книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

(у у х, у * х) =ф А.у+(1-Х,)х >- х или, что то же yRx =ф[Ху+(1 - Х)х]/Ьс.

R~' = 0 .

Ацикличным является транзитивное, антирефлексивное отноше­ ние, так как оно асимметрично. Транзитивное и антирефлексивное бинарное отношение называют отношением строгого частичного по­ рядка.

Свойства ацикличности и транзитивности имеют существенное зна­ чение при обосновании утверждения о существовании функции полез­ ности на исходном множестве элементов X.

Функцией полезности называется действительная монотонная функ­ ция на упорядоченном X, т.е. функция, для которой и(х) > и(у) <=> х ч у, х, у е X. На классах безразличия такая функция постоянна. Функцию полезности называют также индикатором предпочтения на X. Линии

(поверхности) равных значений (уровней) функции полезности пред­ ставляют кривые безразличия, которые непрерывны и дважды диффе­ ренцируемы. При этом существует непрерывная кривая, пересекающая каждую поверхность безразличия ровно в одной точке и такая, что ее точки упорядочены по предпочтению. Если исходное бинарное предпочтение представляет собой выпуклый монотонный предпорядок, то такое отношение аппроксимируется вогнутыми функциями полез­ ности.

В теории и задачах принятия решений рассматривают следующие типы функций полезности. И н д и в и д у а л ь н а я ф у н к ц и я п о л е з ­ н о с т и — это действительная функция, которая заменяет отношение предпочтения индивидуума — лица, принимающего решение в интере­ сах достижения своей единственной цели.

К о л л е к т и в н а я ф у н к ц и я п о л е з н о с т и (КФП) — это вектор-функция с действительными компонентами, каждая из которых заменяет отношение предпочтения отдельного суверенного индивида. При этом индивид является равноправным членом группы лиц, прини­ мающих решение на основе единогласия для достижения многих целей; КФП может заменять векторное отношение предпочтения и отдельного индивида в случае принятия им решения по многим целям. Одна из особенностей-трудностей при групповом принятии решения заключает­ ся в сравнении и агрегировании предпочтений индивидов. В связи с этим рассматривают эгалитарную и утилитарную КФП.

Э г а л и т а р н а я КФП строится на основе принципа справедливого отношения к равноправным суверенным участникам выбора решения. Однако этот принцип в общем случае не всегда согласуется с принци­ пом единогласия индивидов. Групповое решение может быть принято и на основе некоторой подсовокупности совокупности исходных отноше­

21

ний предпочтения, т.е. КФП в этом случае не будет отражать в полном объеме интересы всех индивидов. Разновидностью эгалитарной КФП является, например, диктаторская к-го ранга; к — индекс индивида как

диктатора в составе группы или это индекс доминирующей компоненты векторной функции полезности индивида как лица, принимающего ре­ шение. Эгалитарной КФП является также сепарабельно аддитивная КФП.

У т и л и т а р н а я КФП представляется суммой ее компонент, т.е. суммой функций полезностей, соответствующих отношениям отдель­ ных индивидов из состава их группы. При построении такой функции могут быть выдвинуты дополнительные ограничения по выполнению требований индивидов; она согласуется с принципом единогласия (уни­ таризма), а любой максимизирующий ее элемент из X будет оптималь­

ным по Парето.

Конкретные структуры КФП нами изложены в п. 1.8 и в главах 3 и 7.

1.3. Структура механизма для условий определенности

В условиях определенности ЛПР располагает единственной целью и множеством действий-решений Г с элементами у, которые он может

принять по отношению к неизвестному параметру ю как альтернативе из X. В связи с этим ЛПР должно определить, как, в какой последова­ тельности выбирать элементы х е X, когда окончить выбор и какое ре­

шение принять: утвердить ли единственное <о’ как наиболее предпочти­ тельное в А" и считать, что со* = х \ либо остановиться на некотором £2 как подмножестве предпочтительных элементов из X; здесь х — резуль­ тат испытания (исход), X — множество исходов испытаний. Формально связь элементов х и со можно описывать числовой функцией связи Дх/со), определенной на произведении Х х {оо}, а действие ЛПР — ре­ шающей функцией ф(у/х), определенной на X и отображающей X в Г.

Каждая решающая функция однозначным образом должна разбивать множество X на два подмножества, в одном из которых будет содер­

жаться £2 или («/.Очевидно, что подмножество, не содержащее £2 или со” следует исключать из дальнейшего процесса поиска £2 или со*. Для оцен­ ки последствий этого введем числовую функцию потерь (выигрыша) г (ш, у(х)), определенную на произведении множеств {со} х Г. Поскольку

здесь принятие решения рассматривается в условиях определенности, то естественно считать решающую функцию детерминированной, при­ нимающей значение, равное единице, если х € {со}, или нулю — в про­

тивном случае. Функция связи принимает такие же значения: 1, если х ш о е {со}, и 0 — в противном случае, т.е. эта функция является харак­ теристической. При таких исходных данных множество X содержит хотя бы одну приемлемую альтернативу, а универсальное множество А не­

прерывно по Хаусдорфу; выбор лучшей альтернативы согласуется со слабой аксиомой выявленного предпочтения: если элемент х, явно

22

предпочтительнее элемента хр то элемент х} не может быть предпочти­ тельнее элемента x h Тогда [12] имеет место утверждение о существова­

нии функции выбора, реализуемой скалярным экстремальным механиз­ мом, т.е. можно записать для ЛПР функционал качества принятия решения; при конечном множестве X он имеет вид

Я(со,ф) = X X Ко>.7(ж)ЖУ/ * )/(* / «>).

уеГхеХ

а с учетом свойств введенных функций связи и решающей функции преобразуется к виду

Л(<0,ф) = ф>,у(х)).

Тогда искомое оптимальное решение есть результат реализации меха­ низма минимизации (максимизации) функции потерь (выигрыша) на множестве решений, т.е.

mmr{m,y(x))- » у* или minr(y(x))-» у*,

или, что то же, minr(x)-» х* =о>\ так как в рассматриваемых условиях

множество всех возможных решений Г =Х, а со, Я с X; X описывается

системой неравенств и равенств.

Заметим, что конкретный метод реализации этого механизма зави­ сит от свойств функции г(х) (непрерывности, гладкости, наличия ло­ кальных экстремумов), свойств множества X (выпуклости, связности, замкнутости) и свойств функций, описывающих его границу дХ. Для

примера рассмотрим следующую з а да ч у . Найти

шахЯ(х), х = {х,, х2, ..., х_}, (или minF(x,w)),

х>0 w>0

где Я(х) = ( p ,/’r (x ))-(w ,x r ), (F(x,w) = (\/p)[II{p,w) + (w7» ] ) ;

Т— обозначение транспонирования, Я(х) — суть г(х);

р— вектор, компоненты которого есть цены единиц соответствую­ щей выпускаемой продукции Y = (у,, у2, ..., у„);

F(x) — вектор выпускаемой продукции, Y = F(x), х — вектор затрат; w — вектор с компонентами цен единиц соответствующих затрат.

Это задача выбора решения по наилучшему поведению фирмы в стабильных условиях. Критериальная функция Я(х) выражает прибыль. Свойства этой функции определяются свойствами производственной функции F(x), компоненты которой могут быть степенными гладкими

функциями, функциями с постоянной эластичностью — ограниченны­

ми функциями, производственными функциями с постоянными про­ порциями — непрерывными гладкими функциями, линейными произ­ водственными функциями и др.

23

1.4. Структура механизма для условий неопределенности в цели

Эти условия приводят к задачам принятия решений по векторному функционалу качества, каждый из компонентов которого однозначно отражает соответствующую частную цель ЛПР. Пусть, например, иссле­ дуется замкнутая экономическая система, состоящая из п производст­ венных фирм, т потребителей и ценообразующего органа-рынка.

Выпуск продукции описывается производственными функциями, а по­ требление — функциями полезности. Финансовые взаимоотношения между фирмами и потребителями описываются матрицей

Л = (а*), а„> 0, Y , a u =1>

]

где а9 — это доля прибыли у'-го производителя, которую он отдает /-му

потребителю.

Производственные фирмы стремятся извлечь максимальную при­

быль шахр(у), потребители — получить максимальную полезность от

У]

приобретения товаров (продукции), т.е. шахи, (х), а рынок должен быть

в ситуации равновесия: весь спрос полностью удовлетворяется, а по­ ставленный товар сверх спроса имеет нулевую цену.

Состояние равновесия описывается следующими соотношениями, составляющими модель Эрроу-Дебре:

где p(yj) — прибыль у-го производителя, Z — вектор избыточного спроса,

X, — множество товаров потребления, Yf — множество выпускаемых товаров,

р(уу) и и(х,) — векторные функции, их компоненты соответствуют

частным целям.

Достижение каждой частной цели в отдельности составляет задачу принятия решения в условиях определенности согласно скалярному экс­ тремальному механизму, но, как правило, сдерживает достижение других целей. Функция связи здесь векторная и обладает теми же свойствами, что и в условиях определенности, а любая из оптимальных по частным критериям решающая функция не является устойчивой, и требуется рас­ смотрение некоторого их семейства — семейства оптимальных недомини-

24

руемых (несравнимых между собой) решающих функций. В данном слу­ чае отыскание оптимального решения по векторному функционалу может быть выполнено с использованием паретовского механизма, опре­ деляющего для ЛПР на множестве его решений Г подмножество

о — истинное состояние рынка, соответствующее конкурентному рав­ новесию,

П - ( p i y ^ M x , ) ) , Г х У ~ Х , Y = IJYj, X = I J X r

Теперь выбор лучшего решения из подмножества ДА) ЛПР может осуществить на основе дополнительной неформализуемой информации либо после сужения ДА,), например с использованием механизмов по­ иска среднеквадратичных или арбитражных решений [40].

Отметим, что принятие решений в рассматриваемых условиях мо­ жет выполняться при использовании и других механизмов, которые бу­ дут рассмотрены ниже.

1.5. Структура механизма для условий конфликта

Конфликт здесь понимается достаточно широко: статический и ди­ намический, антагонистический между двумя участниками или их коа­ лициями, неантагонистический между двумя и более участниками или их коалициями, конфликт в двух или более уровневых иерархических структурах. Каждый из участников может преследовать одну или не­ сколько целей и действовать в конфликте согласно своим собственным интересам либо интересам коалиции или уровня, в составе которого он находится. Естественно считать, что интересы каждого участника описываются соответствующим функционалом качества принятия им решения по стратегии поведения в конфликте и заключаются в дости­ жении как можно большего с позиции выигрыша его значения. В за­ висимости от информированности участника конфликта и порядка получения информации о возможных действиях других участников (коалиций, уровней) стратегии будут определяться как константы или функции; выбор оптимальной из них будет осуществляться согласно де­ терминированной решающей функции. Функция связи — векторная, компонент которой для ЛПР имеет вид

Az/y), z e Z, у е Y,

25

где Z — множество возможных априори сведений или исходов наблюде­ ний ЛПР за действиями противодействующих сторон; Y — множество

стратегий-действий противодействующих сторон — это декартово про­ изведение множеств их стратегий, устанавливается оно по априорным сведениям.

Если ЛПР не имеет возможности вести наблюдение за действиями из множества Y, то Z является элементом множества Y. Но тогда его функция связи становится характеристической функцией множества Y.

Будем считать, что стороны не обмениваются информацией о выбо­ ре ими действий из своих множеств, ЛПР располагает только априори решающей функцией у (у), определенной на множестве Y, и предполо­ жением, что выбор действия у е Y противодействующими сторонами

может быть детерминированным или случайным.

Последствия принятия ЛПР решений согласно своей решающей функции и с учетом решающих функций противодействующих сторон будем оценивать, как и в предыдущих случаях условий принятия реше­ ний, значениями функции потерь, определенной на произведении мно­ жеств Г х D x Y , где Г — множество решающих функций ЛПР, D — мно­

жество решающих функций противодействующих сторон.

При изложенных исходных положениях можно записать выражение для функционала качества принятия решения ЛПР. Так, если налицо статический антагонистический конфликт двух сторон, множества их стратегий X, Y конечны и создаются только условия стратегической не­

определенности, то функционал качества принятия ЛПР решения запи­ сывается в виде

Д(ф,ф) = X ' E ^ U y r t z M y / z W z / y W y ) ) ,

где L(y, y(z)) — функция потерь,

Az/y) — функция связи, ' £ f ( z / y ) = 1

Z

<р(y/z) — решающая функция ЛПР, ]£ф(у/г) = 1

г

ф(у) — априорная для ЛПР решающая функция противодействую­ щей стороны, ^ ф (у ) = 1.

г

Порядок суммирования в выражении для Л(ф,у) можно менять мес­ тами, так как ряд в его правой части абсолютно сходящийся.

Когда решающие функции — детерминированные, ЛПР не распола­ гает возможностью получения информации в виде Z о действиях проти­ водействующей стороны, тогда Z представляется каким-то у е Y, функ­ ция связи принимает вид характеристической на множестве Y и

функционал /?(ф,ф) преобразуется к виду

Я(<р,ф) = L(y,y(z)) или /?(ф,ф) = Цх,у),

26

так как у(г) есть отображение результатов наблюдений z в действия ЛПР х е X, т.е. y(z) = х и в рассматриваемом случае z =y. При этом каждый

из участников конфликта вводит на своем множестве стратегий систему бинарных отношений предпочтения (нестрогого или строгого, или эк­ вивалентность), которые в совокупности удовлетворяют принципу максимина [40]; последний означает, что ЛПР не может рассчитывать на благоприятные стратегии по отношению к нему со стороны противо­ действующих сил и обязано при выборе решения проявлять осторож­ ность. Тогда механизм принятия ЛПР решения записывается в виде

у 0 в x°Arg max minЦу,х),

хеХ yeY

У<>)€Г

где операция min разрешает стратегическую неопределенность относительно выбора действий противодействующей стороны.

Отыскание решения у# е Г (х° е А), как правило, осуществляется с

использованием условно-экстремальных методов недифференцируемой оптимизации. При этом предполагается сведение максиминной задачи с ограничениями к задаче математического программирования. Послед­ няя формулируется с бесконечным числом ограничений при непрерыв­ ной по своим аргументам функции Цх,у) на компакте X x Y либо с ко­ нечным — при дискретной по своим аргументам функции L(x,y).

Заметим, что в случае, когда одна из сторон или обе выдвигают не­ сколько целей в конфликте, очевидным образом возникают еще и усло­ вия целевой неопределенности — задача принятия решения становится многокритериальной при конфликте. Отыскание оптимального реше­ ния в этом случае можно выполнить с использованием паретовского механизма с учетом угроз первой стороне (в ее составе ЛПР) от второй и контругроз второй стороне от первой. Для этого по каждому частному критерию предварительно определяется наилучший гарантированный результат соответственно для условий получения ЛПР и невозможности получения им информации о возможных действиях противодействую­ щей стороны. В развитие этого положения отметим также, что ЛПР мо­ жет воспользоваться паретовским механизмом и в конфликте несколь­ ких сторон, когда каждая из них имеет свою цель и не входит в какиелибо коалиции с другими сторонами.

1.6. Структура механизма для условий риска

Эти условия представляются следующими исходными данными:

— Пространством выборок — тройкой

У= (Z,YAz/y)),

где Z — множество возможных результатов наблюдений за состоянием

условий принятия решений, которые создаются Природой или проти­ водействующими сторонами (ПиПС);

27

Z € Z, z будем интерпретировать повторной выборкой из распреде­ ления fiz/y) с неизвестным для ЛПР значением фактора — параметра y e Y;

Y — множество неконтролируемых ЛПР факторов-параметров как

чистых стратегий ПиПС;

Az/y) — функция связи, или в рассматриваемых условиях, это обоб­

щенная вероятностная функция (распределение, плотность), или это так называемая функция правдоподобия — функция от у € У при фик­ сированных результатах наблюдений z е Z;

— Априорной для ЛПР решающей функцией ф(у) — плотностью функции распределения вероятностей на множестве У как чистых стра­ тегий ПиПС; ф(у) задает смешанную стратегию ПиПС до проведения наблюдения над Z стороной, в составе которой находится ЛПР;

— Множеством решающих функций для ЛПРд.е. ф(уД), определен­

ветственно.

При таких исходных данных формулируется функционал качества принятия решения, он записывается в виде среднего вальдовского рис­

если наблюдения над Z не проводятся. Очевидно при этом

]Г ф(у/г) = 1 ]>>(*) = 1 ]Г V(Y) = 1

ГX г

Механизм принятия ЛПР решения записывается в виде

ф* е Arg min тахЛ(ш,ф)

(V)(у)

или для заданного ф в виде ф’ € Arg min /?(ф,ф), где ф* — оптимальное

решение ЛПР. Методы реализации этого механизма зависят от полноты наличия перечисленных выше исходных данных и характеристик близо-

28

ста и сложности условий. Задача отыскания решения ф\ как правило, осуществляется с использованием условно-экстремальных методов.

Раскроем здесь сущность механизма, реализация которого основы­ вается на методе последовательного анализа. Для этого будем рассмат­ ривать последовательно выполняемые наблюдения-измерения, состав­ ляющие конечную выборку fo, z2, z„} объема п.

Пусть измерения одинаково распределены и взаимно независимы. Обозначим через (ф,ф) риск принятия окончательного решения без

проведения наблюдения z„ и предположим, что на выполнение каждого наблюдения z„ / = 0, 1,2,... требуется C(z,) единиц затрат. При этом значение среднего общего риска от наблюдения z„ и последующего вы­ бора решения будет равно C(z„) + Л*(ф, <p(y/zt, z2, ..., z„)).

Целесообразность проведения наблюдения z„ перед принятием

окончательного решения или его выбора без проведения такого наблю­ дения можно установить на основе сравнения двух рисков

Kn-i (Ф.Ф) и c (zi) + #(V> <р(т/z„ z2, .... z„)).

Так, если C(z,) + Л*(у, <р(у/г„ z2, ..., О ) < К »-■<¥.ф). то необходи­

мо получить; в противном случае — наблюдение z„ не целесообразно.

Отсюда, очевидно, что значение риска, как количественной основы принятия решения относительно проведения наблюдения г„, должно удовлетворять соотношению вида

К (ф,ф) = min{/?*n_, (\у,ф), Л’(ф.ф(уД, ,Z 2 ,...,z„))+C(z„)}.

Если были выполнены измерения г,, z2, ..., z„-2, то после наблюдения z„-2 ЛПР должно решить, выбирать ли окончательное решение из допус­ тимого множества без очередного наблюдения z„-\ или предварительно выполнить эксперимент по получению z„_l.

Обозначим через Л2”(ф,ф) оптимальное значение среднего общего

риска принятия решения относительно проведения или не проведения наблюдения ,. Тогда по аналогии с предыдущим рассуждением значе­

Здесь затраты на выполненные наблюдения не учитываются, так как они не оказывают влияния на решение продолжать или не продолжать наблюдение и они не компенсируемы.

Пусть были выполнены наблюдения Z\, Z2, ..., z,-. Тогда целесообраз­ ность выполнения наблюдения Z/+i перед принятием окончательного ре­

шения можно установить согласно принципу оптимальности Веллмана по рекуррентному соотношению

29