Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	31

p 2

p 3

p 4

(4 3							− 6					) 3	2 3 −1			= 4 3			12 −1			− 6					×
		1 + 2							13 + 4														13 + 4
						3					3														3
						3					3														3
										11										11

										(13 + 4					)(13 − 4			)
	2							2
														3			3
				3 −1										3			3			169				− 48
×6								= 4 − 6													= 4 − 6					=
×6								= 4 − 6													= 4 − 6					=
			11							2										121
			11							11										121
= 4 −1 = 3 d
Проверить справедливость равенства:


3 38 +					1445 + 3 38 −					1445 = 4

Положим A = 338 + 1445 + 338 − 1445 A3 = 38 + 1445 + +38 − 1445 + 33(38 + 1445 )(38 − 1445 ) A = 76 +

+3 3382 −1445 A = 76 + 3 3 1444 −1445 A = 76 − 3A

Получили: A3 = 76 − 3A A3 − 64 = 3(4 − A)( A − 4)( A2 + 4 A +16) + 3( A − 4) = 0

( A − 4)( A2 + 4 A +19) = 0

A − 4 = 0

2 + 2 + =

A 4 A 19 0 - это квадратное уравнение не имеет

действительных корней.

Значит, A = 4 - единственное возможное действительное значение для A, чем и доказано требуемое равенство.

((4

− 4

)−2 + (4

+ 4

)−2 )÷

a + b

a − b

a +

( a + b )(

a − b )

a − 4 b )

(4 a + 4 b )

( 4

+ 4

)2 + ( 4

− 4

(

−

) =

((4

− 4

)(4

+ 4

))2

32	В.А.Битнер

p 5

p 6

=	a + 2 4 ab + b + a − 2 4 ab + b	( a − b ) =
	( a − b )2

2 (a + b )

= d

a − b

Упростить выражение и вычислить его числовое значение при b = 0,04

n 2

1 2

(a + b)−

b3c

(a + b)−

c 2

c 3

b 2 c 3

(a + b)

16−8n

4(2−n)

2−n

− 4

−1

(a + b )3 a 3

= b 2 =

b , при b = 0, 04 имеем:

0, 04 = 0, 2 d

a2 + 2a − 3

(1 − 2a + a2 )(a2 −1)(a −1)

= 4 (a −1)4 (a + 1) ÷

4 a + 1

a + 1

)

4 (a + 1)2

−

, e −1 < a < 1

−1

a + 3

a −1

(a −1)(a + 3)

4 a + 1

a + 1

, e a > 1

a + 3

Упражнения для самостоятельного решения.

x +1

;

x2 −

x x + x + x

x −1

x0,5

+ 1

;

x1,5

−1

x−0,5

x + x 2 +

( 4

+ 4

)2 + ( 4

− 4

2 (m − n )

m3 − n3

x − a

+ x − a

x + a

− a

− x + a

− 3mn ;

2 −1, x > a > 0 ;

Краткий курс школьной математики	33

p 5

−1

a 2 + ab

−

;

−

a 3 − a 6 b 3 + b 3

p 6

x − 2

x −1

;

x −1 −1

Ответы:

p 3 (

p 1

x −1 ;

p 2 x + 1;

−

; p 4 1; p 5 a 6 ;

p 6

−1, уe1 ≤ x < 2; 1, e x > 2 .

Тема IX. Некоторые вопросы теории уравне- ний. Линейные уравнения.

o Уравнение вида ax + b = 0, где a, b R , называется линейным.

а) e a ≠ 0 , то линейное уравнение имеет единственное решение

		x = −	b	;
		x = −		;
			a
б)		e a = b = 0 , то			уравнение принимает вид:			0 x + 0 = 0 и	имеет
	бесчисленное множество решений x R ;
в)		e a = 0, b ≠ 0 , то уравнение				принимает	вид: 0 x + b = 0 и не
	имеет решений.
z		К линейным			уравнениям	относятся	и	уравнения	вида
z		К линейным			уравнениям	относятся	и	уравнения	вида
		ax + b = cx + d .
p 1		Решить уравнение: 2x − 3 + 4( x −1) = 5
		Решение:
		2x − 3 + 4x − 4 = 5 2x + 4 x = 5 + 3 + 4 6x = 12 x = 2 .
		Ответ: {2}

В.А.Битнер

p 2

Решить уравнение: 2x − 3 + 2 ( x −1) = 4 ( x −1) − 7

Решение: 2x + 2x − 4x = −4 − 7 + 3 + 2 0 x = −6

Ответ:

p 3

Решить уравнение: 2x + 3 − 6 ( x −1) = 4 (1 − x ) + 5

Решение: 2x − 6 x + 4 x = 4 + 5 − 3 − 6 0 x = 0

Ответ: x R

p 4

2 −

2 − x

Решение: Заметим, что x ≠ 2

где x

≠

и далее:

2 −

3(2 − x )

− 2x − 3

1 − 2x

2 − x

2x −1

, где x ≠ −4, и далее:

2 − 4 x − 6 +

x + 4 8

1 − 2x

16x-8=7x+28 16x-7x=28+8 9x = 36 x = 4

Ответ: {4}

p 5

Решить уравнение с параметром:

−

x − a x − 2a x − a x − 2a

Решение:

1.Так как на нуль делить нельзя, то x ≠ a, x ≠ 2a

2.При a = 0 уравнение имеет бесчисленное множество решений, кроме x = 0 .

	3								1		1				2		2		1
3.	e a ≠ 0, то имеем:						-					=	-					=-
3.	e a ≠ 0, то имеем:						-					=	-					=-
					x − a x-2a x-a x-2a												x − a x-2a
	2x − 4a = − x + a 3x = 5a x =													5a		.
	2x − 4a = − x + a 3x = 5a x =															.
											3
4.	Но x ≠ a a ≠	5a		1 ≠				5		при a ≠ 0.
4.	Но x ≠ a a ≠			1 ≠						при a ≠ 0.
	3						3
	И x ≠ 2a 2a ≠		5a			2 ≠				5	при a ≠ 0.
	И x ≠ 2a 2a ≠					2 ≠					при a ≠ 0.
	3								3

Ответ:

Краткий курс школьной математики	35

1. Уравнение имеет единственное решение x= 5a , если a ≠ 0 . 3

2.Уравнение имеет бесчисленное множество решений, кроме x = 0 , если a = 0 .

p 6 Решить уравнение: a2 x = a ( x + 2) − 2 .

Решение:

a2 x − ax = 2a − 2 a (a −1) x = 2 (a −1) x = 2 , e a ≠ 0, a ≠ 1 a

e a = 1, то имеем: 0 x = 0 и x R.

e a = 0, то имеем: 0 x = −2 чего быть не может, . Ответ:

1. Если a ≠ 0, a ≠ 1, то уравнение имеет единственное решение

x = 2 . a

2.Если a = 1 , то уравнение имеет бесчисленное множество решений.

3.Если a = 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

p 7 Решить уравнение с модулем: x + 3 = 2 x −1.

zЧтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение. На практике это делается так:

1)находят точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2)разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3)на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет решение рассматриваемого уравнения.

Решение:

1) x = −3 - нуль модуля;

36					В.А.Битнер

2)	при x (−∞; −3) имеем: − x − 3 = 2x −1 x = −			2	(−∞; −3).
2)	при x (−∞; −3) имеем: − x − 3 = 2x −1 x = −				(−∞; −3).
	3
	при x		−3; +∞ ) имеем: x + 3 = 2x −1 x = 4.
3)	при x	(	−3; +∞ ) имеем: x + 3 = 2x −1 x = 4.

Ответ: {4} .

p 8 Решить уравнение: x + 2 + x + 3 = x

Решение:

1)x = −2, x = −3 - нули модулей;

2)при x (−∞; −3) имеем:

−x − 2 − x − 3 = x x = − 5 (−∞; −3) ;

3)при x [−3; −2] имеем: − x − 2 + x + 3 = x x = 1 [−3; −2];

4)при x (−2; +∞) имеем: x + 2 + x + 3 = x x = −5 (−2; +∞ ) .

Ответ:

p 9 Решить уравнение: x + 5 − x − 3 = 8 .

Решение:

1)x = −5, x = 3 - нули модулей;

2)при x (−∞; −5) имеем: − x − 5 + x − 3 = 8 −8 = 8 - ложно;

3)при x [−5; 3] имеем: x + 5 + x − 3 = 8 x = 3 ;

4)при x (3; +∞) имеем: x + 5 − x + 3 = 8 8 = 8, x (3; +∞ ) .

Ответ: [3; +∞) .

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

p 1	3						1	6
p 1	3			2			1	6
			9
			9				3			=			;
							3			=	x		;

									2			4
	(3			)−1 27−					2		3 (3 3 )	4
	(3		3	)−1 27−					3		3 (3 3 )
p 2	5	+		1		= 0 ;
		+			2	= 0 ;
					2

p 3 6 (ax −1) − a = 2 (a + x ) − 7 ;

Краткий курс школьной математики

p 4

8 + 5x

= 2a ;

2 − x

p 5

x + 4

= 0 ;

p 6

x + 5

10 + x

;

p 7

x − 3

+ 2

x + 1

= 4 ;

p 8

5 − 2x

x + 3

+ 3x = 2 .

Ответы:

p 1

{1};

p 2

{-0,2};

p 3

Если a ≠

то

уравнение

имеет

единственное решение

x = 0, 5 ;

Если a =

то

уравнение

имеет

бесконечное множество

решений;

p 4

Если a ≠ −2, 5 , то уравнение имеет единственное решение

x =

4a − 8

;

2a + 5

Если a = −2, 5 , то уравнение не имеет решений.

p 5

{-4};

p 6

{-7,5};

p 7

{-1};

p 8

(−∞; −3]

(1)Некоторые вопросы теории уравнений

o 1		Равенство, содержащее переменную (неизвестное), называется
		уравнением с одной переменной (неизвестным).
o 2		Значение переменной, при котором уравнение обращается в
o 2		Значение переменной, при котором уравнение обращается в
		верное равенство, называется корнем (или решением) уравне-
		ния.

38 В.А.Битнер

Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

o 3 Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Свойства равносильных уравнений.
1o	Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части урав-
	нения в другую с противоположным знаком, то получится
	уравнение, равносильное данному.
2o	Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то
	же отличное от нуля число, то получится уравнение, равно-
	сильное данному.
		f	( x )			f	( x ) = 0
3o	Уравнение вида			= 0 равносильно системе			.
3o	Уравнение вида		( )	= 0 равносильно системе			.
			( )			g ( x ) ≠ 0
		g	x
		g	x
o 4	Если каждый корень уравнения f				( x ) = g ( x ) является корнем
o 4	Если каждый корень уравнения f				( x ) = g ( x ) является корнем
				1	1
	уравнения f2 ( x ) = g2 ( x ) , то уравнение
	f2 ( x ) = g2 ( x ) называется следствием уравнения					f1 ( x ) = g1 ( x ) .

Методы решения уравнений:

1) метод разложения на множители;

p 1 x3 − 6 x2 +12x − 8 = 0 ( x3 − 8) − 6x ( x − 2) = 0 ( x − 2) ( x2 + 2 x +

+ 4) − 6x ( x − 2) = 0 ( x − 2)(x2 − 4 x + 4) = 0 ( x − 2)( x + 2)2 =

x − 2 = 0		x = 2
= 0	= 0
x + 2	= 0	x = −2

Ответ: {2; −2} .

Краткий курс школьной математики

метод подстановки;

p 2

( x − 3)2 − 3 ( x − 3) + 2 = 0

Решение:

Введем переменную z = x − 3 , тогда z

2 = ( x − 3)2 .

Имеем: z

2 − 3z + 2 = 0, z

= 1, z

= 2 ,

получили

совокупность

x − 3 = 1

x = 4

уравнений:

− 3 = 2

x2 = 5

Ответ: {4; 5} .

графический метод;

p 3

x3 − 2x +1 = 0 x3 = 2x −1

Обозначим

= x3

= 2x −1 и

построим

графики этих

функций (рис.1).

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.

x1 ≈ −1, 6; x2 ≈ 0, 6; x3 = 1 Ответ: {−1, 6; 0, 6;1}

1			x3
1
x1
x1
y1	0	x21

рис.1

40	В.А.Битнер

Тема X. Числовые неравенства и их свойст- ва. Действия с неравенствами. До- казательство неравенств. Решение линейных неравенств, совокупно- стей и систем неравенств с одной переменной.

(1)Определения, геометрический смысл числовых неравенств.

o 1		Если разность двух действительных чисел a − b положительна,
		то говорят, что a больше b и пишут a > b .
o 2		Если разность двух действительных чисел a − b отрицательна,
o 2		Если разность двух действительных чисел a − b отрицательна,
		то говорят, что a меньше b и пишут a < b .

Геометрический смысл.

Запись a > b означает, что точка

A (a ) на координатной прямой лежит

правее точки B (b) - см. рис.1.

рис.1

рис.2

Запись a < b означает, что точка A (a )

лежит на координатной прямой

левее точки B (b) - см. рис.2.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб84Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб8Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc