книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

К — кинетическая энергия тела

о

/С и /С — актуальная и отсчетная конфигурации 6L — тензор квадратичной упругости

4М — квазилинейный тензор упругости m — вектор намагниченности

4N — тензор ядер ползучести

пи п — векторы нормали в конфигурациях /С и 1C

О— тензор поворота, сопровождающий деформацию

Р— тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа

Ра (а = I, , п) — ортопроекторы симметричного тензора С

о

р и р — собственные векторы тензоров искажений V и U р — давление

Q — скорость нагрева

Qe — электрический заряд тела

Qm и Qx — производство энтропии за счет внешних массовых и поверхност­ ных источников

Qp — термодинамические потоки

Q — ортогональный тензор поворота твердого тела q — вектор потока тепла

q/i — вектор пиромагнитного эффекта

qm и — притоки тепла за счет массовых и поверхностных источников д* — плотность внутреннего производства энтропии

R — тензор электрического сопротивления 4R — тензор функций релаксации

rj и Гг - векторы локальных базисов в конфигурациях 1C и 1C

( п )

S (п = I, II, III, IV, V) — квазиэнергетические тензоры напряжений

о

S — поворотный тензор напряжений Т — тензор напряжений Коши

( п )

Т (п = I, II, III, IV, V) — энергетические тензоры напряжений TV — симметричный тензор напряжений пластического искажения

Т 0 — кососимметричный тензор напряжений пластического вращения t n — вектор напряжений

U — правый тензор искажений

U — внутренняя энергия тела

Г л а в а 1

АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

§1.1. Кинематика абсолютно твердого тела

1.1.1. Определение абсолютно твердых тел

Рассмотрим один важный частный случай твердых сред, который подроб­ но изучается в курсах теоретической (или классической) механики.

Определение 1.1.1. Идеальную твердую среду, которая при любых видах внешних механических и тепловых воздействий при переходе из кон-

жесткого целого вокруг точки О' пространства £%; XQ и XQ — радиус-векторы

о

материальной точки A4Q в 1C и 1C, которая в 1C совпадает с точкой Of

пространства; a (t) = х(£) — X Q (£) — вектор перемещения точки из 1C в 1C. В разные моменты времени t точкой поворота ATT могут быть, вообще говоря, различные материальные точки. Более того, в качестве точки поворота

заданной функцией времени. В частности, всегда можно связать центр по­ ворота ATT с какой-нибудь фиксированной материальной точкой Мо ATT, тогда XQ = const не зависит от t (X Q (£), конечно, зависит от t).

Основная задача механики ATT заключается в том, чтобы найти вектор­ ную функцию X Q (£) и тензор Q (t) по заданным силам, действующим на ATT, и, тем самым, полностью установить закон движения ATT (1.1.1).

Формула (1.1.1) является частным случаем более общей формулы (т. 2, (3.10.4)) жесткого движения произвольной актуальной конфигурации 1C в некоторую конфигурацию К!.

Если для произвольной JC конфигурация /С7 фиксирована и совпадает

о

с отсчетной, АД = /С, то формула (т. 2, (3.10.4)) преобразуется в (1.1.1). При этом радиус-векторы х7и XQ точки М в АД принимают значения

х' = х, X Q = X0(t) . (1.1.2)

Отметим, что х не зависит от t, поскольку формула (1.1.1) записана для

ции JC всегда можно ввести подвижную систему координат .Моё- с началом в центре вращения, для которой векторы ё7 определяются по формуле (т. 2,

о

векторами х и х7в /С и /С (рис. 1.1.1):

С учетом (1.1.4) формулу (1.1.1) можно записать следующим образом (аналог формулы т. 2, (3.11.3)):

Мо, то, как отмечалось выше, XQ = const и вектор х , характеризующий

имеет в качестве точек начала и конца одни и те же материальные точки Мо и М . Это означает, что в формулах (см. формулы т. 2, (3.11.2) и (3.11.4))

Для ATT в конфигурации JC часто удобно ввести еще одну подвижную систему координат Кенига Л/ещ базисные векторы которой совпадают с ё^ а ЛГ — некоторая фиксированная материальная точка ATT, одна и та же для

1.1.4. Деформации ATT

Транспонированный градиент деформации F T для абсолютно твердого тела на основании соотношений (т. 2, (1.1.21)) и (1.1.1) имеет вид

поскольку X Q , а и Q не зависят от Х г.

Таким образом, для абсолютно твердых сред градиент деформации — это ортогональный тензор, имеющий только три независимые компоненты. Используя свойство единственности полярного разложения (т. 2, (1.3.1)), по­

тензор поворота О, сопровождающий деформацию, совпадает с Q и является одинаковым для всех точек М тела. Тогда все энергетические и квазиэнергетические тензоры деформации нулевые (см. т. 2, (3.2.34) и (3.2.64)):

а энергетические и квазиэнергетические меры деформации с точностью до константы совпадают с метрическим тензором:

1.1.5. Определяющие соотношения для ATT

Выражение (1.1.19) для градиента деформации F является дополнитель­ ным ограничением на вид этого тензора, подобным условию несжимаемости.

Из (1.1.19) следует, что ATT является несжимаемым, поскольку

Рассмотрим основное термодинамическое тождество (ОТТ) в форме

( п )

причем это соотношение выполняется при любых значениях тензоров Т .

ные неопределенные множители Лагранжа, являющиеся самостоятельными неизвестными. Следовательно, тензор напряжений Коши Т также можно рассматривать для всех моделей Ап (так как он однозначно выражается

( п )

через Т и F) как самостоятельное неизвестное, не связанное никакими дополнительными соотношениями с F. То же самое относится и к тензору Пиолы — Кирхгофа Р, поэтому формальную запись этого утверждения

можно рассматривать как определяющие соотношения ATT. Оставшиеся определяющие соотношения находим из (1.1.24).

Поскольку для идеальной среды свободная энергия Гельмгольца ф зависит

( п )

только от С и в, для абсолютно твердой среды ф может зависеть только от в:

Для абсолютно твердой среды также применим принцип Онзагера, поэто­ му для нее будет справедлив закон Фурье (т. 2, (3.12.7)) в конфигурации /С:

причем тензоры теплопроводности А и А, согласно (т. 2, (3.12.10)), будут

поскольку y/g = \Jg в силу несжимаемости ATT.

Тензор теплопроводности А для ATT может зависеть только от темпера­

Таким образом, для ATT «механические» определяющие соотношения (1.1.25) являются очень простыми, а «тепловые» определяющие соотношения (1.1.26) —(1.1.29) — такими же, как и для идеального твердого тела, но не зависящими от тензоров деформации.

Несложно убедиться в том, что другие модели — Вп, Сп и Dn — приводят

к тем же самым определяющим соотношениям для ATT. Модель ATT широко применяют на практике: на ее основе построена фактически вся наука о теоретической механике (в ней используются только «механические» опреде­ ляющие соотношения), а также теория теплопроводности твердых сред (где, наоборот, используются только «тепловые» определяющие соотношения).

1.1.6.Следствие из принципов материальной симметрии

иматериальной индифферентности для ATT

Для ATT, как и для любой другой сплошной среды, должен соблюдаться

принцип материальной симметрии, согласно которому определяющие соотно-

*

шения (1.1.25)—(1.1.28) при переходе в новую отсчетную конфигурацию /С для некоторой ортогональной группы симметрии Gs с I должны сохранять

свой вид. Для (1.1.25) это требование выполняется всегда, поскольку эти

*

соотношения связывают один и тот же тензор напряжений и в /С. Таким образом, формула (1.1.25) всегда сохраняет свой вид

в силу абсолютной iT-инвариантности тензора Т.

Скалярные соотношения (1.1.26) и (1.1.27) не изменяют своего вида при переходе в /С. Для закона Фурье (1.1.28) принцип материальной симметрии

для всякого ортогонального тензора Q = Н из ортогональной группы Gs. Дальнейшие следствия из соотношения (1.1.33) будут полностью совпа­

дать с результатами т. 2, п. 3.12.5 для идеальных твердых сред; так вводятся

о

понятия изотропного ATT, для которого тензор А имеет только одну незави­ симую компоненту (т. 2, (3.12.32)), трансверсально-изотропного ATT, для

которого Л имеет вид (т. 2, (3.12.33)), и ортотропного ATT, для которого А

О

принимает вид (т. 2, (3.12.34)). Во всех этих формулах А зависит только от в.

§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT

1.2.1. Законы сохранения для ATT {локальная формулировка в пространственном описании)

Запишем законы сохранения для ATT в форме (т. 2, (2.12.1)) при а = = 1,2,5,6 («механическая» часть законов сохранения). Учитывая, что, соглас­

Кинематическое соотношение (т. 2, (2.12.1) при а = 5) остается без изменений (здесь учтено, что u = х — XQ):

а динамическое уравнение совместности (т. 2, (2.12.1) при а = 6) принимает вид

Это уравнение удовлетворяется тождественно, поскольку, согласно правилам ковариантного дифференцирования (т. 1, (2.4.27)):

V-(Q<g>v) = ( V - Q ) ^ v + Q T-V ^ v = Q T- V ® v = Q T Q Q T= Q T.

Здесь использована формула (т. 2, (2.7.4)) и учтено, что Q — ортогональный тензор.

К уравнениям (1.2.1) и (1.2.2) следует добавить граничные и начальные условия.

Для случая, когда нет перехода материальных точек через поверхность £, граничное условие следует из соотношений (т. 2, (4.4.28)) и имеет вид

ve — скорость движения внешней по отношению к ATT среды; D — линейная скорость фазового превращения.

В силу тождественности уравнения (1.2.3), для ATT имеем только два векторных уравнения (1.2.1) и (1.2.2), к которым следует добавить условия