книги / Механика трещин

тации элемента трещины ds9 с которым можно совместить начало координат и вдоль которого направить осьх. Однако для криволиней­ ной трещины каждой ее точке соответствует своя ориентация.

Аналогичный путь, основанный на формулах для точечного раз­ рыва перемещений, может быть реализован и для пространственных задач о трещинах - задач о трещинах, лежащих на некоторой поверхно­ сти и подверженных действию внешних напряжений, распределенных на ней произвольным образом.

Заметим, что для антиплоской деформации анализ задачи о криво­ линейной трещине проводится и аналитическими средствами - путем конформного преобразования - отображения криволинейного отрез­ ка на прямолинейный или на дугу окружности. В случае же плоской задачи аналитические методы эффективны лишь для прямолинейной трещины или для трещины, расположенной вдоль дуги окружности [61].

§ 2.4. Трещина на границе раздела

Пусть верхнюю полуплоскость заполняет упругая среда с парамет­ рами р =ц , к =к1} а нижнюю - среда с параметрами р =р2, и =и2. Рассматривая плоскую задачу о трещине, расположенной на границе раздела 1x1 < /, у = 0 при р ф р2 и (или) их + и2, нельзя основываться на представлениях (1.7), (1.8), так как при указанных условиях сим­ метрия относительно оси х, вообще говоря, исчезает. Обращаясь к представлению (1.6) и используя результаты предыдущего парагра­ фа, можно свести рассматриваемую задачу к задаче сопряжения [61] и найти ее полное решение (детальное описание метода и результатов дано в первом издании книги).

Основная особенность решения состоит в том, что если параметр а =(р2к1 + р1)/(р1к2 + р2)¥= 1 (что возможно лишь для сжимаемого материала), то при равномерной нагрузке на бесконечном множестве сужающихся при приближении к краю трещины отрезков ее раскрытие оказывается отрицательным (в задаче I на интервалах /(1 - е) < 1x1 < /, 0< е < 2,5210“4, а в задаче II на половине длины трещины). Отсюда следует, что в действительности берега трещины на некоторой части ее длины взаимодействуют - отталкиваются, что не было учтено при постановке задачи. Поэтому напряжения, действующие на берега тре­ щины, не могут быть постоянными (если а ф 1). Точные решения этой задачи, не содержащие осциллирующих особенностей, получены путем введения зон контактного проскальзывания, лежащих на продолже­ нии раскрывшейся трещины, в которых нормальные перемещения непрерывны [26, 88,129].

§2.5. Взаимодействие трещин

Пусть в безграничном однородном линейно-упругом теле имеется п трещин,, расположенных в плоскости х 19 х3 и занимающих области aK< x < b K, у - 0; к = 1 , 2 . .,п ; ок+1> Ь ю а„+i=°°, b0 = - Будем

рассматривать обобщенную плоскую задачу, полагая, что на бесконеч­ ности перемещения и напряжения отсутствуют, а берега трещин загру­ жены внешними напряжениями ± о{х). Общее решение можно пред­ ставить суммой решений трех задач, каждая из которых соответствует лишь одной проекции вектора о и определяется условиями, аналогич­ ными условиям (2.7), (2.8) для функции (p(z), аналитической в верхней полуплоскости z = х + iy:

По-прежнему сохраняем требование непрерывности перемещения гра­ ницы верхней полуплоскости.

Решение данной задачи можно получить, по существу, тем же ме­ тодом, что и решение аналогичной задачи об одной трещине. Введем аналитическую в верхней полуплоскости функцию Ф(г):

ReO = 0 (xê(o).

Обобщенные функции с носителями в точках х = аК, х = Ьк исклю­ чаются условием непрерывности перемещения границы верхней полу­ плоскости. При z производная ф'(z) = 0(z"2) и, следовательно, функция Ф(z) = 0(zn“ 2). Отсюда и из условий (5.3) находим Ф{г) и за­ тем по (5.2) - ф'{z):

Полученное здесь решение удовлетворяет условию Re ф' = 0 при

где постоянная, значение которой при определении искомых переме­ щений и напряжений нас не интересует, - вещественная.

Заметим, что в данном случае, когда область, занимаемая нагру­ женными трещинами, не ограничена и, следовательно, напряжения и перемещения не стремятся к нулю при 1x1 -* 00 , указанная выше оценка для функции ср (5.1) не имеет места. Однако при удалении от плоскости, где расположены трещины, т. е. при производная <р', а при надлежащем выборе постоянной в правой части выражения (5.9) и функция ф экспоненциально убывают.

Для наиболее интересного случая, когда нагрузка постоянна, интеграл в правой части формулы (5.8) выражается элементарными функциями:

Перемещения верхнего берега каждой из трещин и напряжения между ними определяются формулами (1.10) - (1.12), где

результаты и ссылки на литературу приведены в книге [117], укажем лишь асимптотики для коэффициентов интенсивности напряжений при постоянной нагрузке, действующей на берега трещины. Заметим, что тем самым будет полностью определена и асимптотика перемещений у края трещины, поскольку формулы (2.19)- (2.21) остаются справед­ ливыми и здесь.

Если l/h -+ 0, то, очевидно, приходим к рассмотренной выше зада­ че об одиночной трещине в безграничном теле. В случае же длинных (часто расположенных) трещин, т. е. при Н/1 -+ 0, коэффициенты интен­ сивности напряжений легко определяются из энергетических сообра­

Таким образом, если параллельные трещины одинаковой длины расположены достаточно близко друг к другу (и так, как показано на рис. 2.3), то коэффициенты интенсивности напряжений в задачах I, III достаточно малы. Заметим, что для одиночной трещины К\= Кц =

=% = рУлГ

Вслучае антиплоской деформации, когда перемещение и напряже­ ния выражаются через одну аналитическую функцию (р (z), с помощью конформного преобразования задача решается для произвольного расстояния между трещинами. Положим

£ = exp (2nz/h) - ch (2л///?).

Таким образом, на плоскости £ задача сводится к определению функции ф, соответствующей одиночной трещине, берега которой загружены напряжениями

23 2л £tch(2n//ft)

Обращаясь к формулам (2.17), где I следует заменить на sh(2n//h),

и учитывая первое из равенств (5.15), получаем следующее выражение для коэффициента интенсивности напряжений (т0 = const):

Взаимодействию трещин при различных условиях и влиянию гра­ ниц тела на состояние в окрестности трещины посвящено много работ. Литература и. некоторые результаты приводятся, например, в книгах [77,117]. Разрушение упругой среды, находящейся в стесненных усло­ виях, часто сопровождается образованием упорядоченных систем трещин. Это происходит в массивах горных пород, при высыхании поверхностного слоя грунта и во многих других случаях. Теория этого явления развивается в работах [15, 17,18].

§ 2.6. Круглая трещина под действием нормальных напряжений

Рассмотрим задачу о круглой плоской трещине в неограниченном упругом пространстве. Пусть внешние напряжения действуют лишь на берега трещины: г</, z = ± О (г, 0, z - цилиндрические координаты). Положим

° Z2= - о(г,в) = - 2о^г)е'п0;

равны нулю нормальные перемещения uz и касательные напряжения °rz> °Bz- Таким образом, достаточно рассмотреть, например, лишь верхнее полупространство, на границе которого заданы

°zz= - о (0<Г</); и2= 0 (г >0;

(6.2)

°rz= °0z = о ( 0 < г < ° ° ) .

Так же, как и в плоской задаче, добавим к этому требование не­ прерывности перемещения границы полупространства. При указанных условиях для определения перемещений и напряжений можно восполь­ зоваться соотношениями (1.16), (1.20). Функцию / и перемещение uz также представим в виде ряда (6.1).

В силу линейности задачи достаточно определить искомые функ­ ции отдельно для каждого из членов ряда, а затем просуммировать по п. Конечно, решение для п Ф0, каждое в отдельности, не годится, так как нормальное перемещение верхнего берега трещины не может быть отрицательным. Однако суммарное решение будет правильным, если окажется, что перемещение uz ^ 0.

Функция /-гармоническая, так же как и ее производные noz.

Поэтому соответствующие коэффициенты Фурье можно представить в виде (Jn= функция Бесселя)

Fniq) = ? fn(r, 0)rjn(qr)dr.

0 Данное представление получается после подстановки соответ­

ствующего члена ряда в уравнение Лапласа (1.17), проведения преоб­ разования Ханкеля над полученным соотношением и применения фор­ мулы обращения к решению преобразованного уравнения.

С помощью аналитического продолжения на плоскости £ из извест­ ной формулы (полагаем пока п> 0)

о

находим такие интегральные представления функций Бесселя через

2 00

ф(х, г) = — 5 fHn (q)q2' ne_<?z Sjn (qx)dq.

Заметим, что из соотношения

оо

qfHn(q)e~qz = - I ^ ^ rJn(qr)dr,

О