книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

Подставив в (1.64) выражение (1.63), проинтегрировав и выполнив сокращения, получим ДрастЛ1 = ДСЖЛ|. Принимая во внимание, что /ц 4- /г2 = К найдем

Выражение (1.65) определяет положение нейтральной оси. Воспользовавшись урав­ нением (1.62), можно найти значения араст и асж:

В этом случае, если в процессе испытания измеряются деформации в крайних волокнах (ераст и есж), то напряжения могут быть подсчитаны по формулам

При изгибе в ряде случаев нагружение осуществляется путем контактного при­ ложения нагрузки. В этом случае справедлив принцип Сен-Венана, состоящий в том,

Рис. 1.25. Распределение напряжений и деформаций по высоте образца при изгибе для материала с различными модулями упругости при растяжении и сжатии

Рис. 1.26. Схема замены сосредоточенной силы радикальными усилиями

что в точках образца, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения весьма мало зависят от детального способа осуществления нагрузок. В качестве примера влияния местных напряжений, возникающих о области непосред­ ственного приложения нагрузки, па напряженно-деформированные состояния, опре­ деляемые формулами сопротивления материалов, рассмотрим изгиб образца на двух опорах сосредоточенный силон [65]. В этом случае можно заменить сосредоточенную силу Р радиальными усилиями arbds — orbrdO, распределенными по круговому сече­ нию с весьма малым радиусом г (рис. 1.26). Определив проекции этих усилии на верти­ кальную и горизонтальную осп, получим систему сил, показанную на рис. 1.27. Го­ ризонтальные силы, равные Pin, вызывают внецентренное растяжение образца с эпюрой нормальных напряжений, показанной на рис. 1.27. Распределение местных напряжений по сечению п этом случае может быть описано зависимостью

Из выражения" (1.68) видно, что если изгибающий момент М(1 в сечении прило­

жения нагрузки положителен, то местные напряжения по большой части высоты сечения уменьшают основные напряжения изгиба. Особенно важно, чго уменьшаются максимальные растягивающие напряжения, которые имеют место на поверхности образца.

Суммарные нормальные напряжения по высоте образца будут

л

Рис. 1.27. Распределение напряжений от действия виецстренных нагрузок Рис. 1.28. Схема определения касательных напряжений при изгибе

Т а б л и ц а 1.8. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе

Прямоугольник

т = 4- Q(2 h - 3 ÿ )(ft + 3ÿ).

О ОЦ-

3 Q тшах 2 F

т

4_Q_

тшах 3 F

Тонкостенное кольцо

Чпах Яdb

Ob (h- — fi])

Tl SfcvT

Потенциальная энергия деформации при кручении будет

/

Используя приведенные выше соотношения, можно перестроить диаграмму в координатах Мк — ср в условную диаграмму деформирования при кручении (рис. 1.33). По вертикальной оси этой диаграммы откладываются максимальные напряжения т, подсчитанные по формуле (1.84), а по горизонтальной — максималь­ ный относительный сдвиг у, подсчитанный по формуле

( 1.86)

Построенная таким образом диаграмма условна, так как формула (1.84) для определения напряжений справедлива лишь в пределах закона Гука. В то же время зависимость (1.86) остается справедливой и при пластическом деформировании.

При испытаниях на кручение определяются предел пропорциональности (тпц),

В этих случаях гипотеза плоских сечений не подтверждается, сечения в процессе де­ формирования искривляются (депланируют). Расчет напряженно-деформирован­ ного состояния таких стержней при кручении осуществляется методами теории упругости. Этот расчет показал, что в пределах закона Гука наибольшие касатель­

диаграмм кручения сплошных круглых образцов. При испытании тонкостенных образцов можно принять, что напряжения во всех точках тонкостенного сечения остаются постоянными и могут быть найдены по формуле (1.84) с использованием геометрических характеристик, приведенных в табл. 1.9. Эти напряжения можно

считать истинными, а построенную с использованием этих значений напряжений диа­ грамму — истинной диаграммой деформирования при кручении.

Большие сложности вызывает изготовление тонкостенных образцов, особенно сложно выдержать заданные геометрические размеры образцов и исключить наклеп тонкого слоя материала. Сложно и испытать тонкостенные образцы, главным обра­ зом, в связи с потерей локальной устойчивости, когда определить предел прочности невозможно.

Несоответствие при упругопластическом деформировании сплошных круглых образцов истинных напряжений и напряжений, вычисляемых по формулам (1.83) и (1.84), которые в этом случае могут быть названы номинальными, представлено па рис. 1.34, где для одного и того же крутящего момента показано распределение ис­ тинных напряжений, т. е. напряжений с учетом пластического деформирования по-, верхиостных слоев материала (кривая Î) и распределение номинальных напряжений, определяемых формулой (1.83) (кривая 2). Видно, что максимальные номинальные

напряжения т" существенно выше, чем истинные напряжения ти. Задавшись диэ граммой деформирования при чистом сдвиге в координатах т — у, приняв справед­ ливость гипотезы прямых радиусов при упругопластнческом деформировании н вос­ пользовавшись уравнением равновесия (1.74), можно установить соответствие меж­ ду номинальными н истинными напряжениями для одного и того же крутящего момента:

В работе [108] для идеально пластичного материала с пределом текучести пра кручении тт (рис. 1.35) для образцов круглого поперечного сечения (рис. 1.36. а) получено

сечения в виде круглого кольца (рис. 1.36, б)