книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Таким образом, случайная величина Г* также подчинена гаммараспределению с параметрами ( а + 1); р. Следовательно, число­

вые характеристики случайной величины Г* будут

а+ 1

тt*~

Характеристическая функция случайной величины Г* имеет вид

™ -(т Ь Г

Закон распределения остатка времени 0 найдем по формуле (1.3.2):

где Y (а* •*)= \ e~4axdt — неполная гамма-функция.

Математическое ожидание случайной величины 0 определим по формуле (1.3.5):

1а + 1

т.---------------

8 2 р

Для определения дисперсии величины 0 воспользуемся фор­ мулой (1.3.7):

Найдем производные:

дз (Р —ix)~a = —а (а + 1 ) (а + 2) (р — /JC)—а—3 • i.

дх3

Следовательно:

41

1.7.2. Моменты прибытия вагонов метро на остановку обра­ зуют поток, приближенно являющийся потоком Пальма, причем интервал Т между поездами подчинен закону равнохмерной плот­ ности с характеристиками mt= 2 мин, а*= 0,05 мин.

Определить вероятность р того, что время ожидания пасса­ жиром очередного поезда не превысит /=1,5 мин, если пассажир

приходит на станцию, не зная расписания движения поездов. Р е ш е н и е .

Плотность распределения времени ожидания 0 определяется

по формуле (1.5.17), следовательно, искомая вероятность будет

о1 о

1.7.3. Станок производит шарики для подшипников. Средняя производительность одного станка %\ (шариков в единицу вре­ мени). В цехе имеется т таких станков ( т > 5). Шарики от стан­

ков поступают в единый поток, где некоторые из них выбраковы­ ваются. Средний брак составляет I процентов. Доброка­

чественные шарики поступают в цех сборки подшипников, бракованные — ссыпаются в бункер, вмещающий k шариков. Найти закон распределения времени Т, через которое бункер

будет заполнен бракованными шариками.

42

Р е ш е н и е .

Так как станков много, то общий поток произведенных шари­ ков можно считать простейшим с интенсивностью Х=Х\т.

Поток бракованных шариков будет также простейший, так

>* = */>•

Обозначим число бракованных шариков, поступивших в бункер за время t%отсчитываемое от

начала заполнения бункера, через X(t). Для фиксирован­ ного момента t случайная величина X(t) подчинена

закону Пуассона с парамет­ ром a = 7^t.

Очевидно, случайная ве­ личина Т определяется слу­

чайным моментом выполне­ ния равенства (рис. 1.7.3 а) Х(Т) =k. Функцию распреде­

ления случайной величины Т в этом случае можно наити из ye-

ловия

считать, что случайная величина Т будет приближенно подчине­

на нормальному закону с параметрами (см. (1.5.33) и (1.5.34):

1.7.4. По условиям предыдущего примера определить вероят­ ность р переполнения бункера, если в цехе имеется два бункера

для бракованных шариков, которые заполняются последова­ тельно. Время, потребное для доставки бункера с бракованными шариками в другой цех для опорожнения бункера и возвраще­ ния пустого бункера на место, равно t\. Считать, что в началь­

ный момент работы цеха оба бункера пустые.

43

О т в е т

р= Р { Т С Ь ) = ! - / ? ( * , Ш

1.7.5.Производится воздушная разведка подвижной цели. Установлено, что время пребывания цели на одном месте под­

чинено «сдвинутому» — показательному закону:

ная функция.

Кривая распределения имеет вид, показанный на рис. 1.7.5а. Удар по разведанной цели может быть произведен лишь по истечении времени t\ после обнаружения цели разведчиком. Определить вероятность того, что к моменту нанесения удара t\

цель останется на месте ее обнаружения разведчиком, если про­ тивник не имеет сведений о действиях разведчика.

Р е ш е н и е .

Условия задачи не изменятся, если считать, что цель на каж­ дом месте находится случайное время Т, имеющее плотность распределения f(t). Таким

образом, можно рассматри­ вать некоторый стационар­ ный поток Пальма с интер­ валом Т между соседними

событиями, который мы ус­ ловно назовем потоком ухо­ дов цели с места ее обнару­ жения.

Обнаружение цели мож­ но рассматривать как паде­ ние случайной точки 5 на

некоторый интервал этого потока. Следовательно, время пребывания цели на месте ее обна­ ружения 0 будет иметь плотность распределения [см. ( 1.3.2)]

cp(&)= i z i Ш .

щ

где

mt— а Н----- 1

а

О

F (») = С/ (t) dt= 1 —<?-« (»-«) 1 (»-*).

о

44

Глава 2

МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

§2.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

При анализе работы систем массового обслуживания при­ ходится сталкиваться со своеобразными случайными процессами. Договоримся, что случайным процессом будем называть процесс,

который в ходе опыта протекает так, что заранее (до опыта) у нас нет возможности в точности предсказать, как именно будет

процесс, состоящий в том, что система X с течением времени слу­

чайным образом изменяет свои состояния. Обозначим состояние системы X в момент времени t через X(t). Состояние X(t) может

характеризоваться какой-нибудь одной величиной (параметром) или совокупностью таких параметров. Конкретную реализацию случайного процесса обозначим через x(t).

В качестве примера рассмотрим работу автомата по продаже газированной воды. В некоторые промежутки времени автомат будет свободен, а в другие — занят. Условимся для определен­ ности считать, что если автомат в момент времени t свободен, то Х( / ) =0, а если занят, то А(^) = 1. Одна из возможных реали­

46

либо 0, либо 1 (автомат свободен, автомат занят). При этом, если в момент ^о = 0 автомат был свободен, то, вообще говоря,

нельзя предсказать заранее, когда его займут первый раз (М , когда он после этого освободится (^Н.когда его займут вторич­ но ( * з ) И т. д.

Случайная величина Х(/), рассматриваемая как функция времени, представляет собой случайную функцию аргумента /,

*o,i — первый автомат свободен, второй занят; *м — оба автомата заняты.

В данном случае процесс характеризуется двумя параметра­ ми (индексами), которые могут принимать значение 0 или 1.

Характерным для тех случайных процессов X(t), которые нам

предстоит рассматривать, является то обстоятельство, что физи­ ческая система, состояния которой описываются случайным про­ цессом X(t), может в любой момент времени t находиться только

то имеет местр событие

X ( t ) = x

если он занят, то имеет место событие

X{t) = x x.

Одной из основных задач изучения случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания, является отыскание вероятностей того, что в момент времени t система

находится в том или ином состоянии. Не описывая случайный процесс исчерпывающим образом, эта вероятность все же дает достаточно полное представление о нем.

Таким образом, объектом нашего изучения будут случайные процессы, протекающие в системах массового обслуживания и описывающие изменения состояний этих систем во времени. Мы будем рассматривать только системы, которые имеют конечное или счетное множество возможных состояний* Такие системы будем называть системами с дискретными состояниями. Возмож-

* Счетным множеством называется множество, элементы которого можно расположить в определенной последовательности (перенумеровать). Счетное множество может быть как конечным, так и бесконечным. Примером беско­ нечного счетного множества может служить множество всех натуральных чисел.

47

ные состояния системы массового обслуживания будем обозна­

Будем считать, что переход системы из состояния в состоя­ ние осуществляется скачком (мгновенно).

Рассмотрим систему с конечным числом состояний л0, ль ...»

которые образуют полную группу несовместных событий. Собы­ тие X ( t ) = X i состоит в том, что система в момент времени t на­ ходится в состоянии Xi. Вероятность этого события обозначим

цесс, протекающий в системе с дискретными состояниями, число которых конечно (или счетно). Такой процесс удобно интерпре­ тировать с помощью графа (схемы) возможных состояний с ука­ занием возможных переходов из состояния в состояние, кото­ рые обозначаются стрелками. На рис. 2.1.2 показан граф

возможных состояний для автомата по продаже воды. Прямо­ угольники символизируют состояния, а стрелки — переходы из состояния в состояние *

Процесс удобно представлять себе, как блуждание точки, изображающей систему, по этой схеме, с мгновенными переско­ ками из состояния в состояние по соответствующей стрелке, происходящими в случайные моменты времени.

Вообще граф возможных состояний будем изображать в виде нескольких прямоугольников, изображающих состояния системы, соединенных стрелками, обозначающими возможные переходы непосредственно из одного состояния в другое, причем направ­ ление стрелки будет указывать направление перехода.

* Переход будем считать «возможным», если система, находящаяся в со­ стоянии, откуда берет начало стрелка, может перейти из этого состояния непо­ средственно в то состояние, куда направлена стрелка (не попадая в другие состояния).

48

строго одновременное занятие или освобождение обоих автома­ тов). Это же замечание относится и к состояниям x0,i и JCIi0.

Состояние, из которого система не может перейти ни в какое другое, называется «состоянием без выхода» *. Например, электрическая лампочка может быть в трех состояниях: выклю­ чена х 0, включена A' I и перегорела х2 (рис. 2.1.4). Очевидно, состояние х2 есть состояние без выхода.

Рис. 2.1.2 Рис 2.1.3 Рис. 2.1.4

Состояние Xi будем называть соседним по отношению к со­

стоянию Jtj, если возможен непосредственный переход из состоя­ ния Xj в состояние Х{.

Если в числе состояний есть только одно состояние хт без

выхода, то при достаточно длительном протекании процесса

Так как для любого момента времени t выполняется нормировоч­

ное условие (2.1.3), то в этом случае

Если в числе состояний есть несколько состояний без выхода:

ТО

т.е. через достаточный период времени система с практической

* Иногда это состояние называют поглощающим.

49

На рис. 2.1.5 изображен граф состояний системы: состояния х\ и х2 представляют собой состояния без выхода. В этом случае

Иш (а (/) + Л (0) — 1-

Могут быть случаи, когда несколько состояний представляют собой «группу состояний без выхода». Так, на рис. 2.1.6 изобра­ жен граф состояний, в котором состояния х\ и х2 представляют

собой группу состояний без выхода.

Если имеется одна группа состояний без выхода, в которую

1.

На рис. 2.1.7 показан граф состояний системы, у которой две группы состояний без выхода: первая группа имеет два состоя­ ния х\, х2\ вторая группа — тоже два состояния *4, х$. При этом,

50