книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления

(123) можем записать в следующем виде

В этом выражении величины mh п и k известны по данным опыта, а теоретические вероятности pt вычисляются, исходя из принятого для выравнивания статистического ряда теоретиче­ ского закона распределения, как вероятности попадания случай­ ной величины в каждый из разрядов

делению вероятности попадания случайной величины Д на уча­ сток от X/ Д ° + ° °

Интеграл выражения (129) табулирован и при известных зна­

чениях г и X/ по таблицам* может быть определена искомая ве­ роятность.

Если вероятность очень мала (практически меньше 0,1), то выбранное теоретическое распределение следует считать неудач­

ным. При относительно большом значении вероятности р (Д > X/) выбранное теоретическое распределение можно признать не про­ тиворечащим опытным .данным. Однако это обстоятельство еще нельзя считать доказательством подчинения исследуемой величины выбранному теоретическому закону распределения. Следует от­ метить, что критерий Xs Пирсона применим в тех. случаях, когда количество опытов п достаточно велико (порядка сотен), а в каж­ дом разряде число наблюдений составляет величину не менее 5.

§ 43. Критерий А. Н. Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова отличается своей простотой. Сущность применения его сводится к следующему. На график наносят значения несгруппированной функции распределения F* (Xf) и выбранной аппроксимирующей функции F (х).

За меру расхождения между F* (xt) й F (х) выбирается вели­ чина

где D определяется соотношением (122). Величина D измеряется непосредственно на графике (см. рис. 35);

п — объем статистической выборки.

А. Н. Колмогоровым была доказана теорема, что для любой непрерывной функции F (t) при неограниченном возрастании

ния.

X (— \)кё~~кгк* табулирована. Если число испытаний достаточно велико, то можно считать,

что

Данные функции р (X) в зависимости от различных значений X приведены ниже:

Вычислив величину X = D Y n>по приведенным данным опре­ деляют вероятность р (Я). Если окажется р (Я) > 0 ,2 5 , то функ­ цию. F (х) принимают за рабочую гипотезу, если р (Я)’< 0,05, функцию F (х) отвергают.

Следует отметить, что применение критерия Колмогорова огра­ ничивается требованием предварительного (априорного) знания параметров для F (х), между тем как на практике чаще всего ста­ вится задача статистической оценки неизвестных параметров.

Рассмотрим иример применения критерия Колмогорова при оценке соответствия закона распределения вероятности безот­ казной работы р (/) по экспоненциальному закону надежности.

Пример. Наблюдение за 45 образцами радиоэлектрон- * ного оборудования в течение 200 час. эксплуатации по­ зволило получить следующие данные;

1)распределение отказов во времени с момента начала эксплуатации оборудования и до первого отказа всех 45 об­ разцов;

2)распределение отказов во времени, после 80 час. эксплуатации аппаратуры. В этом случае учитывались

первые отказы оборудования после 80 час. эксплуата­ ции, т. е. статистика, как и в первом случае, велась до момента выхода из строя по одному разу всех 45 образцов.

В табл. 4 представлены полученные результаты, по которым можно рассчитать статистические функции рас­ пределения F* (t) и F* (80 4- f).

Эти функции соответствуют статистическим значениям вероятностей отказов Q* (t) и Q* (80 + t) [см. формулу (30)]. Тогда статистическое значение вероятности безот­ казной работы можем определить из соотношения

Р* (*) = 1 - Q* (t).

Рассчитанные по данным, табл. 4 статистические зна­ чения вероятностей безотказной работы представлены в табл. 5. Графики функции P* (t) и Р* (80 + 0 изобра­ жены на рис. 36.

. Если допустить, что для рассматриваемого радиоэлек­ тронного оборудования справедлив экспоненциальный за­ кон надежности, то теоретическое значение вероятности безотказной работы будет определяться по формуле

/

P (t)= e ~ f .

Величину параметра среднего времени безотказной работы на основании ранее полученных данных примем равной Т — 17,1 часа.

Рассчитаем теоретическую функцию P (t) — е~ * и построим ее на одном графике со статистическими функ­ циями P* {t) и Р* (80 + t). Данные расчета P (t) при­ ведены в табл. 5.

Из графиков рис. 36 легко установить, что максималь­ ное значение модуля разности статистической и теорети­ ческой функций распределения в первом случае равно

Z>! — max IP* (t) — P {t) | = 0,33,

Рис. 36. Применение критерия A. H. Колмогорова,

a во втором случае

D 2 = max IP* (80 + t) — P (80 + 01 = 0,06.

При общем числе образцов аппаратуры п = 45 вели чины

К = Di У п = 0,33 УШ = 2,22

И

%г = D 2 V n = 0,06 / 4 5 = 0,54.

По данным функции (стр. 102) находим в первом слу­ чае p (Xj) = 0,00 . . . » а во втором случае р (А,2) = 0,93.

При использовании критерия Колмогорова принято считать, что если р (А,) < 0,05, то гипотеза о выравнивании статистического распределения выбранным теоретическим распределением мало правдоподобна, а при р (К) > 0,25 гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

продолжать сравнение со следующим по порядку видом теорети­

86; 98;119.

Выявим закон распределения времени исправной работы. Решение.

1.Используя данные, заполняем табл. 7.

2.Проверим согласие экспериментального распределе­ ния . с экспоненциальным распределением. Нанесем экспе­ риментальные данные на координатную сетку № 1. Полу­ чаем расположение отметок, показанное на рис. 37.

3.Проводим через отметки прямую линию и убеж­ даемся в возможности линейной интерполяции. Находим

иснимаем наибольшее отклонение: D — 0,09.

4.Рассчитываем критерий согласия Колмогорова:

D у т = 0,091/28 = 0,48; 0,48 < 1,00.

В соответствии с формулой (133) считаем, что закон распределения времени исправной работы подчиняется экспоненциальному закону распределения.^

Пример 2. Обработкой исходных данных получен ва­ риационный ряд времен исправной работы изделия в часах: 115; 232; 328; 368; 393; 404; 421; 457; 483; 511; 527; 540; 544; 572; 598; 605; 619; 633; 660; 681; 736; 791; 942.

Выявим закон распределения времёни исправной работы.

Решение.

1, Используя данные, заполняем табл. 8.

2. Проверяем согласие экспериментального распреде­ ления с экспоненциальным распределением. Будем счи­ тать, что при проверке на экспоненциальный закон был получен отрицательный ответ. Проверим согласие экспе­ риментального распределения с нормальным распределе­ нием. Нанесем экспериментальные данные на координат-