книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек
..pdf
92 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
во внимание экспериментальные результаты, полученные только при испытаниях многослойных (h > 1 мм) оболочек. Таких многослойных (квазиоднородных) оболочек среди общего числа 194 насчитывается 117 [6, 11, 39, 57 ].
Статистический анализ результатов испытаний и расчётов 117 обо лочек с толщиной, большей 1 мм, показал следующее. Величины kyCT расположены в интервале 0,56-7-1,16; среднее значение куст = 0,81; среднеквадратичное отклонение составляет а = 0,14; коэффициент ва риации г = 0,17. Свыше 80% оболочек имеют коэффициент устойчи вости куст > 0,7. Не отмечено каких-либо специальных особенностей при сравнительном анализе результатов испытаний нагретых оболочек [57]. Оболочки нагревались до различных температур, не больших 100 °С, а при расчётах учитывалось понижение физико-механических характеристик.
Гистограмма и нормальный закон распределения для коэффициен та куст при осевом сжатии 117 стеклопластиковых оболочек с тол щиной, большей 1 мм, показаны на рис. 4.9. Как видно, нормальный закон вполне удовлетворительно описывает плотность распределения вероятностей величины куст.
Анализ результатов испытаний 194 оболочек, представленных на рис. 4.8, позволяет дать рекомендации для выбора поправочного коэффициента при расчётах на устойчивость от осевого сжатия стеклопластиковых натурных оболочечных конструкций. Из рис. 4.8
видно, |
что минимальные значения поправочных коэффициентов |
|||
(4.19), |
полученные на основе |
обработки |
результатов |
194 опытов |
на сжатие стеклопластиковых |
оболочек, |
имеют явную |
тенденцию |
|
к увеличению с ростом толщины оболочки. Эту зависимость можно аппроксимировать показанной на рисунке линией. Уравнение этой линии записывается следующим образом:
при |
h ^ 1 мм; |
|
|
|
при |
1 мм < h ^ 2 |
мм; |
(4.20) |
|
при |
2 мм < h ^ 4 |
мм; |
||
|
||||
при |
h > 4 мм. |
|
|
В этих зависимостях толщина h оболочки измеряется в миллиметрах. Если полагать, что на 1 мм толщины стенки приходится 4 слоя стеклопластика, то получим зависимость величины поправочного ко
эффициента куст от числа пс слоёв в оболочке:
0,5 |
при |
пс < 4; |
|
0,56 |
при |
4 |
< пс < 8; |
0,32 + 0,03пс |
при |
8 |
< пс < 16; |
I 0,8 |
при |
пс > 16. |
|
94Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
—теоретические и экспериментальные значения критических на грузок удовлетворительно согласуются: для стеклопластиковых оболо чек различие в среднем составляет 20 % (как известно, для металли ческих изотропных оболочек различие достигает 2 ч- 3 раз);
—величина поправочного экспериментального коэффициента устойчивости kycT практически не зависит от относительной толщины
оболочки h/R;
— для многослойных стеклопластиковых оболочек, полученных на моткой, коэффициент устойчивости куст возрастает с толщиной (чис лом слоёв) оболочки.
Как следует из проведённого сравнительного анализа, в случае осе вого сжатия ортотропных (стеклопластиковых) цилиндрических оболо чек теоретические и экспериментальные значения критических напря жений согласуются гораздо лучше, чем в случае изотропных оболочек [12, 79, 83]. Частично это можно объяснить тем, что технология изготовления цилиндрических стеклопластиковых оболочек (намотка) приводит к меньшим несовершенствам формы, чем в аналогичных металлических оболочках. Однако известно, что в тех же цилиндри ческих металлических оболочках с начальными неправильностями при действии бокового давления или кручения теоретические и экспе риментальные значения критических напряжений удовлетворительно согласуются [8]. Это соображение приводит к мысли, что уровень различия между теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий в оболочках зависит не только от начальных неправильностей, но и от других факторов.
В этой связи при расчётах на устойчивость обращает на себя вни мание феномен однозначности (или неоднозначности) формы потери устойчивости оболочки и влияние его на соотношение между теорией и экспериментом.
Так, при расчёте на осевое сжатие изотропных цилиндрических оболочек форма потери устойчивости не определена: критические пара метры волнообразования Лкр, ггкр не определяются однозначно, а могут принимать бесконечное множество значений, удовлетворяющих соот ношениям (3.10) или (3.11). Именно в этом случае различие между теорией и экспериментом велико (до 2 ч-3 раз и более).
При расчёте тех же оболочек, например, на действие внешнего давления форма потери устойчивости однозначно определяется: по лучается одна полуволна (mKp = 1) в осевом направлении и вполне определённое число волн ггкр в кольцевом. Именно в этом случае теоре тические и экспериментальные результаты мало различаются. В случае осевого сжатия ортотропных цилиндрических оболочек при выполне нии условия оц ф «2 расчётная форма потери устойчивости также однозначно определена: критические параметры Акр, пкр однозначно выражены соотношениями (4.9), (4.11), (4.12). Анализ результатов ис пытаний 194 стеклопластиковых ( оц < «2) оболочек на осевое сжатие
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель) |
95 |
показал, что в этом случае наблюдается хорошее согласование теории и эксперимента: среднее различие не превосходит 20%.
Аналогичная картина наблюдается и при исследовании устойчиво сти других типов оболочек. Так, при расчёте на устойчивость от внеш него давления сферических изотропных оболочек критические пара метры Акр, пкр волнообразования не определяются однозначно: они лишь связаны соотношением (3.11). В этом случае экспериментальные значения критических напряжений в 2 ч-3 раза меньше теоретических [10, 12]. В трёхслойных и вафельных цилиндрических оболочках при осевом сжатии расчётная форма потери устойчивости однозначно опре делена [72] и, как показал сравнительный анализ [40, 59, 64], различие между теоретическими и экспериментальными значениями критиче ских усилий этих оболочек невелико и находится в пределах 20 ч- 30%. Хорошо согласуются также теоретические и экспериментальные зна чения критических усилий в коротких изотропных цилиндрических оболочках при осевом сжатии. И в этом случае форма волнообразо вания однозначно определена (осесимметричное выпучивание по одной полуволне в осевом направлении). Однозначно определены формы вол нообразования при потере устойчивости стержней и пластин, где также наблюдается хорошее согласование теоретических и эксперименталь ных результатов. В так называемых квазиизотропных цилиндрических оболочках, когда выполняются условия ац = а^; А = А> форма вол нообразования не определена однозначно: параметры Акр и пкр лишь связаны соотношением (4.16). В этом случае можно ожидать более значительных расхождений между теорией и экспериментом.
Существенное влияние факторов однозначности или неоднозначно сти формы потери устойчивости оболочек на разницу между теорией и экспериментом можно объяснить, исходя из энергетических сооб ражений. В соответствии с законами механики оболочка стремится перейти в новое положение равновесия (потерять устойчивость) на са мом низком энергетическом уровне, проще говоря, при наименьшем критическом усилии. Если форма волнообразования однозначно опре делена, то в процессе потери устойчивости оболочка взаимодействует лишь с теми своими неправильностями, форма которых «резонирует» с формой волнообразования оболочки при потере устойчивости. Таким образом, на величину критического усилия влияют не все неправиль ности, а лишь те из них, которые по форме совпадают с однозначно определённой формой потери устойчивости оболочки. Однако непра вильностей такого частного вида в оболочке вообще может не быть, по этому влияние неправильностей существенно снижается, что приводит к хорошему согласованию теоретических и экспериментальных дан ных. Если же форма потери устойчивости не определена однозначно, то при потере устойчивости оболочка может взаимодействовать прак тически с любыми имеющимися у неё начальными неправильностями, «выбирая» среди них те, которые максимально снижают критическую
96 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
нагрузку. В итоге теоретические и экспериментальные результаты для такого рода оболочек существенно различаются.
Таким образом, в процессе сравнительных экспериментально теоретических исследований устойчивости различного рода оболочек, как изотропных, так и ортотропных, выявлена новая закономерность [4], которая заключается в следующем. Если форма волнообразования
оболочки при |
потере устойчивости однозначно определена расчёт |
ным путём, |
то наблюдается хорошее согласование теоретических |
и экспериментальных значений критических усилий. Если же форма волнообразования не определена однозначно, то теоретические и экспериментальные значения критических усилий существенно различаются. Нам неизвестны результаты, которые опровергали бы эту закономерность.
4 .1 .3 . Нагружение внешним давлением. При потере устойчиво сти от внешнего бокового давления р цилиндрические оболочки, как известно, образуют одну полуволну (то = 1) в осевом направлении и несколько волн в кольцевом. При таком волнообразовании законо мерности потери устойчивости хорошо описываются полубезмоментной теорией оболочек. Для расчёта критических параметров при потере устойчивости воспользуемся соотношением (4.5), положив Т\ = S = 0:
|
Р 2 (п2 - 1) |
+ Bi(l |
|
Af |
irR |
Т2 |
Д2 |
- v i v 2 ) - |
l(n2 - 1) ’ |
Ai —Акр — |
|
|
|
|
T2 = pR. |
(4.21) |
|
Полученное соотношение учитывает непологость оболочки, что важно в случае образования малого числа волн в кольцевом направ лении.
Критическое значение усилия Т£1р при потере устойчивости от дей ствия внешнего бокового давления получается из соотношений (4.21) минимизацией по параметру п волнообразования. В том случае, когда число волн в окружном направлении достаточно велико (п2 1), зависимость (4.21) можно записать в виде
Т2 = ^ - + Б 1 (1 - ^ 2) ^ . |
(4.22) |
После минимизации этого выражения по параметру п можно полу чить следующие формулы для расчёта критических параметров:
Т2 Р = |
\ ] B l D 2 (! - v№ ) ; < p = 3XiB l { l ~ ^ 2)R2. (4.23) |
Если оболочка квазиоднородна по толщине, то соотношения (4.23) примут вид:
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель) |
97 |
гркр |
_ |
|
0,85 |
/г5/2 |
|
Сто |
г>7. |
|
т к р |
1с1 |
— |
|
|
|
Vкр _ _ 2_ . |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
h |
|
R ’ |
Акр |
= Ai |
7ГЙ |
2 |
Р * |
4l Е \ |
( I ~ 1С\1С2) |
(4.24) |
||
£ ’ |
Пкр ~ |
’ £ V h |
V |
Е 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
В случае однородных изотропных оболочек отсюда следует извест ная формула П.Ф. Папковича.
Если величина п мала (не выполняется условие п2 1), то для определения критических параметров при потере устойчивости необхо димо дискретно минимизировать по п выражение (4.21).
Расчётные зависимости (4.21)ч-(4.24) пригодны для оболочек сред ней длины, когда выполняется условие
6 |
, 1 , о 4/ - В 1 (1 - V \V 2 ) R 2 |
(4.25) |
|
Д 2 V ---------Di-------- |
|||
В2 (1 —ь'\1/2) R2 |
|
Длинные оболочки теряют устойчивость подобно кольцам с обра зованием в окружном направлении двух волн. Критические параметры вычисляются при этом по следующим формулам:
Т'КР __ T — L- |
г>к Р |
3D 2 |
(4.26) |
|
д 3 ; пкр = 2. |
||||
12 ~ R2 > |
Р |
В случае коротких оболочек можно воспользоваться расчётной фор
мулой [8] для шарнирно закреплённой прямоугольной пластины: |
|
Т2КР = ^ - |
(4-27) |
Результаты расчёта критической нагрузки по предложенным фор мулам удовлетворительно согласуются с экспериментальными данны ми. Обработка экспериментальных данных, проведённая на основе [23, 57], показала, что различие между теоретическими и экспери ментальными значениями критических усилий находится на уровне ±10%. На рис. 4.10 в двойной логарифмической шкале представлена зависимость безразмерного критического давления q* от габаритножесткостного параметра Л оболочки, полученная А. А. Буштырковым.
На рисунке введены обозначения:
Ч* рКр / Д \ 3 |
i 2 |
[ Ш |
Е2 \ h ) ’ |
" тг2R h V El |
|
Теоретическое значение критического давления ркр вычислено по формуле (4.24), а соответствующая величина q* показана сплош ной линией. Точками нанесены экспериментальные значения величи ны q*. Как видно, теоретические и экспериментальные данные хоро шо согласуются. При этом в рассматриваемом диапазоне изменения
4 С.Н. Сухинин
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель) |
99 |
параметра Л (3 < Л < 500) выполняется условие (4.25), т. е. пригодны соотношения для расчёта критических параметров в оболочках средней длины.
Рис. 4.10 показывает, что в области Л < 10 теоретические зна чения параметра критической нагрузки несколько выше эксперимен тальных. Это объясняется тем, что в сравнительно коротких оболоч ках (Л < 10) на критическое давление начинает влиять податливость оболочки на сдвиги в её поверхности. Эта податливость уменьшает эффективную жёсткость оболочки и соответственно теоретическое зна чение критического давления. Формулы (4.23), (4.24) не учитывают влияние указанной податливости, поэтому в области Л < 10 дают чуть завышенные значения критических давлений. Для учёта влияния податливости на сдвиги в формуле (4.23) достаточно вместо величин Si и D2 подставить соответственно
IL |
В i(l - |
и\У2) |
Dp |
Af \ |
|
|
D2 1 + |
||
|
i + ^ |
i L |
|
A n ip ) ' |
|
/% |
п2кр |
|
|
В случае однородных оболочек в формуле (4.24) при расчёте крити ческих усилий необходимо величину Е\Е^ заменить на
з
1 + |
4С?1г(1 —*1*2) |
+ 2г/5 П\ |
|
Ео |
|||
Е\„Е< В Д - |
Е\( 1 - щщ) |
кр |
|
|
|||
1+ |
- 2 * 1 ) 4 - |
||
G 12 |
|||
|
те;кр |
Учёт указанных поправок необходимо проводить для коротких обо лочек. Как показал анализ, это необходимо делать для оболочек, у которых длина ^крэф краевого эффекта превосходит четверть длины оболочки: £крэф > 0,25£. В этом случае поправка от учёта сдвигов в поверхности оболочки даёт снижение критического усилия Т2 поряд ка (5 -г- 8) %.
4 .1 .4 . Нагружение крутящим моментом и перерезывающими усилиями. При потере устойчивости от кручения в многослойных композитных оболочках, как обычно, образуются одна полуволна в осе вом направлении и несколько волн в кольцевом. При такой деформации к оболочке можно применять полубезмоментную теорию. Разрешаю щее соотношение получим в этом случае из зависимости (4.5) при
Т1 = Т 2 = 0:
25 = те(те2 — \ ) D 2 |
+ S i(l - щи2) |
AL _ |
Акр = - j - ■ (4.28) |
ATR2 |
|
п°[п■2 - l ' |
|
4*
100 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Если оболочку можно считать пологой (n2 1), то соотношение (4.28) преобразуется к виду
гг3В 2 |
+ В i (1 - щи2) |
Ai |
25 = |
:ПЪ |
|
AIR 2 |
|
|
Вэтом случае можно произвести минимизацию, считая величину
ггнепрерывной. В результате минимизации получаются следующие зависимости:
1,72 |
B\D\ (1 - v\v2f ; n2 =l,14Ai ijB i (1 - i/\i/2) В 2 |
£1/2Д3/4 |
D2 |
|
Эти зависимости получены с использованием решения в виде (1.3), которое в рассматриваемом случае не точно удовлетворяет граничным условиям и даёт заниженные значения критических усилий сдвига. Уточняя решение на основе [24], где полностью учтены граничные условия, можно получить следующие выражения для расчёта на устой чивость при кручении шарнирно закреплённых ортотропных много слойных оболочек:
|
s ' v = ё щ ё г , I! |
■ |
|
Ai |
7ГR |
41 Bi (1 |
- V \ V2)R2 |
А кр = —j - ; |
2,7Ai |
(4.29) |
|
|
|
V |
D i |
В случае квазиоднородных ортотропных оболочек из соотношений
(4.29) получаются следующие расчётные формулы: |
|
|
|||||
|
5 кр |
0,7 |
/г9/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пкр2 |
|
Ei (1 - |
у\у2) |
|
|
|
|
|
Е2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
тк р_ |
°>7 |
fe5/4 |
У Ь 1Ь 2> |
А - |
л , - |
— |
(4 30) |
|
(1 _ ^^2)5/8 £1/2ДЗ/4 |
Лкр |
Л1 |
£ - |
(4.30) |
||
Зависимости (4.29), (4.30) относятся к шарнирно закреплённым оболочкам. Если края оболочки жёстко защемлены, то критические усилия и напряжения в формулах (4.29), (4.30) следует увеличить в 1,2 раза [24].
Систематические сравнительные экспериментально-теоретические исследования устойчивости композитных оболочек при действии кручения отсутствуют. Тот факт, что форма волнообразования однозначно определена, позволяет предположить, что теоретические