книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

производными до второго порядка, и называется интерполирую­ щим кубическим сплайном.

Класс интерполирующих кусочно кубических функций uh (x) на фиксированной сетке узлов {xfc} будем обозначать через S ,

шагом сетки будем называть величину h = max hk .

к

Известны следующие свойства функций uh G S.

С в о й с т в о с х о д и м о с т и . Для любой дважды непрерывно

ная дважды непрерьюно дифференцируемая функция, удовлетво­

Свойство минимальности показывает, что решением вариа­ ционной задачи на минимум функционала

где в качестве функций сравнения берутся дважды непрерывно дифференцируемые функции, является интерполирующая функ­

и рассмотрим задачу его минимизации, если в качестве функций сравнения берутся дважды непрерывно дифференцируемые функ­ ции и(х),и{хк) = ик.

Пусть иа (х) минимизирует (27). Построим функцию uft (х) G S такую, что и% {хк) = (xfc) . Тогда в силу (26) имеем

Ф2М ] < Ф £ k«] = min [и],

и

и, следовательно, функция и% также минимизирует (27). Но тогда

141

эти функции совпадают, ма (х) = W/JWТаким образом, решение задачи минимизации (27) можно искать в классе кусочно кубичес­

ких сплайнов S.

Найдем формулы для решения задачи минимизации (27). По-

если учесть легко проверяемое равенство

Ъ2

fu" (x)c/x = (Cs/s).

а

Далее, учитывая (25), получаем

Фа [и] = (P{U - f) , U - f ) l a ( B TC~lBU.U) = ф'а [й],

Л

следовательно, wQ, удовлетворяет системе алгебраических уравнении

по найденным векторам sa и иа согласно (24) можно полностью определить сплайн и%(х), минимизирующий (27). Однако такой путь неудобен в связи с необходимостью знать или вычислять матрицу С '1. Поэтому применим следующий прием: умножая слева (28) сначала на Р~1, а затем на Ви учитывая (25), получаем непосредственно уравнение для sa :

Решение (28) определяется после отыскания sa по простой формуле

Приближенные значения числовых характеристик(3 ) -(6 ) можно получить по следующим формулам:

Заметим, что при выборе параметра по значениям у нет необхо­ димости вычисления иа по формуле (30) при всех рассматривае­ мых значениях параметра. Это может несколько сократить общее время расчета.

Недостатком метода является необходимость многократного решения системы (29) и вычислений по формуле (30). Однако

142

он компенсируется возможностью табулирования значений функ­ ции и%(х) и ее первых двух производных в любой точке хЕ [я, Ь].

функций сравнения выбираются функции, удовлетворяющие неравенству

которое надо понимать как сокращенное обозначение системы

Рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем разделе относительно минимизации функционала (27), доказыва­ ется следующая простая, но важная

Т е о р е м а 67. Решением задачи обобщенного интерполиро­ вания (если оно существует) является функция из класса S, т.е. кубический сплайн.

Таким образом, в качестве функций сравнения в задаче обоб­ щенного интерполирования достаточно брать лишь функции из S. Так как

fu '' (x)dx = (Cs,s) = (ВТС 1Ви,и),

а

то задача обобщенного интерполирования сводится к задаче квад­ ратичного программирования, именно к задаче минимизации (возможно вырожденной) квадратичной формы

задачи обобщенного интерполирования, существует.

и- V

иочевидных свойств вариационной задачи получаем II и " - v " II, = 0 .

143

аа

Для доказательства построим функцию Е S такую, что йн {хк) —и (хк). Тогда в силу свойства минимальности,

ьь

/м 7, (x)d x < f u ” (x )d x .

аа

Сдругой стороны, \ uh (xk) - f k | < 6, т.е. функция йИ(х) является допустимой, и по определению щ имеем

fu,'t2(x) dx < fit tf(x)dx.

144

Можно показать, что собственные значения матрицы С0 не

к*fr+l)

Всилу (34)

Далее из оценки (34) следует, чгго семейство {u"h (x)} по Ли 6 ограничено в Ь2 [а, Ь] и, следовательно, слабо компактно в нем. Пусть {и"п(х) } —произвольная слабо сходящаяся в L2 [я, Ъ) после­ довательность функций этого семейства и и(х) —ее слабый предел. Из соотношения (38) следует, что последовательность {ип(х)} равномерно сходится к й(х). Так как функция й(х) дважды непрерывно дифференцируема, то u(x) = й "(х) .

где и*(х) е W<^ - ’’пробная” функция, являющаяся некоторым приближением к искомой. Заметим, что при и* - и решение задачи (40) совпадает с и при любой функции 6(лг). При м* »м уточнение приближений и к функции и происходит за счет достаточной малос­ ти 5(х) в указанном выше смысле. Если какая-либо априорная информация о точном решении отсутствует, то обычно полагают

из которых, как обычно, устанавливаем сходимость приближенно­ го метода (40):

Если к (х, £) = 0, с(х) = 1, то множество

U = { u e W $ l): |и(*)-/(*)1 <«(*)>

допускает весьма наглядную геометрическую интерпретацию; именно, оно содержит все гладкие функции из 8(х) -окрестности

где Kj — коэффициенты некоторой сходящейся квадратурной формулы.

Определим множество

п_

и,, = {(«1, «2, •• ; U„ ) : I 2 K j k j j U j - f , \ < A/}, K i < m ,

ловил можно обеспечить, если к прибавить величину погреш­ ности аппроксимации интеграла квадратурной формулой. Обычно А/ % 5j и подбираются экспериментально'.

В результате приходим к необходимости решения следующей задачи квадратичного программирования: найти вектор й е Ufti для которого

Ф\и\ = inf Ф\и], u<EUh

где

Ф[м] = Ф(и,,и2). . . ,ип)= 2 j ( - ^ r - )

A iij - Uj+ 1 иj , A ~ ?/+1 —%j•

Наличие априорных ограничений на искомое решение можно отразить в определении множества допустимых сеточных функ­ ций Uh. Отметим также, что, как и при построении сплайнов, можно применить полудискретный подход, определив множество допустимых решений

а

не аппроксимируя явно целевой функционал. В этом случае, как

легко видно, точное решение и € Uh. При определенных условиях, весьма необременительных, имеет место сходимость решений полудискретной задачи к непрерывной. Это устанавливается так же, как и сходимость сплайнов.

Изложенный подход применим к системам интегральных урав­ нений и многомерным уравнениям. Рассмотрения в этих случаях аналогичны вышеприведенным.

§21. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора1

1. Задачу устойчивого вычисления значений линейного замкну­ того неограниченного оператора L , действующего из сепарабель­ ного гильбертова пространства Н в аналогичное же пространство G, можно сформулировать следующим образом.

Введем пространство HL со скалярным произведением

148

заданным м € Я : В« —ull# < 6 указать операторS$ со следующими свойствами:

1) Ss u E D ;

2) lim Ви — Ss U I L = 0.

6 -> о

Оператор Ss, удовлетворяющий этим условиям, называется сгла­ живающим; в качестве приближения к значению оператора берется элемент g=LSs й.

2. Рассмотрим один эффективный способ построения сглажи­ вающего оператора Ss. Определим функционал

иGD

В§ 19 показано, что при любом у Е Я задача ( 1) однозначно разрешима, т.е. определен оператор Sav =м£. При определенном способе выбора параметра а=а(8) получаем сглаживающий опе­ ратор Sa(s) • Отметим, что в рассматривавшемся ранее случае

предполагалось, что исходная информация об элементе u E D задавалась в явной форме, т.е. считался известным элемент м такой, что Им - м 11« < 6.

Однако достаточно часто исходная информация об элементе и задается в дискретном виде. А именно, обычно бывают известны значения некоторой системы функционалов (число которых ко­

нечно или бесконечно) от элемента м, являющегося приближе­

нием к м, и по этой информации требуется достаточно точно вос­

становить значение Lu. Далее рассматривается именно эта задача и ее связь с задачей устойчивого вычисления значений неограни­ ченного оператора.

3. Пусть HL С В С Я, где В - банахово пространство, в кото­ рое вкладывается пространство HL и которое само вложено в Я, т.е. существуют такие постоянные т > 0, М > 0, что

т Ш Н < Ш В < М Ш Ь Ч м е Н ь .

В В зададим п линейных линейно независимых функционалов 1;(и) (иЕВ). Предполагая далее, что i»Е 5, заменим задачу (1) следующей задачей: найти элемент s„ Е D, минимизирующий функционал

149

ным (или регуляризованным) стайном.

Далее изучаются вопросы существования обобщенных сплайнов и некоторые их свойства. В связи с этим мы уточним предположе­

2 (// (и))2 >гп\ II и II//. /= 1

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное. Тогда найдет­ ся последовательность таких элементов и}- Е NL ( / = 1 , 2 , . . . ) , что II Uj ||# = 1, а

150