, а также в трактах телеизмерения в составе многофункциональных систем телемеханики. Сформулируем понятие отказа для данной системы.

78

Изначально предположим, что ячейки системы абсолютно надежны, т.е. в течение заданного времени не выходят из строя. Пусть имеется ОРС ИП с числом ячеек k, из которых при необходимости можно сформировать до n измерительных преобразователей. При поступлении заявки на обслуживание устройство управления ОРС ИП формирует из числа свободных ячеек измерительный преобразователь требуемой точности, т.е. один канал обслуживания. Если свободных ячеек недостаточно, имеет место отказ в обслуживании заявки [2].

Однако в общем случае ячейки ОРС ИП не являются абсолютно надежными и со временем могут выходить из строя. При этом отказавшая ячейка не восстанавливается до отказа всей системы. Учитывая это обстоятельство, в ОРС ИП следует предусмотреть в дополнение к k исходных ячеек определенное количество резервных ячеек так, чтобы в течение заданного времени работы число функционирующих ячеек не опускалось ниже k.

Сформулируем понятие отказа для модифицированной модели системы. Отказ системы – это ситуация, когда при приходе заявки на обслуживание новый канал не может быть сформирован, т.е. заявка не обслуживается либо из-за недостаточного количества изначально запланированных ячеек (включая резервные), либо из-за уменьшения количества свободных ячеек в результате их выхода из строя.

Поставим задачу следующим образом: следует рассчитать w – количество ячеек однородной реконфигурируемой системы, состоящее из k – числа основных ячеек (позволяющих сформировать n каналов обслуживания) и r – числа дополнительных ячеек, чтобы за заданное время tзад отказ системы наступил с вероятностью не больше

чем Qзад.

Решение задачи можно разделить на два этапа. На первом этапе следует рассчитать количество ячеек k ОРС ИП, обеспечивающее заданную вероятность отказа в обслуживании, предполагая идеальную надежность ячеек. На втором этапе (зная уже число основных ячеек k) необходимо рассчитать число дополнительных ячеек r,

79

обеспечивающее заданную вероятность отказа в обслуживании, предполагая, что ячейки ненадежны.

В соответствии с данным подходом при функционировании ОРС ИП имеют место два независимых события. Первое событие заключается в том, что k ячеек не хватило для формирования n каналов – это отказ идеального преобразователя (вероятность данного события Qобс). Расчет вероятности этого события ведется с помощью методов теории массового обслуживания. Второе событие заключается в том, что за заданное время вышло из строя более r ячеек – это недостаточность заложенного в систему резерва (вероятность данного события Qяч). Расчет вероятности второго события ведется с помощью методов теории надежности.

Отказ системы (в несколько упрощенной формулировке, позволяющей значительно уменьшить объем вычислений) заключается в том, что произошло либо первое событие, либо второе, и, таким образом, представляет собой сумму двух вышеуказанных независимых событий. Следовательно, его вероятность равна сумме вероятностей этих событий:

В первом приближении и поток заявок, и поток выхода из строя ячеек можно считать пуассоновскими. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами: а) стационарностью, т.е. его характеристики не меняются во времени; б) отсутствием последействия, т.е. интервал до наступления следующего события не зависит от предыдущего; в) ординарностью, т.е. два события одновременно произойти не могут.

Обозначим через λ плотность потока, т.е. среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий,

80