книги / Системы экстремального управления

Остальная информация, матрица (10.3.10) и вероят­ ность того, что экстремум расположен в точке xi (10.3.13), легко рассчитываются. Эти данные хранить не следует еще и потому, что они изменяются при очередном «розы­ грыше» значения энтропии, которое необходимо для при­ нятия решения о расположении очередного эксперимента.

Выше рассмотрен случай, когда дисперсии измерений ot в каждой точке Xi известны, что, разумеется, не всегда выполняется. Поэтому представляет интерес рассмотреть процедуру поиска при неизвестных дисперсиях.

В этом случае в каждом состоянии х-х необходимо оце­ нить значение дисперсии

П.г

З. - Х т г г S (Ю.3.17)

1j—1

ихранить ее в памяти. После эксперимента в точке Xi и получения значения Q' (х{) следует делать коррекцию дисперсии по формуле

ii

Востальном процедура поиска не изменяется.

Следует отметить в заключение, что описанные алго­ ритмы применимы для объектов без дрейфа характери­ стик и реализуются лишь на ЦВМ. Именно поэтому их следует рекомендовать для решения задач оптимизации, когда каждая оценка показателя качества объекта связана со значительными затратами.

ЗАДАЧА МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

§ 11.1. Особенности задачи многопараметрического экстремального управления

Задача экстремального управления многопараметриче­ ским объектом связана, прежде всего, со значительной сложностью объекта, дрейфом его свойств и большим числом ограничений.

Напомним постановку многомерной задачи экстремаль­ ного управления (общая постановка дана в § 2.3 главы 2 ).

Рис. 11.1.1. Графическое изображение многопараметрического объ­ екта оптимизации: а) скалярное, б) векторное представление.

Объектом многопараметрической оптимизации (рис. 1 1 .1 .1 ) является система с п управляемыми входами

Кроме этих управляемых входов, при помощи которых производится оптимизация системы, на объект воздейству­ ют неуправляемые и неконтролируемые факторы е15 . .

..., ет , которые определяют ситуацию. Их также удобно представить в виде m-мерного вектора:

Назовем этот вектор вектором ситуации. Ситуация Е неиз­ вестна, иначе не ставилась бы задача об оптимизации объекта в этой ситуации. Она может быть неизменна, т. е. Е = const, но может и изменяться во времени (Е = Е (t)) каким-то неизвестным образом, т. е. является многомер­ ным случайным процессом с неизвестным, но определен­ ным математическим ожиданием:

Информация о работе объекта снимается с его выходов. Один из них представляет собой скалярный показатель

его в процессе оптимизации следует привести к экстремуму (минимуму или максимуму — в зависимости от постанов­ ки задачи).

Далее, объект имеет к + р выходов, состояние которых должно поддерживаться в определенных пределах, т. е. на поведение объекта в процессе оптимизации накладываются ограничения различного рода.

Ограничения первого рода имеют вид равенств

Случай, когда какой-то из выходов объекта /* должен быть

гДе ëi должно удовлетворять ограничениям вида (11.1.5). В векторной форме условия (11.1.5) записываются в виде

Они означают то, что р выходов h} в процессе оптимизации должны иметь положительное значение. Случай, когда

какой-либо из выходов /;- должен быть больше (или меньше) заданного числа bj, сводится к (11.1.7) простым преобра­ зованием

где верхний знак берется для случая / ;- ]> aj, а нижний —

где Я = Теперь можно сформулировать задачу многопарамет­

рической оптимизации. Рассмотрим сначала случай неиз­

X* =(xi*, æ2, ., а£), которое минимизирует его пока­ затель качества при соблюдении всех ограничений, нало­ женных на остальные переменные:

Эти выражения означают, что состояние X* является оп­ тимальным для ситуаций Е среди всех состояний, удов­ летворяющих наложенным ограничениям.

В векторной форме задача экстремального управления при Е = const записывается более компактно:

Q (X, Е) —» min, xes

Г<?(Х) = 0,

(11.1.13)

{ я ( Х ) > 0 .

Если ситуация все время изменяется, т. е. Е = Е (t), то задачу оптимизации следует ставить несколько иначе. Рассмотрим два случая поведения вектора ситуации Е (t). Пусть в первом случае случайный процесс Е = Е (t)

шумом. Тогда задачу оптимизации следует записать в виде

где верхняя черта означает осреднение по всем возмож­ ным реализациям вектора ситуации:

iV -*o o

Здесь ti (i = 1, . ., N) — моменты определения показа­ теля качества. В практических задачах достаточно огра­ ничиться оценкой среднего значения на конечной базе N экспериментов :

N

(и.1.16)

i=i

Например, при Q (X, Е) = Ç (X) -f е (/, а), где е — случай­ ное число с математическим ожиданием I и дисперсией а, получаем

Здесь е — случайное число с нулевым математическим ожиданием и дисперсией a/Y N. Это выражение определяет

Так как средние значения оцениваются при ограни­ ченном числе экспериментов, выполнение условий (11.1.18) практически проверить нельзя (здесь и всюду далее под экспериментом понимается однократное определение по­ казателя качества и всех ограничений). Действительно,

всякая оценка среднего на базе N экспериментов произ­ водится со случайной ошибкой е ^0, ^.g_ j , в общем случае

не равной нулю. Поэтому даже в случае удовлетворения условий (11.1.18) удостовериться в этом невозможно,

гак как оценки gt и h} вычисляются с неизбежными ошиб­ ками.

Это заставляет записать условия (11.1.18) в иной фор­ ме, например в виде

где ôj и — заданные достаточно малые числа, величины которых определяются числом экспериментов N , выделен­ ных для проверки выполнения этих условий.

Рассмотрим теперь другой случай, когда ситуация Е (t) изменяется блуждающим образом, т. е. математичес­ кое ожидание случайного процесса Е (t) не является постоянной величиной и зависит неизвестным, но опреде­ ленным образом от времени М [Е (£)] = F (г).

В этом случае нельзя ставить задачу на отыскание экстремума, так как этот экстремум все время «уплывает». Поэтому возникает задача эффективного «преследования», отслеживания экстремума, т. е. задача экстремального регулирования. Эффективность такого отслеживания оп­ ределяется разницей между полученным значением пока­ зателя качества и экстремальным на данный момент

где Z*( — оценка положения экстремума, a Q*t — экстре­ мальное значение показателя качества в момент, вре­ мени t. Это — локальная характеристика. Более показа­ тельна интегральная характеристика — потери на рыс­

канье:

т

где Т — база, на которой оцениваются эти потери.

§ 11.2. Примеры многопараметрических объектов оптимизации

А. Автоматическое распределение технологического припуска. В процессе чистовой обработки детали с заго­ товки снимается слой материала, называемый припуском. От величины этого припуска существенно зависит себе­ стоимость детали. На рис. 11.2.1 показан пример плоской

заготовки (сплошная линия) и детали, которая должна быть вырезана из этой за­ готовки (пунктир). Разница между этими двумя кривыми образует припуск — на рисунке он заштрихован.

Распределением припуска

идетали при решении задачи называют процесс выбора

распределения припуска. припуска, т. е. определение

положения детали на ее за­ готовке, что однозначно определяет припуск.

Относительно величины технологического припуска можно высказать противоречивые суждения. Если при­ пуск слишком мал, то при его неправильном распределе­ нии возможно испортить деталь в процессе обработки. Этот брак появляется за счет отрицательного припуска. Если же припуск велик, то большая часть материала ухо­ дит в стружку, что также невыгодно, так как повышается стоимость обработки, в то время как в другом месте при­ пуск может быть опасно малым. Поэтому на производстве всегда стараются сделать припуск как можно равномер­ нее, так чтобы при его распределении снизить вероятность появления брака.

.Эту задачу можно решать вручную. Однако это требует больших затрат времени и не свободно от ошибок, вноси­ мых человеком, производящим распределение припуска. А при массовом производстве этот способ и вовсе непри­ меним. Указанные обстоятельства и соображения привели к необходимости автоматизации процедуры распределе­ ния припуска. Данная задача является задачей экстре­ мального управления. Покажем это. Как сказано, процесс автоматического распределения припуска заключается в определении положения детали на плоскости заготовки.

критерию

Q {х, У>Ф) = max Ь (s, х, у, ф) — min ô (s, х, у, ф), (11.2.5)

8 8

равному разности максимального и минимального значении припуска. Здесь индекс s обозначает, что максимум и минимум определяются при варьировании параметра s

(рис. 1 1 .2 .2 ), где

Однако этого мало. Следует еще соблюдать естествен­ ное ограничение, чтобы припуск нигде не стал отрица­ тельным, т. е.

Таким образом, задача выбора оптимального припуска сведена к оптимизации заданной функции трех перемен­ ных (1 1 .2 .6 ) при выполнении ограничения второго рода (11.2.7).

Для отыскания оптимального припуска можно вос­ пользоваться и другими критериями.

2. Минимальный припуск

В первом случае оптимальный припуск получается при максимизации показателя (1 1 .2 .8 ), т. е. при решении за­ дачи

Действительно, максимизируя минимальный припуск, мы

Рис. 11.2.3. Блок-схема распределения припуска с помощью авто­ матического оптимизатора.

делаем функцию припуска ô (s) более равномерной. Анало­ гичная картина наблюдается при минимизации макси­ мального припуска

Ограничения (11.2.7) при этом также должны обяза­ тельно выполняться.

Теперь рассмотрим практическую реализацию задачи оптимального распределения припуска. На рис. 11.2.3 показана блок-схема экстремального управления процес­ сом распределения припуска. Здесь объектом управления является положение шаблона, которое определяется тремя параметрами х, у, <р. (Возможно и обратное, когда шаблон неподвижен, а определяется оптимальное положение за­ готовки.) Величина припуска определяется в п заданных точках sv ., sm при помощи датчиков Д г, ., Дт,