книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

отличающееся от точного решения меньше чем на 0,25%. В дальнейшем будем ограничиваться первым приближением, дающим точность, вполне достаточную для практических приложений.

Если воспользоваться понятиями «обобщенная координата» и «обоб­ щенная сила», то уравнения (5) и (10), которыми пользовались для нахож­ дения параметров/,/!, /2, ..., приобретают весьма простой смысл. Возьмем,

Для определения всех элементов изгиба (прогиба, угла наклона касатель­ ной и кривизны в любом сечении) достаточно знать только величину /. Эту величину примем за обобщенную координату системы. Что же будет в таком случае обобщенной силой? Чтобы решить этот вопрос, дадим при­ нятой координате весьма малое приращение б/ и найдем соответствующую этому приращению работу. Множитель, на который нужно помножить б/, чтобы получить работу, и будет, согласно ранее принятому определению, искомой обобщенной силой. Приращению координаты б/ соответствует

sin-y^- есть нечто иное, как обобщенная сила, соответствующая коор­

динате /. Тогда уравнение (5) может быть получено сразу путем приравни­ вания производной от потенциальной энергии по координате соответствую­ щей силе. То же самое можно сказать и об уравнениях (10). Величины /3, /2, / 3, являются обобщенными координатами системы, а стоящие в пра­ вой части этих уравнений суммы будут соответствующими обобщенными силами. В выражение (11) входят только квадраты величин /lf /2, ..., сле­ довательно, они являются «главными» или «нормальными» координатами системы.

ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ И ИЗГИБА

Пока поперечные размеры бруска не малы по сравнению с длиной, можно, при одновременном действии продольных и поперечных сил, поль­ зоваться принципом сложения действия сил и суммировать напряжения изгиба с напряжениями от продольных сил. В случае гибких стержней такое сложение может привести к большим погрешностям, так как продоль­ ные силы кроме растяжения или сжатия вызывают при некоторых условиях значительные изменения в напряжениях изгиба. Исследование вопроса о влиянии продольных сил на прогиб сводится к интегрированию диффе­ ренциального уравнения изогнутой оси балки, и окончательное выражение для прогиба, даже в простейших случаях \ представляется довольно1

ния, 1900, том 20, № 6, стр. 111— 118. Две теоремы, относящиеся к сложному сопротивлению изгибу и сжатию. Там же, № 9, стр. 164— 180. К вопросу о сложном сопротивлении изгибу и сжатию. Там же, №11, стр. 204— 221. Расчет опорной рамы с абсолютно жесткою распор­ кой в мостах с ездой по низу. Там же, 1902, том 22, № 6, стр. 121— 126. Об одной задаче строительной механики. Там же, 1903, том 23, № 10, стр. 224— 228; № 11, стр. 241— 249;

Предположим балка АВ, изгибаемая поперечными силами Ръ Я2» •••>

подвергается действию продольной сжимающей силы S (рис. 3). В каче­ стве первого приближения допустим, что балка гнется по синусоиде

Работу продольных сил найдем, вычислив сближение концов изгибае­

мой балки. Это сближение, очевидно, будет равно разности между длиной дуги изогнутой оси и длиной соответствующей хорды АВ. Разность между

Если балка гнется по синусоиде, то

/

(13)

о

Давая прогибу / бесконечно малое приращение, тем самым вызываем до­

полнительное сближение концов балки, равное Д^-6/ = -g/- б/, причем

№ 12, стр. 226— 273. Отд. оттиск: С.-Петербург, тип. Ю. Эрлих, 1904, 66 стр. Изгиб сжатых и вытянутых балок с заделанными концами. Изв. Петербургского политехнического инсти­ тута, 1904, том 1, вып. 1— 2, стр. 3— 76; вып 3—4, стр. 258— 279. В этих статьях приведе­ ны подробные таблицы, значительно облегчающие расчеты. См. также: Т о 1 1е М. Die steife Kettenlinie. Ein wichtiger Fall der Zusammengesetzten Biegungs— und Zugfestigkeit. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1897, Bd 41, N 30, 24 Juli, S. 855—860. F o r -

Заключенный в скобки множитель есть обобщенная сила, соответствующая координате /. Приравнивая производную от потенциальной энергии по координате соответствующей силе, получаем уравнение

продольной силы ничтожна. Влияние это возрастаете увеличением гибкости стержня, т. е. с увеличением длины / или уменьшением жесткости изгиба

EJn2

EL Когда продольная сила станет равной---- j— , знаменатель в формуле

(14) обращается в нуль и, следовательно, весьма малая поперечная сила может вызвать большой прогиб. Это значение продольной силы будем на­ зывать «критическим» и отношение S : Е1п2/1 обозначим одной буквой а2, тогда

Влияние продольной силы на прогиб вполне определится ее отноше­ нием к критическому значению силы. Для суждения о точности получен­ ной формулы вычислим несколько значений коэффициента р/ и сравним их со значениями fx, определенными по точной формуле для случая изгиба балки силой, приложенной по середине пролета. Результат вычислений дан в таблице. Из таблицы видно, как возрастает влияние продольной силы на прогиб с увеличением а 2. При я 2а 2/4 = 0,5, т. е. когда продольная сила составляет одну пятую часть критического значения, влияние ее на прогиб оценивается в 25%, при вдвое большей силе дополнительный про­ гиб составит 68% /0. Разность между точной и приближенной формулой весьма невелика. Для случаев, приведенных в таблице, она нигде не дости­ гает 1%. Такая точность, конечно, вполне достаточна для практических приложений. При желании получить дальнейшие приближения нужно взять для прогиба у общее выражение (9) и соответствующее значение по­ тенциальной энергии (11). С переходом к сплошной нагрузке точность приближенной формулы (14) возрастает. При равномерно распределенной нагрузке погрешность, в худшем случае, не превышает 0,5%. При рас­ пределении нагрузки по параболическому закону погрешность еще меньше.

Следовательно, на практике всегда можно пользоваться приближенной формулой, если только все вертикальные силы имеют одно направление.

От продольной сжимающей силы легко перейти к случаю растягиваю­ щей силы, нужно только изменить знак при S. Прогиб посередине пролета, если ограничиться первым приближением, равен

где а 2 сохраняет прежнее значение. В случае растяжения гибких стержней

а2 может быть больше единицы (на практике не превышает 10) и, как показывает вычисление следующих приближений, точность формулы (16) убывает с увеличением а 2. Для сосредоточенных сил уже при а 2 = 2 по­ грешность приближенной формулы достигает 4,3%. В случае равномерно распределенной нагрузки точность значительно большая и, например, для

а2 = 10 погрешность не превышает 1,7%.

Вычислив по приближенным формулам прогиб, можно найти величину изгибающего момента, обусловленного действием продольных сил. Для

в зависимости от того, растягивающая или сжимающая сила S. Возьмем, например, случай одновременного действия сжатия и изгиба силой Р, приложенной по середине пролета. Изгибающий момент по середине про­ лета имеет наибольшее значение. Его величина равна

Здесь мы вместо f0подставили его значение Р13/48Е1. В случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q изгибающий момент по середине пролета равен

ИЗГИБ БАЛОК С ЗАДЕЛАННЫМИ КОНЦАМИ

В случае заделанных концов прогибы на опорах и углы наклона соот­ ветствующих касательных равны нулю. При действии вертикальных сил одного направления изогнутая ось имеет две точки перегиба и максимум прогиба будет недалеко от середины пролета (рис. 4). Удовлетворим всем этим условиям и получим подходящий вид кривой, если для изогнутой оси бал­ ки возьмем уравнение

У = — (1 — cos— —J. (17)

Легко показать, что при х = 0 и х = I обращаются в нуль у и у' Наиболь­

ший прогиб соответствует середине пролета и равняется /. Выбрав таким образом форму кривой, тем самым обратили балку в систему с одной сте­ пенью свободы. За обобщенную координату возьмем величину /. Если коор­ динате / дать бесконечно малое приращение б/, то точка приложения ка­

Дав координате / приращение б/, найдем, что сближение концов изменяется на величину

df

ту поперечных сил Рг, Р21 ..., найдем для искомой обобщенной силы вы­ ражение

Уравнение для определения / напишется так:

Подставив вместо V его значение (19), найдем для прогиба формулу 2лci j

Если через /0 обозначить прогиб при действии только поперечных нагрузок

и сохранить обозначение S : ■= а2, то полученная выше формула пе­

репишется так:

В случае продольных растягивающих сил нужно только изменить знак:

/=—V-* (24)

‘ + - V

Сравнивая это выражение с результатами предыдущего параграфа, за­ ключаем, что в случае заделанных концов роль продольных сил не так велика, как при опертых концах, и влиянием этих сил на прогиб часто можно пренебречь.

СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОДОЛЬНЫЕ СИЛЫ НЕИЗВЕСТНЫ

В рассмотренных выше случаях продольные силы S считались задан­ ными. На практике чаще всего приходится встречаться с задачами, где продольные силы неизвестны и возникают в связи с дополнительным за­ креплением концов. Обычно опоры устроены так, что концы оалки при изгибе не могут сближаться. В таком случае изгиб сопровождается появле­ нием горизонтальных сил, вызывающих растяжение оси балки. Величину этих сил легко можно найти, если воспользоваться выведенными выше при­ ближенными формулами (17) и (24). Если концы балки совершенно не пе­ ремещаются, то разность между длиной дуги и длиной хорды АВ (рис. 3)

Отметим здесь весьма существенное обстоятельство. Было найдено, что величина наибольших напряжений в случае бруска с заделанными концами больше, чем при опертых концах. Заделка оказывается вредной. Такой результат объясняется тем, что в случае заделанных концов продольная сила, уменьшающая величину наибольшего момента, получается меньшей, чем при опертых концах.

ИЗГИБ БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Решение этой задачи путем интегрирования соответствующего диффе­ ренциального уравнения приводит к довольно сложному выражению для изогнутой оси, и определение прогибов в различных частных случаях требует немалой вычислительной работы. Вычисления эти в некоторых слу­ чаях могут быть значительно упрощены, если воспользоваться прибли­ женным методом. Метод этот особенно выгоден тогда, когда возможно ограничиться первым приближением.

Рассмотрим здесь две задачи: а) изгиб балки со свободными концами силой, приложенной посредине и б) изгиб балки

сопертыми концами.

Вобоих случаях предполагается, что балка по всей длине связана с

упругим основанием. Случай, когда длина стержня I очень велика, был

рассмотрен раньше, и оказалось, что под действием сосредоточенной силы ось стержня изгибается по волнообразной кривой, причем длина волны зависит от степени податливости основания и от жесткости стержня при изгибе. Сделав допущение, что на каждую единицу длины прогнувшегося стержня приходится реакция основания, равная ky, находим для длины

полуволны выражение L = я/a, где а = y k/AEI

Если взять сравнительно короткий стержень, длина которого меньше длины полуволны L, то под действием сосредоточенной силы, приложенной посредине, он прогнется по кривой без перегибов (рис. 5), причем концы бруска опустятся на некоторую величину а и наибольший прогиб, соот­ ветствующий середине пролета, будет равен а + /. Для определения а и / воспользуемся приближенным методом. Предположим, что стержень гнется по синусоиде, тогда прогиб в каком-либо сечении определится из уравнения

y = a + f sin — .

Параметры а и f этого уравнения примем за координаты системы. Если дать координате а приращение ба, то сила Р совершит работу Рба, следо­ вательно, Р есть обобщенная сила, соответствующая координате а. Точно так же убедимся, что и координате f соответствует сила Р. В таком случае

Для определения а и / нужно в полученные уравнения вместо V подста­ вить его значение. Потенциальная энергия системы в данном случае со­ ставится из двух частей: из энергии изгиба Vly для которой можно восполь­ зоваться выражением (5), и из энергии деформации основания V2•Реакция