книги / Физические основы нанотехнологий фотоники и оптоинформатики

Поскольку каждое состояние переходит за время t в состояние

0 exp 0t 0 1 exp 2at / h 1,

для реализации операции NOT перехода 0 1 и наоборот 1 0

достаточно подождать время t 2a , т.е. гейт NOT дается просто есте-

ственной квантовой эволюцией нашего кубита при условии, что внешний потенциал задает двухямную структуру (это делается с помощью технологии квантовых точек).

Для реализации CNOT надо расположить два кубита (т.е. две пары ям) перпендикулярно друг другу и в каждой из них расположить по отдельному электрону. Тогда константа а для первой (управляемой) пары ям будет зависеть от того, в каком состоянии находится электрон во второй (управляющей) паре ям: если ближе к первой, а будет больше, если дальше – меньше. Ввиду этого состояние электрона во второй паре определяет время совершения NOT в первой яме, что позволяет снова выбрать нужную длительность времени для производства опера-

ции CNOT.

Эта схема очень приблизительная и идеализированная; реальные схемы сложнее, и их реализация представляет вызов экспериментальной физике.

В квантовом случае система из n кубитов находится в состоянии, являющемся суперпозицией всех базовых состояний, поэтому изменение системы касается всех 2n базовых состояний одновременно. Теоретически новая схема может работать намного (в экспоненциальное число раз) быстрее классической.

Ускорение на квантовом компьютере не связано с тактовой частотой процессора. Оно основано на квантовом параллелизме. Один шаг квантового вычисления совершает бо́льшую работу, чем один шаг классического. Не следует приравнивать квантовое вычисление к распараллеленному классическому. Например, квантовый компьютер не

может решить задачу перебора быстрее, чем за Tclass , где Tclass – время

работы детерминированного классического алгоритма перебора [3]. Недетерминированный классический алгоритм решает ее за время logTclass. Недетерминированный классический алгоритм требует экспо-

ненциального ресурса памяти, т.е. не является физически осуществи-

301

мым, тогда как квантовый алгоритм не противоречит известным законам природы.

Квантовое вычисление является процессом особого рода. Оно использует особый физический ресурс – квантовые запутанные состояния, что позволяет в некоторых случаях достигнуть поразительного выигрыша во времени. Такие случаи называются квантовым ускорением классических вычислений. Случаи квантового ускорения на фоне общей массы классических алгоритмов очень редки [4]. Однако это не умаляет принципиального значения квантовых вычислений, потому что они способны принципиально ускорить выполнение задач перебора.

11.3. ТЕОРЕМА О ЗАПРЕТЕ КЛОНИРОВАНИЯ

Теорема о запрете клонирования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 г. и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть сцепленным (запутанным) с состоянием другой системы. Например, создать сцепленное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Теорема о запрете клонирования дает отрицательный ответ на следующий вопрос: можно ли построить унитарный оператор U, действующий на гильбертовом пространстве H A HB H H , при

котором состояние, в котором находится система B, всегда эволюционирует в состояние, в котором находится система A, независимо от того, в каком состоянии находится система A?

302

Теорема2

Не существует унитарного оператора ˆ действующего на

U,

гильбертовом пространстве H H , такого, что для всех нормали-

для некоторого действительного числа в зависимости от и e.

Иными словами, не существует квантовой операции, которая бы клонировала неизвестное произвольное квантовое состояние.

Замечание 1. Теорема следует из линейности квантовых операторов и нелинейности оператора клонирования.

Замечание 2. Дополнительный фазовый фактор выражает тот факт, что квантово-механическое состояние определяет нормированный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового фактора, то есть как элемент проективного гильбертова пространства.

Доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы A и B с общим гильбертовым пространством H HA HB . Предположим, нам нужна

процедурадлякопированиякет-состояния A квантовойсистемыA вкетсостояние eB B квантовой системы B для любого исходного кет-состоянияA . То есть, начиная с состояния A eB , мы хотим получить состояние A B . Чтобы сделать «копию» состояния A, мы

объединяем его с системой B в каком-то неизвестном начальном или пустомсостоянии eB независимоот A , окотороммынезнаемзаранее.

2 По материалам работ [3, 4]

303

Тогда состояние исходной составной системы описывается следующим тензорным произведением:

A eB A eB

(в дальнейшем мы будем опускать символ и оставляем его неявным).

Есть только две допустимые квантовые операции, с помощью которых мы можем манипулировать составной системой:

–мы можем выполнить наблюдение, которое необратимо коллапсирует систему до некоторого собственного состояния наблюдаемого, искажая информацию, содержащуюся в кубитах. Очевидно, это не то, что мы хотим;

–в качестве альтернативы мы могли бы управлять гамильтонианом комбинированной системы и, следовательно, оператором временной эволюции U ( t ), например для независимого от времени гамиль-

тониана U t exp( iHt / ) . Развитие до некоторого фиксированного

Поскольку предполагается, что квантовое состояние e нормализовано, фазовый множитель равен 1, мы получаем

неравенству Коши – Шварца либо ei , либо ортогонально . Однако этого не может быть для двух произвольных состояний.

304

Следовательно, единичный универсальный оператор U не может клонировать общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования.

Пример. Кубит можно представить двумя комплексными числами, называемыми амплитудами вероятности (нормированными на 1), то есть тремя действительными числами (два полярных угла и один радиус). Копирование трех чисел на классическом компьютере с использованием любой операции копирования и вставки тривиально (с точностью до конечной), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразован (например квантовым вентилем Адамара) для поляризации. В таком случае кубит может быть представлен всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), а значение третьего может быть произвольным в таком представлении. Однако реализация кубита (например, фотона с поляризационным кодированием) способна хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». Таким образом, ни одна универсальная унитарная эволюция U не может клонировать произвольное квантовое состояние согласно теореме о запрете клонирования. Это должно было бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, следовательно, не было бы универсальным.

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние является чистым состоянием, а предлагаемый копировальный аппарат действует через единичную временную эволюцию. Эти предположения не теряют общности. В качестве альтернативы можно предоставить другое доказательство, которое работает непосредственно в случае смешанных состояний. Теорема известна как теорема о запрете трансляции. Тогда произвольная квантовая операция может быть реализована путем введения вспомогательной функции и выполнения подходящей унитарной эволюции. Таким образом, теорема о запрете клонирования выполняется в полной общности.

Теорема о запрете клонирования запрещает использование некоторых классических методов исправления ошибок в квантовых состояниях. Например, резервные копии состояния в середине квантового вычисления не могут быть созданы и использованы для исправления последующих ошибок. В 1995 г. Шор и Стейн разработали коды

305

квантовой коррекции ошибок, которые обходят теорему о запрете клонирования.

Точно так же клонирование нарушает теорему о запрете телепортации, которая гласит, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходного квантового состояния в новом месте. Это не следует путать с телепортацией с помощью запутывания,

о запрете связи, в которой говорится, что квантовая запутанность не может использоваться для передачи классической информации (сверхсветовой или более медленной).

Теорема о запрете клонирования препятствует интерпретации голографического принципа черных дыр как означающего наличие двух копий информации: одна находится на горизонте событий, а другая – внутри черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как дополнительность черных дыр.

Несовершенное клонирование. Несмотря на то, что невозможно сделать идеальные копии неизвестного квантового состояния, можно создать несовершенные копии. Это можно сделать, подключив более крупную вспомогательную систему к системе, которая должна быть клонирована, и применив специальное унитарное преобразование к объединенной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы превратятся в приблизительные копии исходной системы. В 1996 г. В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина для клонирования может создать клон неизвестного состояния с высокой точностью

5/6=83,(3) %.

Несовершенное квантовое клонирование может использоваться как перехватывающая атака на протоколы квантовой криптографии.

306

11.4. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ СОСТОЯНИЙ3

Алгоритм телепортации реализует точный перенос состояния одного кубита (или системы) на другой. В простейшей схеме используют три кубита: телепортируемый кубит и запутанная пара, один кубит которой находится на другой стороне. Отметим, что в результате работы алгоритма первоначальное состояние источника разрушится. Это пример действия общего принципа невозможности клонирования: невозможно создать точную копию квантового состояния, не разрушив оригинал. Не получится скопировать произвольное состояние, и телепортация – замена этой операции.

Телепортация позволяет передавать квантовое состояние системы, а не саму систему с помощью обычных классических каналов связи. Таким образом, можно, в частности, получить связанное состояние системы, состоящей из подсистем, удаленных на большое расстояние.

По сценарию протокола квантовой телепортации персонаж Алиса пересылает персонажу Бобу состояние кубита. Боб получает только два бита классической информации.

Предположим, в распоряжении Алисы имеется только классический канал связи с Бобом. Предположим, что кубиты Алисы и Боба находятся в белловском запутанном (сцепленом) состоянии

00 12 00 11 00.

1. Перед началом коммуникаций Алиса и Боб берут по половинке ЭПР-пары:

Они расходятся на произвольное расстояние.

2. Алисе нужно телепортировать кубит в неизвестном состоянии

3 По материалам работ [3, 4].

307

3. Алиса применяет вентиль CNOT. Это эквивалентно применению CNOT I к комбинированному состоянию трех кубитов, включающему

к своему первому кубиту, который хочет телепортировать. Это эквива-

Смещаем амплитуды так, чтобы можно было считать первые два бита, оставив третий в суперпозиции:

Н 12[ 0 00 0 10 0 011 1111 01 0 11 0 011 101 ],

Н 12[ 00( 0 0 1 1) 0 1 0 1 1 01 0( 0 0 1 1) 1 1 0 1 1 0 ].

5.Алиса измеряет первые два выделенных кубита в базисе Белла

00, 01, 10, 11 :

и, используя элементы Паули,

308

После измерения система «Алиса + Боб» находится в одном из следующих совместных состояний:

00 12[ 00 01(X ) 10(Z ) 11(XZ )],

с вероятностью для каждого, равной 14 .

Результат измерений (т.е. 00, 0 1 , 1 0, 1 1) Алиса передает

Боб выбирает в соответствии с сообщением от Алисы одну из четырех цепей:

1)случай бит 0,0 – применение элемента I:

I ( 0 0 1 1) 0 0 1 1;

2)случай бит 0,1 – применение элемента Х:

X ( 0 1 1 0) 0 0 1 1;

3)случай бит 1,0 – применение элемента Z:

Z ( 0 0 1 1) 0 0 1 1;

4)случай бит 1,1 – применение элемента ZX:

XZ ( 0 1 1 0) 0 0 1 1.

Боб условно применяет к своему кубиту Z и X, что классически задается значениями (0,1) a и (1,0) b . Выполняя это преобразование,

Боб получает состояние 0 0 1 1 (сравните с формулой (11.7)).

Таким образом, Алиса смогла правильно передать Бобу квантовое состояние, не прибегая к пересылке самой квантовой информации, а пересылая только два бита классической информации, создавая запутанную ЭПР-пару и выполняя локальное измерение Белла.

Квантовая телепортация, основанная на запутанных квантовых состояниях, используется в таких интенсивно исследуемых областях, как квантовые вычисления и квантовая криптография.

309

11.5. КВАНТОВАЯ КОММУНИКАЦИЯ4

Теория квантовой механики запрещает передачу информации со сверхсветовой скоростью. Это объясняется принципиально вероятностным характером измерений и теоремой о запрете клонирования. Представим разнесенных в пространстве наблюдателей А и Б, у которых имеется по экземпляру квантово-запутанных ящиков с котами Шредингера, находящимися в суперпозиции «жив – мертв». Если в момент t1 наблюдатель А открывает ящик, то его кот равновероятно

оказывается либо живым, либо мертвым. Если живым, то в момент t2

наблюдатель Б открывает свой ящик и находит там мертвого кота. Проблема в том, что до исходного измерения нет возможности предсказать, у кого именно что окажется, а после один кот жив, другой мертв и назад ситуацию не повернуть (рис. 11.6).

Слабые квантовые измерения позволяют вовремя остановить «убийство» кота Шредингера и оставить его в исходной суперпозиции «жив – мертв».

Обход классических ограничений был найден в 2006 г. Коротковым и Джорданом из Калифорнийского университета за счет слабых квантовых измерений (англ. weak quantum *measurement).

По аналогии оказалось, что можно не распахивать ящик, а лишь чуть-чуть приподнять его крышку и подсмотреть в щелку. Если состояние кота неудовлетворительно, то крышку можно сразу захлопнуть и попробовать еще раз.

Рис. 11.6. Ящик с мыслимыми котами Шредингера

4 По материалам работ [3, 4].

310