книги / Прикладная теория систем массового обслуживания.-1

2.2.2.Система массового обслуживания с ожиданием

иприоритетом в обслуживании

Из всех возможных СМО с приоритетом здесь будет рассмотрена только одна, самая простая, - одноканальная СМО с абсолютным приори­ тетом.

Рассмотрим одноканальную систему с абсолютным приоритетом, на вход которой подаются два независимых простейших потока заявок с ин­ тенсивностями Х\ и Х2. Заявки первого рода (интенсивность потока этих заявок равна Х\) обладают приоритетом в обслуживании. Число мест в очереди для заявок обоих видов не ограничено (/ = оо). Если канал обслу­ живает заявку первого потока, то интенсивность простейшего потока об­

d^o,o(0 = + X2 )PQ0(/) + Ц!Pl0 (0 + Ц2^0,1 (0 > dt

? M ± = - ( \ i+ \ 2+VLl)P. o(0 + M -i,o (0 + Hi^-i,o(0,

<tfo,y(0

-(Л + * 2 + (0 + M , , - i ( 0 + M - u ( 0 + И.Лч1 , / ( 0-

/> 0 , y>0.

Эту систему дифференциальных уравнений обычно интегрируют при начальных условиях

Л),о(0) = 1; Pij{0) = 0 (при i * 0 или j * 0)

(в начальный момент система свободна).

Решение системы уравнений для любого момента времени t удовле­ творяет условию

0000

1Е Л , j ( 0 = 1. /=0у=0

Доказано [8], что стационарный режим работы системы существует только при

a = ai + a2< 1.

Основные характеристики определяются следующим образом:

1.Среднее число заявок, обладающих приоритетом,

р_ (a i)2

11 —a,

2.Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, в

очереди

1t*l

ц, 1 - а , ■

3.Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, системе (в очереди и на обслуживании)

4. Среднее число заявок, не обладающих приоритетом,

5. Среднее время нахождения в системе заявок, не обладающих при­ оритетом,

1

^2 —^оч2

V-2

6. Среднее время ожидания в очереди для заявок, не обладающих приоритетом,

Пример 2.2. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обычный переговор прерывается. В сред­ нем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 - на сроч­ ные. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вызова абонента в другом городе) составляет 5 мин. Определить характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.

Решение. Переговорный пункт можно рассматривать как однока­ нальную СМО с приоритетом. Ее характеристики следующие:

3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПРОТИВОРАКЕТНОЙ ОБОРОНЫ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рассмотрим работу «-канальной системы противоракетной обороны (ПРО) (рис. 3.1), на вход которой поступают ракеты противника. Ракеты, пролетающие в пределах полосы налета, могут быть обстреляны любым из п каналов данной системы ПРО.

Ширина полосы налета Ъопределяется возможностями обстрела все­ ми п каналами любой цели в пределах полосы налета. Предполагается, что если ракета летит выше пределов полосы налета (слева или справа), то эти ракеты не могут быть обстреляны ни одним из п каналов данной системы ПРО.

Глубина зоны обстрела а определяется рубежом перехвата (условная линия, пролетев которую ракета может быть обстреляна) и рубежом прекращения огня, которые являются одинаковыми для всех гг каналов. Если обозначить через dm&x среднюю дальность перехвата, а через dmin - среднюю дальность прекращения стрельбы, то можно записать следующее приближенное выражение для глубины зоны обстрела а:

d\rax

Рис. 3.1. л-канальная система ПРО

Необходимо отметить, что характеристики зоны обстрела а и Ъзави­ сят также от скорости налетающих ракет и, высоты их полета h и т.п.

При анализе системы ПРО в качестве канала обслуживания рассмат­ ривается канал наведения. Под каналом наведения будем понимать всю совокупность средств, обеспечивающих стрельбу по воздушной цели. На-

В рассматриваемом случае время обстрела Т0б должно быть меньше или, по крайней мере, равно времени пребывания цели в зоне обстрела Г3. Среднее время пребывания цели в зоне обстрела

l)

где о - скорость полета ракеты при условии, что она обстреливается. Случай Гоб = Т2 характерен для системы ПРО, когда само время Т3

мало и нет возможности выяснить, поражена цель или нет за время ее об­ стрела, т.е. когда цель находится в зоне обстрела очень малое время.

Другой способ обстрела имеет место тогда, когда есть возможность получить и использовать информацию о поражении цели. Допустим, что время, проходящее между моментом поражения цели и моментом прекра­ щения огня, есть случайная величина Ги с математическим ожиданием А/[ГИ] = ги. Если за начало отсчета времени считать момент входа ракеты в зону обстрела, то при наличии свободных каналов это начало отсчета сов­ падает с началом обстрела цели. В общем случае время пребывания в зоне обстрела будет случайной величиной Г3 с математическим ожиданием М[Т2]=Т2. Цель будет не поражена, если время Гп, потребное для ее

поражения, будет больше времени пребывания цели в зоне обстрела Г3 (рис. 3.2,а).

Рис. 3.2. Взаимоотношение времени пребывания цели в зоне обстрела (Г3) и поражения цели (Т„)

Если Тп < Т2(рис. 3.2,6), то цель будет поражена. В этом случае время обстрела цели (или время занятости канала)

То6 = mintT; +ГИ,Г3),

так как при всех условиях обстрел ведется до тех пор, пока цель находится в зоне обстрела. Если величина Ти велика, то с большой вероятностью бу­ дет выполняться равенство Т0б = Г3, т.е. мы приходим к первому случаю обстрела цели, когда стрельба ведется в течение всего времени пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время Т2мало).

Таким образом, вероятность поражения цели при условии, что она обстреливается одним каналом, будет определяться как вероятность вы­ полнения неравенства ТП<Т3:

Р,=Р(Т„<Тг).

Имея в виду принятое допущение о пуассоновском характере систе­ мы, будем считать, что среднее время, затрачиваемое на поражение цели,

h= M [Tn] = -,

ц

а поток эффективных выстрелов является пуассоновским с параметром р. Далее, в силу того, что рассматриваются только пуассоновские системы, будем считать, что время пребывания ракеты в зоне обстрела Т2 подчиня­ ется показательному закону с параметром rj:

1 и

В этом случае

Pl = P(TB<T3) = - £ - .

p-f л

Если, кроме того, допустить приближенно, что сумма случайных ве­ личин Тп + Тн распределена по показательному закону с математическим ожиданием tn +/и, то время занятости канала Гоб будет также подчинено показательному закону с параметром

1 + ц г'и

Таким образом, поток освобождений канала ПРО, определяемый вы­ ражением (3.3), имеет интенсивность р*. Если время передачи информа­ ции /и мало, то выражение (3.3) имеет вид

Можно дать следующее объяснение формуле (3.4). Поток освобож­ дений канала слагается из двух потоков: потока поражающих выстрелов с параметром р и потока уходов непораженных ракет из зоны обстрела с па­ раметром rj. Другими словами, канал освобождается либо по причине по­ ражения ракеты, либо по причине выхода непораженной ракеты из зоны обстрела.

Если время передачи информации велико по сравнению со временем пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время Г3 мало), то

И* = Л

Наконец, при анализе работы системы ПРО необходимо знать харак­ теристики налета. Будем считать, что налетающие ракеты образуют пуас­ соновский поток с интенсивностью X, который определяется так:

где I - средний линейный интервал между ракетами.

3.1.Система противоракетной обороны с отказами

иупорядоченным обслуживанием

Упорядоченное обслуживание состоит в том, что заявки (цели) стро­ го распределяются по свободным каналам (нет случайного распределения заявок и нет взаимопомощи).

С точки зрения СМО рассматриваемая система представляет собой СМО с отказами в обслуживании и «нетерпеливыми» заявками, когда ка­ нал мгновенно освобождается либо при обслуживании заявки (поражение ракеты), либо при уходе заявки из системы (непоражение ракеты).

Рассмотрим работу л-канальной системы ПРО с ограниченным вре­ менем пребывания заявки в системе. Алгоритм работы системы следую­ щий: если к моменту поступления заявки в систему свободен хотя бы один из п каналов, то эта заявка принимается к обслуживанию только одним (любым) из свободных каналов. Если к моменту поступления заявки в сис­ тему все каналы заняты, то данная заявка остается необслуженной. На за­ нятый канал действует пуассоновский поток освобождений с интенсивно­ стью |х*. Эта интенсивность слагается из интенсивности потока обслуживаний одного канала р и интенсивности потока уходов заявки из-под об­ служивания ц:

ц* = ц + Л.