книги / Основы механики сплошной среды

Вот уже почти 40 лет на механико-математических факульте­ тах классических университетов одним из основных курсов явля­ ется курс механики сплошной среды (МСС). Его основателями и первыми лекторами были великие учёные-механики, профессора МГУ Леонид Иванович Седов и Алексей Антонович Ильюшин. Оба они написали прекрасные учебники [15,52], многократ­ но переиздававшиеся и переведённые на многие иностранные языки. На этих учебниках воспитывалось большое количество отечественных учёных и научных сотрудников. За прошедшее время у нас и за рубежом вышло довольно много лекционных курсов и монографий по данному предмету.

Программа курса механики сплошной среды непрерывно мо­ дифицировалась, в неё включались новые актуальные разделы и уточнялось дедуктивное описание на основе появляющегося нового математического аппарата, компьютерной техники и ин­ женерных задач. Авторы также принимали участие в этом про­ цессе, регулярно излагая свои мысли в курсах механики сплош­ ной среды, читаемых студентам-механикам 2-го и 3-го курсов

истудентам-математикам 5-го курса механико-математического факультета, а также студентам 3-го курса факультета наук о ма­ териалах (ФНМ) МГУ. Накопленное выносится теперь на суд читателя.

Мы рассчитываем, что таким читателем будет всякий, кто интересуется современным университетским курсом механики сплошной среды и знает математику в объёме первого курса ВТУЗа. Весь необходимый математический аппарат даётся по ходу изложения. При этом почти везде он представлен только

вминимальном виде, с тем чтобы объяснить основную концеп­ цию механики сплошной среды. Вдумчивый и любознательный читатель сможет расширить свои математические познания, ис­ пользуя литературу, на которую, в частности, ссылаются авторы.

ВМСС излагаются общие свойства континуальных моделей

ипредметом исследования могут быть разнообразные объекты. Законы, изучаемые в МСС, позволяют прогнозировать явления

самой различной природы, и потому знакомство с МСС облегчит труд во многих областях науки и техники по расшифровке свойств моделей, выявлению всех следствий и т. д.

Программа курса МСС, читаемого в течение многих лет студентам-механикам механико-математического факультета МГУ профессором Б.Е. Победрей, представлена в приложении. Материал, изложенный в настоящей книге, соответствует только части программы (второму семестру 2-го курса). Поэтому книга названа “Основы механики сплошной среды”. В ней излагаются основные модели МСС сначала для изотермических процессов, а затем с использованием основных законов термодинамики.

Для лучшего понимания изложенного в книге материала ав­ торы рекомендуют читателям воспользоваться сборниками задач и упражнений [18, 30].

Авторы признательны доценту кафедры механики компози­ тов МГУ Л.В. Муравлёвой, внимательно прочитавшей рукопись и сделавшей ряд полезных для авторов замечаний.

Авторы с благодарностью примут отзывы читателей и поста­ раются максимально учесть их в дальнейших изданиях.

Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский

Л Е К Ц И Я 1

ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ

По-разному можно определить предмет механики сплошной среды, впрочем как и всей механики. Объективности здесь не может быть никакой и всё зависит от точки зрения исследо­ вателя. Однако в любом определении будет утверждаться, что механика сплошной среды (МСС) — наука феноменологическая. Это означает, что в её основу положен аксиоматический под­ ход, хотя и не в таком законченном виде, как в математике. Дело в том, что одним из элементов построения МСС является эксперимент. Понятие “эксперимент" многогранно и требует подробного разъяснения, о чём немного говорится в дальнейшем. Априорное присутствие этого понятия в формулировке задачи МСС заставляет исследователей в области механики именовать “кирпичики” феноменологического подхода не аксиомами, а пос­ тулатами.

В последнее время приобрело особую популярность слово­ сочетание математическое моделирование. Именно моделиро­ ванием и занимается механика. В частности, МСС занимается моделированием процессов деформирования. Подобно тому как в геометрии каждый вводит понятия: шар, конус, параллелепи­ пед и т.д., не заботясь о том, существуют ли реально такие объекты в природе, в МСС оперируют такими моделями, как упругое тело, идеальная жидкость, совершенный газ и т. п., хотя реальные среды описываются названными моделями лишь при определённых допущениях.

Сплошная среда (или континуум) вводится для описания дискретных физических объектов, с тем чтобы воспользовать­ ся мощным аппаратом математического анализа. Сама по себе сплошная среда никакими априорными свойствами не обладает. Подобно тому как любое множество только после введения неко­ торой структуры становится пространством, сплошная среда, чтобы стать объектом построения моделей, нуждается во вве­ дении системы аксиом и постулатов. Они будут рассмотрены в последующих лекциях.

Рис. 2

Отметим, что принцип континуализации, используемый для введения сплошной среды, не решает всех проблем. После по­ становки задачи МСС требуется привлечение вычислительной техники для её решения. Для этого задачу требуется превратить в алгебраическую, т. е. провести процесс дискретизации. В це­ лях анализа полученного решения и сравнения его с эксперимен­ тальными результатами приходится вновь континуализировать задачу.

Таким образом, процессы дискретизации и континуализации задачи МСС повторяются несколько раз на различных уровнях. Частично такими проблемами занимается бурно развивающийся раздел механики — вычислительная механика [42]. Об этом пойдёт речь в дальнейшем.

Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выберем некоторую систему отсчёта. Чаще всего это будет инер­ циальная система отсчёта: М1 х fi. Одномерное пространст­ во К 1 называется временньш: 0 ^ t < оо, а пространство П —

координатным. Инерциальной системой отсчёта она называется потому, что в ней справедлив закон инерции, т. е. она либо покоится, либо движется относительно другой инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно. Геомет­ рические свойства и размерность пространства Ù выбираются в зависимости от цели предпринимаемого исследования.

Предположим, что существуют двумерные создания, живу­ щие в плоскости листа (рис. 1). Чтобы сделать операцию на сердце такому созданию, двумерный хирург должен сначала рассечь тело пациента. Мы же, трёхмерные люди, можем кос­ нуться его сердца, не производя никаких разрезов. Если та­ кие двумерные создания живут на “гофрированной” двумерной поверхности, которую сжали с обеих сторон двумя жёсткими плитами, то они будут испытывать “напряжённое состояние”, от которого нельзя освободиться никакими силами, действующими

в плоскости деформированного гофра (рис. 2). Ведь гофр может разгрузиться только в трёхмерном пространстве, которое для двумерных созданий является математической абстракцией.

Точно так же в нашем реальном трёхмерном мире возникают напряжения (например, при сварке), от которых можно осво­ бодиться только выходя, вообще говоря, в шестимерное евкли­ дово пространство. Поэтому, чтобы изучать такое напряжённое состояние, нужно в качестве Ù рассматривать шестимерное ев­ клидово пространство М6 или трёхмерное риманово пространст­ во V3 [38, 39].

Однако чаще всего за координатное пространство Г2 прини­ мается трёхмерное евклидово пространство R3, которое будем также называть вмещающим ящиком Я. В нём всегда может быть введена прямоугольная декартова система координат, бла­

ного базиса '). Величины х* называются пространственными координатами данной точки или данного места в ящике Я.

Определим далее тело В (сплошную среду) как трёхмерное дифференцируемое многообразие. Под многообразием понима­ ется множество Е, представленное в виде объединения {17} конечного или счётного числа областей. Для каждой области U задано взаимно однозначное отображение её в открытую область трёхмерного евклидова пространства R3 (задан гомеоморфизм в R3). Тем самым в каждой области заданы координаты £ь£г.£з (U — координатная окрестность или карта; совокупность карт называется атласом). Пересечение U П U' каждой пары областей в каждом множестве Е является областью, в которой действуют две системы координат: £ь£2.£з (в U) и б'.& '.С з' (в U'). При этом одна система координат выражается через другую соотно­

Функции £( непрерывно дифференцируемы достаточное число раз. Кроме того, во всех точках якобиан преобразования (1.1)

1)П о повторяющемуся индексу г производится суммирование от 1 до 3 (см. стр. 11).

т. е. преобразование & — ► невырожденно или локально обра­ тимо. Тогда по теореме о неявной функции существует обратное к ( 1.1) преобразование

(в двумерном случае сфера состоит из двух карт). Если же тело В само является евклидовым пространством R3 или его ча­ стью, то атлас состоит из одной карты и может рассматриваться одна система координат & для всех окрестностей U — элементов многообразия В € М3.

Элементы тела В называются частицами X , а величины & (г = 1,2,3) — материальными координатами этих частиц. Кон­ фигурацией Е тела В назовём гладкий гомеоморфизм В в об­ ласть трёхмерного евклидова пространства R3. Таким образом, название частиц связано с одной из таких конфигураций. Дви­ жением тела В будем называть однопараметрическое семейство конфигураций Е(£) с временным параметром t. Это означает, что в каждый момент времени t имеется “фотография” тела В в ящике Я.

Итак, конфигурация тела В в момент времени t представляет собой множество всех мест х, которые занимают составляющие это тело частицы X : х = E(B,t) = {E(X,t), X G В}. Предпо­ лагается, что отображение В — ►Е(В, t) биективно, т. е. две различные частицы в одно и то же время не могут находиться в одном месте ящика и, наоборот, никакая частица ни в один момент врмени не может занимать два различных места. Это положение носит название гипотезы непроницаемости.

Конфигурация в момент времени t —to называется

отсчётной конфигурацией: xo = E(B,to), а в текущий мо­ мент t — актуальной конфигурацией: х — Е(В, t). Координаты ящика соответствующие отсчётной конфигурации, называются лагранжееыми координатами. Они могут, как и материальные координаты, служить наименованием частицы X (её “названием”). В отличие от материальных координат £ ь£ 2>£з> лагранжевы координаты связаны с выбором параметра t = to- Поэтому может быть установлено непрерывное и взаимно однозначное соответствие: