книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

слоя 6К= K v много меньше, чем толщина стационарного.

вязкого слоя бк < б0, и деформация профиля скорости в основном происходит внутри вязкого слоя. Следует отметить, что рассмо­ тренная схема течения ограничена сравнительно малыми ампли­ тудами и частотами колебания скорости Au0f/u0f < 1.

Приведенные выше расчетные уравнения для трехслойной модели течения достаточно громоздки, поэтому анализ рассматри­ ваемого процесса может быть осуществлен только численным способом.

Для высокочастотных колебаний, когда толщина колеблю­ щегося слоя достаточно мала, можно воспользоваться асимпто­ тическим методом ВКБ, как и в случае анализа акустических уравнений.

Полагая, что относительная турбулентная вязкость ет яв­ ляется произвольнойфункцией поперечной координаты у, уразнение движения для плоского канала (430) посредством введения безразмерной переменной

сумме вязкостей молекулярной и турбулентной. Применяя к урав-

(2/2JT)fiA

Рис. 95. Значение коэффициентов ослабления р для турбулентного реж има те« чения согласно трехслойной модели

201

нению асимптотический метод ВКБ, получим его решение, спра-

СОГл ведливое для достаточно больших значений Q = — - > 1:

где л =

Полученное выражение (437) позволяет рассчитать в первом приближении профиль амплитуды колебания скорости по сечению канала, при условии, что турбулентная вязкость известна. Для малоамплитуд^ых колебаний, когда влияние колебаний не ска­ зывается на осредненное движение (турбулентные характеристики потока), значение турбулентной вязкости может быть определено в первом приближении по параметрам осредненного движения, например, согласно модели Прандтля. В случае сравнительно больших значений амплитуд колебания скорости можно предло­ жить следующую нелинейную модель влияния колебаний на струк­ туру турбулентного движения. Для этой цели обобщим модель Прандтля на случай высокочастотных колебаний, полагая, что колебания скорости потока приводят к изменению вязкого слоя, что, в свою очередь, вызывает изменение турбулентной вязкости потока.

Поскольку при высокочастотных колебаниях течение жидкости в канале носит характер пограничного слоя, будем считать, что осредненное по времени касательное выражение на стенке канала

Отсюда для умеренных амплитуд колебания скорости получим

202

Интегрируяуравнение (440) с учетом выражений (441) и (439), получим

«•(?) = ■£ In у ----Г - ^ 7 J ^ 1/е- 3/2ехр [— ]<*«/ + С. (442)

В дальнейшем примем по аналогии с моделью Прандтля ли­ нейный закон изменения турбулентной вязкости вне вязкого слоя:

в правой части уравнения (440), для турбулентного ядра потока

Согласно существующим полуэмпирическим теориям стацио­ нарного турбулентного потока безразмерная величина а опреде­ ляет толщину вязкого слоя и в зависимости от конкретно при­ нятой модели течения изменяется в пределах 5—15. Примем а = 10; тогда уравнение (435) можно записать в виде

203

Константу С можно определить из условия равенства скоростей на границе вязкого слоя. Полагая, что в вязком слое скорость изменяется по линейному закону, получим

тогда

Д«п

(451)

Подставляя уравнение (451) в формулу (449), получим

X т и “рь 2 £)-“р(-2 1/*)]' <452>

Полученные приближенные уравнения (451) и (449) позволяют определить изменение профиля скорости в турбулентном ядре в зависимости от параметров колеблющегося потока. Для расчета изменения толщины вязкого слоя необходимо определить изме­ нение толщины вязкого слоя в зависимости от параметров ко­ леблющегося потока. Для этой цели преобразуем уравнение (452) следующим образом:

Определим среднюю по сечению скорость в цилиндрическом канале:

.204

Для больших значений частоты колебаний 6K/r0 > 1 уравне­ ние (455) можно записать в виде

Скорость потока на оси канала! при 6к/г0 —♦ 0 согласно выра­ жению (452)

^ . - 2 , 5 i n [ i ^ ] + 5 , 5 -

(457)

Из уравнений (455) и (457) определим среднюю скорость по сечению канала

где

Д«о

(О*)*

Используя понятие коэффициента сопротивления трению § =

Сучетом этого соотношения, уравнение (458) можно записать

ввиде

У \ = 2,51п ( У \ У Re exp [-0.4Ф ]) + 1,75. v (460)

Полученное уравнение (460) для £ отличается от известного стационарного уравнения наличием дополнительного множи­ теля, зависящего от параметра Ф. Согласно расчетам это уравне-

205

Ние в области 104 Re exp I—0,4Ф]«^ 106 может быть аппро­ ксимировано формулой Блазиуса

1 = 0,3164 {Reexp [—0,4Ф])^>-25 = 0,3164 R e g e x p (Ф). (461)

Согласно формуле Блазиуса стационарное значение коэффи­ циента сопротивления трению

При одних и тех же значениях числа Рейнольдса осредненного потока изменение толщины вязкого слоя 6 па сравнению со ста­ ционарным значением б0 определяется из соотношения

Из данного уравнения следует, что относительное изменение толщины вязкого слоя (-§-) в колеблющемся потоке жидкости

\ “ оf /

толщины стационарного вязкого слоя к толщине колеблющегося слоя 8К:

x=f[(^L)1- <467>

Параметр 8к/80 может быть выражен через параметры осред­ ненного и колеблющегося потока. Толщина колеблющегося слоя

206

где (80/8)2 определяется согласно расчетным данным, приведен­

т. е. толщина вязкого слоя уменьшается. При заданном параметре

личина 80/8 достигает максимума, и соответственно толщина вяз­ кого слоя достигает минимального значения. С увеличением от­ носительной амплитуды колебания скорости [параметра

-"f-“ ("ТГ5" )2] максимУм V 6 смещается в область больших значе-

207

Рис. 96. Зависимость от­ носительной толщины вяз­ кого слоя от параметров 60/6 для различных зна­ чений параметра 60/6к

нием параметра б0/бк величина б0/б уменьшается.

При высокочастотных колебаниях, как отмечалось выше, может наблюдаться взаимодействие между регулярными колеба­ ниями и турбулентными. Поэтому для анализа гидродинамики колеблющихся потоков важно знать основной (минимальный) период турбулентных колебаний. Для определения основного периода колебаний воспользуемся моделью турбулентного тече­ ния, основанной на нестабильности вязкого слоя [30]. Согласно этой модели течение вязкого слоя является нестабильным про­ цессом, в котором вязкий слой периодически нарастает, а затем, распадается. Таким образом, неустойчивый вязкий слой ограни-

208

полуэмпирической моделью Прандтля, основанной на логариф­ мическом законе изменения средней скорости при турбулентном режиме течения.

Изменение значения касательного напряжения на стенке ка­

Переходя к универсальным переменным, получим

где.

Максимальную толщину вязкого слоя определим из условия, что на границе вязкого слоя скорость равна 0,99ий; тогда согласно выражению (475) получим

Используя логарифмический закон изменения скорости, про­ филь скорости в турбулентном ядре

Система уравнений (473)—(482) позволяет определить макси­ мальную толщину вязкого слоя. Результаты расчетов максималь­ ной толщины вязкого слоя в зависимости от числа Re приведены на рис. 99. Из рисунка видно, что максимальная безразмерная толщина вязкого слоя т)0 при больших числах Рейнольдса зависит от Re слабо. В области чисел Re = 104-М05 средняя величина т]0 = 66. Таким образом, максимальная толщина вязкого слоя

210