книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей

112

^71ft " ft a7t-sfifl-S, У/i 1>2» * ( 8)

Согласно приведенным эквивалентным математическим преобразованиям структура объекта регулирования системы ФАПЧ изменится эквивалентно. Тогда структурная схема сис­ темы (рис. 1) преобразится (рис. 2). Из этого рисунка видно, что для моделирования объекта регулирования системы ФАПЧ, описываемого системой уравнений (6 ), требуется одно инерци­

более простому каноническому вилу. Известно, что когда ха­ рактеристическим числам уравнения (2 ) отвечают элементар­ ные делители первого порядка, то система уравнений (6 ) пре­ образуется к чисто диагональному виду

dm Ф

( 8)

d t

где fii - корни характеристического полинома, соответствую­

внешнем воздействии соответственно, вычисляемые по форму­

ного линейного преобразования

и систему уравнений для вектор-функции ф с компонентами ^

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (14), получаем выражение для вектор-функции ф Относительнр вспо­ могательных переменных

Выражение (17) и есть оптимальный по быстродействию законом регулирования системы ФАПЧ с линейным фильтром любого порядка.

Для полного определения движения определяющей точки в фазовом пространстве достаточно знать проекции оптималь­

ixtHi,k+n)i %ктр k * 9iZlm' cï,k ftaifnk+fy ^тяр к

мальном значении вносимой управителем расстройдд цд Д-м т,н- 115

мых начальной расстройкой фаз синхронизируемых колебаний г ее производными, соответствует одно семейство фазовых трая

торий на плоскости щ (рис. 4,а), а при изменении зна­ ка и величины'регулирующего воздействия - другое семейство

координат (линия переключения). Оптимальная линия переклю­

лутраектории в одну, получаем семейство кривых, среди кото­ рых одна всегда проходит через начало координат. Продолжая этот процесс и переходя от линии переключения к гиперповер*' ности переключения, определяющей многообразие возрастаю­ щей размерности, получаем, картину (рис. 4 ), топология кото­ рой удовлетворяет соотношениям

. L l ü L p . . . U /4U LpL0U L -U L lU ...U l-= ,.= L fU ll4 Urr Li M ^ Ус = 1, 2,...Тп

116

Решение уравнений (9 ) при. произвольных условиях имеет

вид

согласно которому оптимальный переходный процесс можно представить параметрическими уравнениями по интервалам оп­ тимального управления с учетом возможного порядка переклю­ чения управляющих воздействий u ( t ) следующего вида:

Если расписать уравнения проекций фазовых траекторий на координатные плоскости (18) по интервалам оптимального

управителем, была экстремальной (максимальной или мини­ мальной), Физическая интерпретация происходящих явлений сводится к следующему: при отработке фазового рассогдасовт ния система поочередно получает максимальный "разгон", а

тимального перёходного процесса выбираются так, чтобы про* исходило максимальное уменьшение разности фаз синхронизи­ руемых колебаний, а на ооседнем интервале оптимального да* реходного процесса знак и величина 0Ш/Пр ис меняются на

Uyutt или Уцакс • чт0 соответствует максимальному тормо­ жению в системе и т.д.

Подобный эффект можно достичь а системах ФДПЧ с ,уп-

t

Рис.5»

равляемым ФД, который изменяет свою характеристику (рис.5) Рассмотрим два случая: ФД с непериодической, кусочно­ постоянной (релейной) характеристикой (рис. 5,а) и ФД с пря­ моугольной характеристикой, при которой фазы следования им­ пульсов могут изменяться на 180° (рис. 5,в). В стационарном режиме, когда частоты синхронизируемых колебаний становят­

ся равными с определенной степенью точности, в системе ФАПЧ устанавливается постоянная разность фаз. В этом слу­ чае выходное напряжение ФД постоянно. Устройство управле­ ния ФД в зависимости от величины и знака фазового рассогла­ сования и его производных вырабатывает соответствующий

сигнал управления, по которому происходит изменение харак­ теристики ФД.

В первом случае при формировании оптимального алго­ ритма регулирования (17) ФД превращается в релейный эле­ мент с выходным напряжением и^нвгяр » количествоинтерва­ лов постоянства его знака может быть не более порядка диф­ ференциального уравнения (2 ), Знак, величина выходного на­ пряжения ФД, точное количество интервалов и длительность И# смены зависят от величин и знаков фазового рассогласова­ ния синхронизируемых колебаний и его производных, что вы­ числяется устройством, управляемым ФД.

Во втором случае нормированная характеристика ФД име­ ет примоугольную' форму и может изменять на противополож­ ную фазу напряжения на выходе* ФД соответственно импуль­ сом, поступающим из устройства управления ФД. Импульсы управления формируются на основании анализа величины и зна- •ка разности фаз колебаний и ее производных.

Если учитывать ограничения типа (4 ), приведенные выше рассуждения остаются в силе о той лишь разницей, что на ин­ тервалах постоянства регулирующего воздействия появляются участки спада и нарастания, тангенс угла наклона которых равен 0махс и Ùмиц или наоборот (рис. 5,6).

Мгновенное напряжение на входе управителя определяет­ ся мгновенным выходным напряжением ФД, которое описывает­ ся существенно нелинейной периодической (с периодом 2Si )

однозначной функцией разнооти мгновенных фаз синхроннзируе-’ мых колебаний и имеет один максимум и минимум за период со средним значением, равным нулю. Это обстоятельство с учетом требования экстремального значения выходного напря­ жения ФД и ограничений вида (3 ) приводит к необходимости применения ФД с нормированной характеристикой, имеющей прямоугольную форму (рис, б,в). При учете же и ограничений типа (4 ) характеристика ФД должна иметь трапециевидную форму (рис. 5,г). Таким образом, для реализации оптимально­ го алгоритма регулирования (17) нормированная характеристи­ ка ФД должна иметь прямоугольную или rpai здиевидную форм! и обладать возможностью изменения фазы следования импуль­ сов на 180°.,

В 'обоих случаях в стационарном режиме, когда синхрони* зируемые частоты становятся равными с определенной степо-