книги / Современная теория ленточных конвейеров горных предприятий
..pdfНа рис. 1.2, а приведены плотности распределения непре рывных составляющих двух грузопотоков (1, 2), различающихся средними значениями и дисперсиями, причем
M Q[ < M q. и Oq;2 < Oq2.
На основании экспериментальных исследований [1] полу чены корреляционные функции грузопотоков Q' которые ап
проксимированы аналитической зависимостью вида
Rtf (т) = GQ’ех р (-ат),
где ос — характеристика грузопотока, определяемая типом до бычной машины, видом груза и т.д., т.е. грузопотоки являются экспоненциально коррелированными.
a pfQfJ
Рис. 1.2. Распределение непрерывной (а) и дискретной (б) частей грузопотока
14
Достоинством нормального распределения является воз можность простого нахождения необходимого значения грузо потока с заданной вероятностью. Используя табулированную функцию Лапласа Ф\ (...), запишем
Так, с вероятностью Р = 0,995 имеем
Q'\ = M Q.+3aQ,,
с вероятностью Р = 0,95
QI = M q. + \,65Gq. ит. д.
Определим основные характеристики дискретного процесса фд(г): вероятности стационарного состояния Р\ и Рг, среднее значение Mv, корреляционную функцию /?<р(т).
Процесс 9^(0 в любой момент времени может принимать лишь два значения: <ра = 1 и <ра =0 (рис. 1.3).
Пусть вероятность перехода от 1 к 0 равна ХАt , а вероят ность перехода от 0 к 1 равна рДг. Здесь Х = \/Тп , [i = i/T0,
где Тп и Т0 — среднее время поступления и отсутствия гру зопотока.
Рис. 1.3. Характер изменения функции ср(0
Рассматривая процесс фQ(t) как дискретный марковский процесс, используем для получения основных характеристик уравнение Колмогорова—Чэпмена [3]:
к
я„(г0,*+Дг) = 5 Х (* о » t)nv (t,t+At), t> lQ’ A t> 0’ О-О
*=1
где щ — условные вероятности перехода системы в состояние j, при предположении, что до этого она находилась в состоянии i.
At |
В случае разрывных марковских процессов для интервалов |
вероятности перехода определяются по формулам |
|
|
nkk(t,t +At) = l +akk{t)Af, |
|
nkj (t,t +At) = akJ(t)At, кФ j, |
где |
— коэффициенты, отвечающие условиям |
|
(1-3) |
|
i(j*k) |
Подставив (1.3) в правую часть уравнения (1.1), получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
Э*
3;М *о>0 = Х в#(0М *о>0» *’ |
|
|
(1.4) |
||
at |
|
к-\ |
|
|
|
Системе уравнений (1.4) удовлетворяют не только вероят |
|||||
ности перехода, но и абсолютные вероятности Pj(t). |
Если зада |
||||
ны начальные вероятности состояний fJ.° = P.(r0), |
то |
систему |
|||
(1.4) можно записать в виде |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1.5) |
систему |
(1.5) |
решаем при начальных |
условиях |
Pj(t) = |
|
= Pj(t0) = Pj0 при / = *0.И з(1 .2) следует, что |
аи = X, |
|
а2, = а |
||
из (1.3) |
a, ,= -X, |
а12 = - ц . |
|
|
|
Систему дифференциальных уравнений (1.4) запишем в виде
~71/1 (^о»0 = |
(^О’О’ |
щ2 ('о> 0 = - № |
( 1.6) |
2 ('о.О + Ч -. ('о- 0 > |
где i = 1, 2.
Из условия нормировки имеем щ2 = (t0,t) = l - n u (t0,t) и за
пишем первое уравнение системы (1.6):
м = -{Х+\1)ки (го,0+Ц , t > tQ.
Общее решение линейного неоднородного дифференциаль ного уравнения первого порядка с начальным условием
ли(^о>0 = 1 известно:
t
Лц 0{о>О =Н JexP[“ f t+Ц)(t~s),ds] +
h |
|
|
|
+ехр [ - f t + ц) (t - 10)] = |
+X)-+ |
|
|
+[А/(ц+А,)]ехр[-(Х+|и)т], |
x = t - t 0 >0. |
|
|
Общее решение системы (1.6) имеет вид |
|
|
|
я„ (г) =И-/(М- + ^) + [V(Ц+*.)]exp[- (X + ц)х] |
|
|
|
71,2 (х) = [ V(M- + *>)]{! - ехР[ “ f t + ц )х ]} |
I |
/1 |
|
|
|
||
7С22(т) = А/(|А+>.)+[ц/(ц + ^)]ехр[-(Х + ц )т] ,
(х) = [и/(М-+ Х)]{\ - exp [ - (X+д ) т]}
При t —> оо получим предельные значения вероятностей пе рехода, которые являются его средними значениями [с учетом единичной амплитуды процесса ф(г) ],
Л = = ц /(ц + Х);
Р1 =М'п = \/(ц + Х ).
При заданных начальных вероятностях состояния системы запишем выражения для абсолютных вероятностей состояний
рО___Р |
ехр[-(Х +р).у]; |
|
г \ |
р+Х |
|
|
|
|
/>,(,,+ 1) = (1- ^ ) п гг(5) + ^ я |!(*) = р + Х
рО_ |
И |
ехр[-(Х +р).у]. |
г \ |
р+Х_ |
|
|
|
Например, если вероятность начального состояния процесса <ре (г) равна PQ(t0) - \ (грузопоток начал поступать), то вероят
ность последующего поступления грузопотока в течение време ни Дт описываем первым выражением системы (1.7)
v ’ |
р + Х |
<Р|’ |
( 1.8) |
|
вероятность отсутствия грузопотока в это же время
рг (Ах) = тггт!1- 1ехр[- (X•+ р) Дт]} = Jlf
Как видно из этих формул, вероятность дальнейшего по ступления грузопотока после того, как он начал поступать, стремится от начального значения Рх(0) к стационарному зна чению
, в то время как вероятность его отсутствия — от началь
ц+Х |
|
ного значения Р2(0) = 1 - Р, (0) — к стационарному |
значению |
------ . Если же в начальный момент времени (Дт = 0) |
грузопо |
ц + Х |
|
ток перестал поступать, то вероятность его отсутствия в течение времени Дт описываем третьим уравнением системы (1.7), а ве роятность поступления — четвертым уравнением.
Из выражений (1.7) путем дифференцирования по т можно получить выражения для плотности распределения длительно стей поступления и отсутствия грузопотока. Например, плот ность вероятности непоступления, определенная из второго вы ражения, запишем в виде
(1.9)
аналогично для плотности вероятности поступления грузопото ка имеем из четвертого выражения
(1.Ю )
Как видно из выражений (1.9) и (1.10), распределение пе риодов поступления и отсутствия грузопотока носит экспонен циальный характер.
Перейдем к определению корреляционной функции процес са фе (t). Среднее значение процесса <pG(г)
- ( ' - ^ К г М - ^ Ч г М -
Подставив выражения для п0 из (1.7), получим
Корреляционная функция процесса <ре (г)
лфМ = - O U p )2
-----1 |
1 |
|
\1 + |
+ >>
Х
г * . |
11 |
l |
* + n JJ |
x ex p [-(X + p )j] |
л + l l j |
ехр[-(Я .+р)^]1х |
V |
J |
|
х е х р [-(^ + р )т ]. |
|
|
Если вероятность начального состояния Р,° = Р, = р /(р + Х), то стационарные значения
м , “ ( и - * ) /( и + Ч ;
(-г) = ц Х (Л .+ ц )“г е х р [—(Х ,+ ц )х ].
Учитывая четность корреляционной функции, получим окончательно
R<f{x) = \ik (X +\i)~2e \ р[-(Х+р)|т|],
откуда при т = О имеем следующее выражение для дисперсии:
Dv =\ik/(\i +X)2
Выделенные для удобства получения основных характери стик взаимно скорректированные непрерывная и дискретная составляющие Q'(t) и ф(г) позволяют рассмотреть реальный
грузопоток Q (t) в следующем виде:
С М 'С Ч 'К М -
Запишем основные характеристики процесса Q{t) :
среднее значение |
|
M Q - М Q>Mф, |
(M i) |
дисперсия |
|
DQ = DQD9+ М Q.D4 +M*DQ; |
( 1.12) |
корреляционная функция |
|
RQ(х) = Rq-(ОR4(х)+ M X (г) + М (х ); |
(1.13) |
плотность вероятности |
|
P (G )= fp ((2 0 d ^ |
(1.14) |
ЮГ
где £(...) — плотность вероятности процесса сре (г).
Закон распределения непрерывной и дискретной частей гру зопотоков при различных значениях р и X приведен на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Дифференциальный (о) и интегральный (б) законы распределе ния для непрерывной (/, 2) и дискретной (/', 2') составляющих грузопотока
(А.) > А^)
1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ КОНВЕЙЕРОВ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ВХОДНОМ ГРУЗОПОТОКЕ
Задача выбора производительности конвейера становится проблематичной при поступлении на его вход случайно изме няющегося грузопотока. Производительность конвейера должна быть такой, чтобы он имел возможность забрать максимальный грузопоток. Однако понятие «максимальный грузопоток» при его вероятностном характере не является однозначным. В каче стве максимального грузопотока можно принять его значение с вероятностью 99 %, тогда 1 % представляет собой величину, превышающую это значение и при которой образуется просыпь (рис. 1.5). Можно принять значение максимального грузопотока с вероятностью 99,9 %, тогда просыпи составляют 0,1 %, но не обходимая ширина грузонесущего устройства при принятой скорости возрастет, соответственно возрастут габариты конвей ера и его стоимость.
При значительных грузопотоках 1 % просыпей может со ставлять существенную величину и их подбор потребует значи тельных экономических затрат. Таким образом, обоснование необходимой производительности конвейера становится не тех нической, а технико-экономической задачей.
t
Рис. 1.5. Выбор максимального значения грузопотока
22
Другой важной задачей является расчет необходимой мощ ности привода. Нагрузка на конвейере изменяется случайно, по этому загруженность и связанную с ней действительную нагруз ку на единицу длины установки необходимо принимать с опре деленным уровнем вероятности. Следовательно, тяговое усилие и мощность привода зависят от принимаемого нами уровня за груженности. Принятие необоснованно низкого его уровня мо жет привести к перегреву двигателя, сокращению срока его службы и отказу конвейера.
Решим задачу для транспортирующей установки непрерыв ного действия (ленточный конвейер), когда грузопоток описы
вается в виде Q(t) = Q '(t)% (О-
Максимальное значение грузопотока, определенное с за данной вероятностью, может служить исходной величиной при выборе геометрических параметров грузонесущего полотна ус тановки. Однако необходимо задать временный интервал на блюдения грузопотока.
Например, если при мгновенной записи грузопотока уста новлено, что в пределах интервала времени АТ он остается от носительно постоянным, то возможно осреднение грузопотока на этом интервале без существенной погрешности (рис. 1.6) и использование этого значения в расчетах. В работе [1] в качест ве минимального интервала времени принята 1 мин. В этом слу чае за максимальный грузопоток принимаем с заданной вероят ностью объемный минутный грузопоток и сравниваем его с тео ретической минутной производительностью конвейера VKM(W, называемой приемной способностью конвейера; при этом долж но быть выполнено условие
V ^ V ^ P ) . |
(1.15) |
Приемную способность определяем по формуле |
|
K.MH„ =60/VV . M3/MHH, |
(1 16) |
где Fr — площадь поперечного сечения груза на грузонесущем органе, м2; v — скорость движения грузонесущего органа, м/с.