книги / Методы принятия технических решений
..pdf172 |
Глава 11 |
ляемая формулой |
(11.22), не меняется, а величины вероятно |
стей, определяемые |
формулами (11.23) и (11.24), — меняются. |
На рис. 11.7 схематично показаны две ситуации с одинако выми значениями рл и рЕ, но во втором случае наступает вдвое больше отдельных событий, каждое из которых вдвое короче по продолжительности.
Если для двух сравниваемых ситуаций справедливы соот
ношения h'=kh и l'=l/k, |
то отсюда следует |
п'—кп и |
v'=kv |
||||
(k — натуральное число), |
и |
справедливо |
равенство |
М/Т= |
|||
А |
- |
W / M |
|
X L X L |
Н=1, N=6 |
|
|
Е |
_ ж _ X L X L 1 Ш |
h=2, |
п = 16 |
|
|||
|
Ж Е |
mil iilL L тптг '.nil! 1ИН |
Н’=1 , N’=6 |
|
|||
|
h’=4= 2h, l’=^l |
|
|||||
u = 6 = 2 u , п’=36=2п
Рис. 11.7. События с одинаковой общей и различной индивидуальной продол жительностью.
= h'l'/T = pE. Для вероятности несовпадения Р '(# ) по (11.23) нетрудно получить неравенство:
Р'(К) < [-— ^ н ■)* •
Это означает, что при неограниченном уменьшении единич ного интервала для неблагоприятного события вероятность угрозы Р0' = 1—P'(iO стремится к единице.
Бауэр [29] рассчитывает вероятность угрозы по формуле
ра = 1 - (1- Р е) н( \ - Р а) \ |
(11.25) |
Вероятности рЕ и рА получаются из (11.20) и |
(11.21), а Я и |
h означают число попаданий в опасную зону и неблагоприят ных событий соответственно за рассматриваемое время. При этом если речь идет о случайных величинах, нужно использо вать оценки для их средних значений. В области, представляю щей практический интерес, формулы (11.24) и (11.25) хорошо согласуются между собой: кроме того, в частности, при Л/<с7\ h> 1 формула (11.25) удобнее для расчетов, чем (11.24). Для очень малых вероятностей рЕ и рл удовлетворительный резуль тат дает формула
Pe^HpE+hpA. (11.26)
График рис. 11.8 позволяет определить максимальную ошибку, которую дает формула (11.26) в наиболее неблагоприятном случае h= 1, Я =1. До значений вероятности угрозы менее 10~2
Риск |
173 |
ошибка не превышает 1%. Для определения ра в более широ кой области используют номограмму рис. 11.9.
Из точки на оси абсцисс, соответствующей вероятности рЕ угрозы, восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой, соответствующей числу Н попаданий в опасную зону, и для точки пересечения берут отсчет I по правой вспомогательной шкале на оси ординат. Аналогичным образом для известных величин вероятности попадания в опасную зону рл и числа угрожающих событий h получают на вспомогательной шкале
0,3- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i — |
|
|
Ар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1f |
|
|
г 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
Рв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
t ~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----- 1L — |
|
|
|
||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
(Г |
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
- — ■ |
|
|
|
|
|||||
2 |
3 |
4 |
5 678 |
10"г |
2 |
3 |
4 |
5 67 8 10"' |
2 |
3 |
4 |
5 6 7 8 |
10° |
2 |
|
Рис. 11.8. Максимальная ошибка приближения по формуле (11.26). |
|
||||||||||||||
отсчет II. Сложение обоих отрезков на ординате III дает свя |
|||||||||||||||
занную с |
неблагоприятными |
событиями |
вероятность |
угрозы, |
|||||||||||
считываемую по левой шкале.
Дополнительно нужно указать, что формулы (11.25) и (11.26) представляют в большей или меньшей степени грубые прибли жения к (11.24). Так, например, случай рЕ—0, т = 0 приводит согласно (11.25) к парадоксальному результату pG= 1. Также для т = п= 1 из (11.25) следует соотношение
рс=Р(Л и£),
тогда как опасность возможна только в случае А[\Е/0.
11.5. Неоднократный риск
Если риск характеризуется случайной величиной R, завися щей от случайных значений х и у, соответствующих нагрузке и несущей способности, то среднее значение Ro величины R
174 |
Глава 11 |
ций.
(см. (11.17)) еще не полностью описывает связанную с риском ситуацию. В отдельных случаях может реализоваться более высокая величина риска. Суммарный риск в длинном ряду реализующихся w раз рискованных ситуаций оценивают средним значением
R(w) = — (RI + R 2+ . . . + R w), |
(11.27) |
W |
|
причем здесь до случайные величины Ru R2, . . . . Rw независи мы и распределены так же, как R, и при неограниченно увели-
Риск |
175 |
чивающемся w значение R(w) стабилизируется около R0. При меньших значениях w для некоторой данной^ вероятности ошиб
ки а можно рассчитать интервал [#(a)(o>), /?<“>(а;)], в который случайная величина R(w) попадает с вероятностью 1—а:
P(R (w )e[#<a>(w), RW(w)]) = l — a. |
(11.28) |
|
Для определения зависящих от ш и а |
пределов риска R(w) — |
|
причем прежде всего важен верхний |
предел R (a)(w)— необхо |
|
димо по распределению R рассчитать |
распределение R(w). |
|
Для получения распределения плотности вероятностей g(r)
риска R используем формулу |
|
г(х) = $ a(x,y)fY(y)dy. |
(11.29) |
#■=—00 |
|
В отличие от (11.18) ограничимся здесь важным для практики случаем, в котором риск наступает, когда нагрузка начинает превышать несущую способность. Величина г(х) означает здесь среднюю величину ущерба, когда для несущей способности имеет место плотность вероятности /к, а нагрузка принимает определенное значение х, причем у ^ х . Применяя символику теории вероятности, можно написать г(х) = Е (Л |У <*). Здесь А=а(Х, У)— случайные значения штрафной функции а(х,у) в зависимости от случайных величин X и У для нагрузки и не сущей способности, а символ Е(Л|У<х) означает математиче ское ожидание А при условии У<х. Безусловное (абсолютное) среднее значение ущерба получается путем усреднения по плот ности нагрузки fx и равно
H( R )= E ( A ) = +1 I a(x,y)fy(y)fx(x)dydx. (11.30)
Х=~оо у=—оо
Рассматривая функцию х-+г(х) в соответствии с формулой (11.29) в зависимости от случайной нагрузки X, получаем не посредственно r(X)=R. Можно исходить из того, что х-*-а(х,у) для определенного у является строго монотонной возрастающей функцией, откуда следует то же свойство для функции л:-*г(х). Соответственно существует монотонно возрастающая обратная функция г-*-х(г). Если, далее, предположить, что функция х-*-г(х) дифференцируема (причем здесь достаточно существо вания частной производной функции а(х,у) по х), то по из вестным формулам теории вероятности для плотности вероят ности g (г) случайной величины R получаем
g(r) = [fx(x(r))]/[r'(x(r))]. |
(11.31) |
Случайная величина R представляет, таким образом, слу чайное среднее значение ущерба в результате события X^Y;. среднее значение этой величины равно Ro■
176 Глава 11
Плотность вероятности р gw (г) |
определяемого |
формулой |
|
(11.31) среднего риска |
при |
числе реализаций |
w получа |
ется по формуле свертки: |
|
|
|
4 -0 0 |
ga,_i(tt>0 — v)g(v)dv, w> 2. |
(11.32) |
|
gw(r)=W $ |
|||
— oo |
|
|
|
Для унификации обозначений будем считать, что одиночной рискованной ситуации соответствует w= 1. Среднее значение случайных величин риска R(w) для всех до = 1, 2, ... равно то му же значению Ro и по закону больших чисел при неограни ченном росте w распределения R(w) концентрируются вокруг
Рис. 11.0. Функция плотности вероятностей среднего риска.
Ro (см. рис. 11.10), так что в пределе получается вырожденное распределение в виде б-функции Дирака при R = Ro.
Зная плотность вероятности gw, можно теперь количествен но оценить вероятность возможных значений риска R(w) при числе реализаций <о. Так, например, для симметричного ин тервала вокруг среднего значения R0 границы интервала
£<“>(w)=R0—Го, /?<0) (w) =R0 + ro определяются уравнением
/?0+г0
$ gw{r)dr= 1 — а,
До—го
где а — заданная вероятность ошибки. Часто на основе рас пределений для нагрузки и несущей способности, а также для штрафной функции получаются однозначные границы RMин и /?макс возможных значений риска R(w) :
R ( w ) < = [ R мин, /?макс] • |
(11.33) |
Рис. 11.10 соответствует такой ситуации.
Риск |
177 |
Формула
^мако
в = S gw (г) dr (11.34)
"гw(а)
устанавливает связь между вероятностью и значением г»(а), причем при амсратной реализации случайная величина R(w)
по меньшей мере равна г (а). Эту вероятность можно также воспринимать как готовность к риску. Для достижимой на прак тике точности оценки штрафной функции и соответствующих плотностей представляются оправданными значения а до 0,1.
Показанная на рис. 11.10 пунктиром кривая, соответствующая определенному заданному значению а, имеет точки пересечения с кривыми плотности вероятности для различных чисел реали
зации w ; абсциссы этих точек дают на оси г значения rw(а). Если теперь использовать соответствующие определенному а
значения rw(a), зависящие от ад, в качестве основы для при
нятия решения, то нужно каждый раз выбирать такие вариан ты, для которых значения rw(а ) наименьшие.
Рис. 11.11. Зависимость величины риска от числа реализаций.
г ^ ( а ) 1 — в ар и ан т /; г ^ ( а ) 2 — в ар и ан т 2.
На рис. 11.11 показан ход функции гш(а) для двух вариан тов решения. При этом вариант 1 соответствует минимаксному,
а вариант |
2 — байесовскому критериям решения. |
Из |
рисунка |
||||
видно, что при w^Wo |
следует |
выбрать |
вариант |
/, |
а |
при |
|
ад^адо — вариант 2. |
вероятности g w по формуле |
свертки |
мо |
||||
Расчет |
плотностей |
||||||
жет оказаться слишком трудоемким делом. Нередко |
удается |
||||||
упростить |
расчеты с |
помощью функциональных преобразова |
|||||
ний. Для |
непрерывных функций |
плотности |
вычисления произ- |
||||
12— 152
178 |
Глава 11 |
водят с помощью преобразования Лапласа в четыре этапа:
S(I) |
S(2) |
S(3) |
S(4) |
|
6 (г) |
G(p) =*- Gw(p) =► Gw |
=> gw(r). |
|
|
Символы преобразований здесь означают: |
Лапласа; |
S(2) — |
||
S (l ) — L{g(r)}— прямое |
преобразование |
|||
ш-кратная свертка; S( 3) — преобразование |
координат; |
S(4) — |
||
L~1{GW(p/w)}— обратное |
преобразование Лапласа. Необходи |
мое на этапе S(l) преобразование Лапласа |
|
G{p) |
= $ e-p'g (г) dr |
|
о |
для широкого класса функций g(r) можно осуществить, поль зуясь справочными таблицами; то же справедливо и для обрат ного преобразования. На этапе 5 (2) выявляется выгода про веденного преобразования Лапласа: ш-кратная свертка заме няется просто возведением в степень (с показателем ш). На этапе S(3) требуется только замена р на p/w.
Для примера проследим ход преобразований для нормаль ного распределения N(0,a2) с плотностью распределения
_1__ —г2/202 g(x) - оУ2я е
где
|
|
1 |
_ г2/2<т2 5(1) |
(ар)2/г |
5(2) |
|
|
|
оУ2я |
в |
= |
==>- |
|
|
|
|
|
ft |
||
|
|
|
|
|
|
|
5(2) |
w(op)*/2 |
= |
S(3) |
|
|
|
= ==> е |
= |
|
|
|
||
что соответствует известному факту, что ш-кратная свертка нормального распределения N(0, о2) по формуле (11.27) при водит к нормальному распределению N (0, o2/w).
Для часто встречающегося экспоненциального распределе ния с плотностью вероятности
g(r)=Xe-r, К>0
отдельные этапы преобразования выглядят так:
S(l) |
_ Х ___ |
5(2) |
Xw |
5(3) |
|
Р + Х |
|
( p + X ) w |
■lg—wXr |
5(3) |
( w X ) v |
5 (4) |
( w X ) v>r x |
(p+w\) |
( w — 1)1 |
Риск |
179 |
Если имеются дискретные распределения с постоянным шагом Аг, т. е. так называемые решеточные распределения с постоян ной решетки Аг, то можно с успехом применить г-преобразова- ние. Будем исходить из дискретного распределения величин (xk)
и соответствующих вероятностей (р*), k=0, 1, 2, |
при этом |
разность xk+i—Xk для всех рассматриваемых k |
постоянна и |
равна А, а последовательность k может быть конечной или бес конечной (случай конечного или бесконечного дискретного рас пределения). Не вдаваясь в подробности, примем х0=0. Затем образуем функцию
F(z) : =Po+p\srl+p2z -2+ ..., |
(11.35) |
представляющую собой так называемое ^-преобразование z{pk). Тогда возведение в степень w даст
Fw(z) = :pw0+pw1z ' l+ pa2z-2+ ..., |
(11.36) |
т. е. ш-кратную свертку исходного распределения в точках (х^ при Xk+i—xk = A и xo = v с соответствующими вероятностями (Pwk), k = 0, 1, ...
Рис. 11.12. Риск с нерешеточным распределением.
Таким образом, г-преобразование |
осуществляется |
по сле |
||
дующим этапам: |
|
|
|
|
5(1) |
5(2) |
5(3) |
(P w k ), |
|
(pk) => F(z) =►Fw(z) |
=> |
|
||
где 5(1)— проведение |
2 -преобразования |
по формуле |
(11.35); |
|
5(2) — до-кратяая свертка по формуле (11.36); 5(3) — обратное
преобразование |
гг1{)*'"'(2))» т. |
е. |
извлечение вероятностей |
Pwk из (11.35). |
|
|
|
Заметим, что показатель кратности свертки до при принятых |
|||
выше обозначениях устанавливается |
таким, чтобы исходное |
||
распределение |
соответствовало |
до = 1. |
Если имеется дискретное |
решеточное распределение с п эквидистантными значениями х0,
12*
180 |
Глава 11 |
Xu . . . , *п> то для показателя кратности свертки w получается решеточное же распределение с 1 + до(л— l) —:Nw значениями. Это дает для математического ожидания Mw и соответственно дисперсии S*2 следующие выражения:
1 |
1 |
|
Мт = ——2 Xkpwki S 2W= |
2 |
Л1да) 2pwk- |
Расчет Mw и Sw2 можно произвести с помощью известных со отношений теории вероятностей, исходя из среднего значения Mt и дисперсии Si2 для исходного распределения, характеризую щегося значением до=1:
MW=M,; S2w=wSi2. (11.38) Продемонстрируем применение z-преобразования к распреде
лению Пуассона: |
|
к\ |
х> 0 > * - 0 , 1 , 2 , . . . |
|
Это дискретное распределение с параметром Я>0, определен ное на бесконечной области значений неотрицательных дейст вительных чисел и характеризующееся средним значением Afi=Я и дисперсией Si2= i .
Три этапа z-преобразования
е-хх* |
so) , w ап» . |
_ (х*)* |
—— |
=> е~уе^г =>■ |
I1 * ) =»■ e~Xw— г---- |
k \ |
|
k \ |
приводят к распределению Пуассона с параметром %w, кото рое обладает средним значением Мш=Я,ш и дисперсией Sw2 = =А,до. Z-преобразование в принципе применимо также к дис кретным нерешеточным распределениям. Используя нормирую щий множитель Д £ (см. рис. 11.12), образуем z-функцию:
F(z)=piz '■A^ + p2z |
(11.40) |
где рк — вероятности величин риска /?*. При до реализациях образуется до-я степень:
откуда путем расчета, аналогичного проводившемуся выше для случая эквидистантной решетки, можно получить соответствую щие вероятности риска.
12
М Н ОГОЦЕЛЕВЫ Е РЕШ ЕНИ Я
Эта глава дает самое первое введение в проблематику при нятия многоцелевых решений. Читателям, подробнее интересую щимся этим, еще и в настоящее время интенсивно развиваю щимся направлением теории принятия решений, можно указать дополнительную литературу, причем книги Пешеля и Риделя (1976) и Эстера (1987) ориентированы в основном на технику, тогда как работы Фурукавы (1982), Клетцера (1978), Хенига (1983) и Уайта (1980) в большей мере посвящены математиче ским основам.
12.1. Общие положения
Рассматривавшиеся до сих пор цели были простыми; их можно было охарактеризовать одной величиной, пригодной для описания системы или процесса. Если имеется множество целей, которые, тем не менее, могут быть измерены в одинаковых еди ницах, то можно естественным путем отыскать единую резуль тирующую цель. Однако часто представляют интерес такие множества целей, элементы которых не могут быть выражены единообразно. В разд. 9.1 приводился такой пример.
Многомерные цели могут находиться друг с другом в следую щих отношениях:
1. Цели взаимно нейтральны. Система или процесс могут применительно к отдельным целям характеризоваться и рас сматриваться независимо.
2. Цели кооперируются. Здесь, как правило, систему или процесс удается рассматривать применительно к одной цели,
аостальные достигаются одновременно.
3.Цели конкурируют. В этом случае одной из целей можно достигнуть лишь за счет другой.
Если цели частично нейтральны, частично кооперированы, а частично конкурируют между собой, то задача формулируется таким образом, что нужно принимать во внимание только кон