книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 3

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 495—500

УДК 624.074 + 539.376:678.5.06

В. Д. Потапов

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И ОБОЛОЧЕК ПРИ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗОК, МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

При исследовании устойчивости вязкоупругих конструкций обычно ограничиваются рассмотрением постоянных во времени внешних нагру­ зок. Для изменяющихся во времени нагрузок известно решение лишь для некоторых простейших случаев их изменения при определенных законах деформирования материала1-2.

В настоящей статье проводится анализ устойчивости изотропных вязкоупругих стержней и оболочек, сжатых произвольной детерминиро­ ванной периодически меняющейся во времени нагрузкой, а также слу­ чайной нагрузкой, представляющей собой некоторый стационарный про­ цесс. При этом предполагается, что нагрузки меняются во времени до­ статочно медленно, в результате чего силами инерции при изучении дви­ жения конструкции можно пренебречь.

Вначале остановимся на задаче устойчивости стержней и оболочек, сжатых детерминированными периодически меняющимися нагрузками. Допустим, что при невозмущенном движении3 конструкции напряженное состояние является безмоментным. При возмущенном движении, которое может быть вызвано, например, малым начальным искривлением оси стержня или срединной поверхности оболочки, появляется дополнитель­ ный прогиб стержня или оболочки, который меняется во времени. Если формы потери устойчивости упругих стержня и оболочки образуют пол­ ную систему функций, то начальный w°(x) и полный w(x, t) прогибы можно разложить по формам потери устойчивости: w°(x) =hT,£>k°q>h{x)’,

к

w(x,t) =hHlh{t) ф/Д*). Здесь h — характерный геометрический размер k

конструкции.

В предположении малости рассматриваемых перемещений из ли­ неаризованных уравнений равновесия и совместности деформаций полу­ чим интегральные уравнения

ции для материала стержня и оболочки; a = a{t) — периодическая функ­ ция с периодом Т, характеризующая изменение во времени безразмерной нагрузки.

Очевидно, что при достаточно малых шах |а(£) | решения |/Д/) будут ограниченными и периодическими функциями времени. Для их нахожде­ ния представим периодические функции в виде рядов Фурье:

495

Определитель (6) записывается следующим образом:

Заметим, что в некоторых случаях может быть удобно искать реше­ ние уравнения (1) не в комплексной форме, а в тригонометрической

Система уравнений, аналогичная системе (5), в этом случае запи­ шется в виде:

где

Далее по заданным значениям а0 найдем наименьшее действительное значение параметра ои, при котором определитель (7) или определитель системы уравнений (9) обращается в нуль. Будем называть эти значения a*i критическими. При у=1 результаты вычислений a*i представлены в

табл. 1 для разных Т и различного числа членов, удерживаемых в разло­ жении (8). Точное решение задачи, которое нетрудно получить в данном примере, дает соотношение между ао и а*ь

Отсюда следует: при ао=0 2a*i = ±0,8660; при ao = 0,25 2a*i = ±0,5590; при ао=:0,5 2a*i = 0.

Сравнение точных значений a*i с данными вычислений, приведенными в табл. 1, показывает их достаточную близость при удержании в разло­ жении (2) или (8) даже небольшого числа членов.

Отметим, что при сохранении одинакового числа членов в указанных разложениях точность вычисления ai* оказывается зависящей от вели­ чины Т. Тем не менее с увеличением п значения a*i стремятся к одному пределу при разных Т (если исключить из рассмотрения предельные слу­ чаи Т-+-оо и 0). Этот факт подтверждается и точным соотношением (10). На это же обращалось внимание в работе1.

Далее рассмотрим задачу об устойчивости стержня и оболочки, нахо­ дящихся под действием случайной сжимающей нагрузки.

Для определения вероятностных характеристик прогибов воспользу­ емся методом моментных функций. Заметим, что такой метод решения стохастических задач широко используется в механике сплошных сред5-7.

Допустим, что функция a (/) представляет собой стационарный про­ цесс. Запишем ее в виде: a (0 = a o + ai(0> где a0= < a {t) > =const; < a i(^ )> = 0 . Здесь и далее угловыми скобками обозначено усреднение по множеству реализаций.

причем П = 1—Г —ао. Усредним левую и правую части равенства (11):

= сы(*,),6'1 = Г(*1).

Для замыкания системы уравнений относительно моментных функций воспользуемся часто применяемой в подобных случаях гипотезой о гаус­ совской зависимости между моментами высших и низших порядков. В ре­ зультате получим:

П= <a,a,,) <ГГi) + <ctiri> <g'aii> + <|>2<aiai i>.

Для определения корреляционной функции <ai£'> умножим равен­ ство (13) на функцию a i(/i) и проведем усреднение левой и правой час­ тей полученного соотношения П<£'ац> = (|)<aian>. В итоге имеем замк­ нутую систему из трех уравнений:

498

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 3, с. 501—507

УДК 624.074 + 539.376:678.5.06

И. А. Буяков

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ТИПА ТИМОШЕНКО МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

Впоследние годы анализ напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций, изготовленных из композиционных материалов, основывается на уточнен­ ных теориях оболочек, учитывающих деформации в направлении нормали к поверхности приведения. Имеется несколько подходов к построению уточненных теорий. Можно ука­ зать теории оболочек, разработанные на основе вариационных принципов, например работы1,2, а также теории, созданные с помощью итерационных процессов, например3-6.

Впредлагаемой работе па основе вариационного принципа Рейсспера7- 8 получена разрешающая система нелинейных уравнений для многослойных анизотропных оболочек. Аналогичная линейная теория, учитывающая также деформацию <?33, разработана в1.

Если сдвиговые жесткости слоев в поперечном направлении несильно отличаются друг от друга, то оболочечную конструкцию можно рассматривать как однослойную обо­ лочку неоднородного строения. В таком случае целесообразно решать задачу типа одно­ родной с минимальными жесткостями9.

1. В качестве поверхности приведения принимается граничная по­ верхность любого слоя, определяемая параметром i0; N — число слоев. Система координат показана на рисунке.

Принимаются следующие допущения: слои деформируются без про­ скальзывания; смещения в каждом слое изменяются линейно по тол­ щине; деформация слоя в направлении нормали равна нулю.

Принятые допущения записываются в виде*: UД1= щп x3ytn \Е33п = 0. Здесь Uin — смещение в направлении координатной линии Хй Х\, х2, х3 — координатные линии, совпадающие с направлениями главных кривизн и нормали соответственно; уап — углы поворота прямой, бывшей до де­ формации нормалью; у3п — см. ниже; Eif1 — компоненты конечной де­ формации;

k — номер слоя, граничная поверх­ ность которого принята за поверх­ ность приведения; — смещения поверхности приведения; hm — тол­ щина слоя; sign(.. ) — функция знака.

В (1) и далее сумма равна нулю, если верхний предел меньше ниж­ него. Индекс k определяется функ­ цией, значение которой равно целой

Нижние индексы а, р пробегают значения 1, 2; индексы /, /, /г, I — 1,2, 3. Верхние индексы п, т означают принадлежность величины соответствующему слою.

501

Функционал Рейсснера запишем в виде8:

N

- X i n) U i n + Oijnl/2(fijn + ^ijfijn)]dv- J pinUindA — J pin(Oin- U i n)dA^

К

(5)

В (5) приняты следующие обозначения: W n = l /2E i j h i n V2 ( E i j n +

+ЬцЕцп) Ч2 {Ehin + 6hiEhin) ; $цп = Ецмпамп\ Xin = Xi0n + 2q{-k (xz —Н~) +

+ 2 qi+A(x3- H + ); Wn — удельная энергия деформации; Eijkin, оцп, сшп — компоненты тензоров модуля упругости, напряжения и теплового расши­ рения; 6ij — символ Кронекера; f*jn — правые части выражений (3), (4); Pin — напряжения, приложенные к граничному срезу слоя; Vй — объем слоя; Аап, Аип — поверхности граничного среза слоя, на которых заданы напряжения и перемещения соответственно; эти поверхности, не пере­ крывая друг друга, образуют полную поверхность среза слоя; dv = = (1+&1*3) (\+k2x$)A\dx\A2dx2dxz\ dA = {l + kxx3)dldx3\ kx= k l s\n2£ +

+ &2cos2£; £ — угол между вектором нормали v к поверхности гранич­ ного среза и вектором ei координатной линии Х\\ т — вектор касательной к линии контура; dl — дифференциал дуги контурной линии.

Внешняя нагрузка qc, qi+, приложенная к внутренней и наружной поверхностям пакета слоев, представлена в виде сосредоточенной объем­ ной силы с помощью дельта-функции Д (..,.) и добавлена к объемной силе Хщп (двойка при нагрузке q c и qi+ объясняется свойствами дельта­ функции при интегрировании11). Усилия и смещения, заданные на гра­ нице, помечены тильдой. В (5) и в пояснении к этому выражению при­ нято правило суммирования по повторяющимся нижним индексам от 1 до 3.

Поверхностная и контурная нагрузки считаются консервативными, но такими, как если бы они действовали в направлениях базисных векторов деформированной поверхности. Тогда, пренебрегая величинами более высокого порядка малости, согласно12 приближенно получим: qa~qao —

~^зо'О’а; <7зЛ*<71о‘От + <72о,0’2 + <7зоЗдесь q# — компоненты поверхностной на­ грузки в осях недеформированной оболочки. Компоненты psn (s^-v, т, 3)

Далее рассматривается анизотропный материал, имеющий поверх­ ность упругой симметрии, эквидистантную поверхности приведения; ком­ понента тензора теплового расширения аззп принимается равной нулю.

Интегрируя (5) по толщине п-го слоя, выполняя необходимые вариа­ ции и избавляясь от вариаций производных с помощью формулы Грина, а также учитывая произвольность вариаций компонентов деформаций, смещений и обобщенных усилий, получим нелинейную систему уравне­ ний и граничные условия.

4. Основные уравнения нелинейной теории типа Тимошенко много­ слойных анизотропных оболочек имеют следующий вид.

Уравнения движения

6wi: — А^пл + Ф1 {N22 —N и) — N 2 \,2 —фг (^21 + ^12) — &I Q I3+ <7I H—g = 0

( 1^ 2) ;

6«з: — Qi3,i — xpiQ13— Q23,2~фгС?2з+ ^1^11 + k2N22 + <7зи—<7з —0;

503

6 Y ln : - ^ l l , i n + ^ l ( ^ 2 2 n - ^ l l n) - Й 21,2п - \ 1)2(Й21П + Я , 2« ) + M n n[ ( Y i n +

В (6), кроме (l=f=t2), необходимо переставить индексы 4 и 5.

504