книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений
..pdfРис. 111.17. Кинематическая схема
а — направления координатных осей и траектория перемещений - s; б — главная ось наибольшего напряжения о\ и площадки скольжения; 1 л 2 — соответственно первое и второе семейства линий скольжения
Обозначим через их, иу проекции на оси х, у полного пере мещения точки AfI (рис. III. 17, а) области £2 за время /, а через vXl vtJ соответствующие скорости. Поскольку рассматривается процесс плоского пластического течения, то скорости предполага ются либо постоянными, либо пропорциональными некоторой функции времени, например скорости смещения части границы области Q. За время t точка Mi переместится в точку Mi, М2 в' М2 и т. д. На фотографии, полученной с помощью фотофикса ции, увидим кривую s, а векторы полных перемещений будут направлены по касательной к ней. Следовательно, для кривой s
t g o = А у / д х = U y / U x = V y . ( v x t. |
( T IL 1 6 2 ) |
откуда получаем
0 = $(»»/*.) dJf- |
(111.163) |
Уравнение линий скольжения, полученное из условия коак сиальности полей напряжений и деформаций, выполняющегося
Г5Т
при наличии пластического потенциала [18, 23], выводится сле дующим образом. Обозначим
<Гх — |
_ ех — ц _ |
[дУх/дх) — (дУу/ду) _ |
(III.164) |
2тху |
2уху |
(dvx/dy) + {dvy/dх) |
1' |
где а,, оу, тху — компоненты напряжений; гх. и уху — компоненты скоростей деформаций. |
|||
Следуя формулам преобразования, данным в работе |
[43], |
||||||||
имеем: |
|
Ох = |
о (1 + |
sin <р cos 24*)— с ctg ф; |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
Оу = |
о (1 — |
sin ф cos 24*)— с ctg ф ; |
|
|
|||
|
|
тХу = |
о sin v sin 24?; |
► |
|
(III. 165) |
|||
|
|
о = |
f a |
+ Оу)/2 + |
с ctg ф; |
|
|
||
|
|
т = |
|/{ох — оУУ + |
4тхУ/2; |
|
|
|||
|
|
е, = |
е -f- Y cos 2XV; |
|
|
|
|
||
|
|
iy = |
e — 7 cos 24r; |
|
|
(Ш.166) |
|||
|
|
У ху = |
v sin 2W ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
V = |
V(ёх — iy f + |
4 ^ у/2, |
|
|
|||
где V — угол между осью х и главной осью. |
|
|
|
|
|||||
Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z i= c t g 2 V . |
|
(III. 167) |
||
Уравнение |
первого |
семейства |
линий скольжения |
[42] |
будет |
||||
(рис. III.17, б) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ! £ s s t g a i = ’tg(''P |
+ J L _ JL) = |
cos ф — sin ф + }/1 |
+ Z? |
(HI. 168) |
|||||
dx |
' |
\ |
|
4 |
2 J |
|
зт ф Ч -2 |С 0 8 ф |
|
|
Окончательное уравнение рассматриваемого семейства линий скольжения или характеристик поля напряжений через скорости получим в следующем виде:
с |
( й * + |
cos ф - (й£х _ |
д\)> |
sin ф + л / ( ^ . + |
i i s y + f $ S t _ |
* k Y |
||
v - y |
dy |
Ь*} |
|
у V ду ^ |
dxJ |
дх |
д у ' у |
|
|
|
( d v x . даЛ |
. |
x ( d v x |
|
. |
|
|
|
|
+ ~дх' Sm Ф + ' а* |
~~ ~ду' C° S Ф |
|
|
|||
|
|
|
X |
dx. |
|
|
(III. 169) |
|
Очевидно, что уравнения (III.163) и (III.169) существенно отличаются друг от друга. Авторы работ [9, 15] и других тракто вали линии, получающиеся при фотофиксации, как линии сколь жения, т. е. линии, описываемые уравнением (III. 169), в то время как их следует считать линиями, описываемыми уравнением (III.164). Проиллюстрируем сказанное примерами. Сначала рас смотрим плоскую деформацию грунтового параллелепипеда, грунт которого находится в состоянии предельного равновесия. Этот параллелепипед (рис. III. 18) деформируется таким образом, что верхнее сечение его смещается в рассматриваемый период времени t на величину их = vxt, а поперечный размер за это же
152
Рис. III.18. Сжимаемый предельно напряженный параллелепипед
а — линии скольжения; б — траектории перемещений; / и 2 — семейства линий скольжения
время увеличивается на 2Uy. Поскольку ось х совпадает по направлению с наибольшим главным напряжением cri, то = 0. Линии скольжения, как известно из работы [18], в данном случае
составляют с осью х углы i p |
= ± (л/4 |
— <р/2), причем верхний |
||
знак |
относится к первому |
семейству, |
нижний — ко |
второму. |
Если |
предположить, что потенциал пластичности / \ |
равный в |
||
предельном состоянии нулю, совпадает с условием прочности, т. е.
исходить из того, |
|
как это принято в работах |
[18, 54], |
|
|||||||||
у / (ох - |
Oyf + |
4тхУ- |
у |
(аж + Оу) sin q> - |
с cos <p = |
т - |
а sin <p, |
(III.170) |
|||||
то получим |
при ¥ |
= 0 и, следовательно, тХу = |
0: |
|
|
||||||||
|
дих |
• |
^ d F |
|
^ 1 — sin ф |
|
|
|
|
|
|||
|
дх |
* |
дох |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 ( dvy |
<?Уж^ |
• |
^ |
dF |
л. |
|
|
|
(III. 171) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
дау |
= |
---- ^- (1 |
-|- |
sin <р), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где X;> 0 — коэффициент пропорциональности. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из формул (III. 171) для рассматриваемой задачи при гранич |
|||||||||||||
ных условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) * = = //; |
|
|
2) |
JC= |
0; |
Ux = |
0; |
3) |
|/ = 0; |
uy = |
0, |
(III.172) |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx = |
п ; |
vy = — v°x |
1 + |
sin <р |
у |
|
|
(III.173) |
||
|
|
|
1 — sin ф Н |
|
|
||||||||
Если принять пластический потенциал в форме условия прочности, получаем, что увеличение объема предельно напряжен ной сыпучей среды при сдвиге пропорционально sin <р [54]. Пластический потенциал определяет собой «дилатантность» среды — изменение ее объема при сдвиге.
153
Подстановка формул (III.173) в уравнение (III. 169) дает уравнение первого семейства линий скольжения:
y = x t g (я /4 - <р/2) + С = X tg и + С. |
(III.174) |
Для траекторий из формулы |
(III.163) имеем |
|
||
йу _ |
у |
1 + sin ф |
(III. 175) |
|
djf |
х |
1 — sin ф * |
||
|
||||
откуда |
|
1 + sin ф |
|
|
у = С г х |
(Ш . 176) |
|||
|
||||
Постоянная С\ определяется из условия, при котором рассматриваемая кривая проходит через точку с координатами *о, |/о, что дает
1 |
+ sin ф |
У = уо(х/хо) |
(III.177) |
т. е. уравнение семейства гипербол. Таким образом, на фото снимке должны были бы быть видны гиперболы (IIIЛ76) (см. рис. III.18, б), а не линии скольжения (III. 174) (см. рис. III.18, а),
которые в данном случае не совпадают с траекториями. Последнее хорошо подтверждается результатами эксперимен
тов, проведенных Иосселин де Йонгом с помощью фотофиксации [32], который получил при съемке деформации песчаного блока размером 60X 60X 15 см линии, весьма похожие на гиперболы.
Из теории пластического потенциала, принятого в форме условия прочности, следует, что дополнительная работа при дви жении по поверхности текучести идеально сыпучего грунта
равна пулю [23]. Если вводится потенциал, |
описываемый за |
||||
висимостью (III.170), то получим: |
|
||||
ё = |
% dF |
1 |
|
(III.178) |
|
у |
— |
= у ( е « + ё „ ) -------Y sin ф; |
|||
У= |
у |
| ^ |
= у |
/ 0 * — %)2 + 4ЦУ. |
(Ш.179) |
Пользуясь соотношениями |
(III. 166), можно получить измене |
||||
ние скоростей деформации по любому направлению. Эти соотно шения иллюстрируются построенной для скоростей деформации диаграммой Мора (рис. III.19), из которой видно, что вдоль линий
скольжения |
отсутствует изменение |
скоростей |
# деформаций |
||
(ё„ = 0), а |
также, |
что деформация |
расширения |
ёз |
больше по |
абсолютной величине деформации сжатия ё| (ё < |
0) |
и, следова |
|||
тельно, среда увеличивается в объеме |
[54]. |
|
|
||
Эксперименты с |
песком показывают (Строганов, 1965), |
||||
что наблюдаемая дилатансия обычно значительно меньше, чем следует из зависимости (III.178), причем она является функци ей начальной пористости песка, увеличиваясь с ее уменьшением. Существует понятие критической пористости, близкой,, как пока-
154
Рис. 111.19.' Круг М ора для |
скоростей |
деформации (V — я /4 — <р/2 = |
це) |
зывает ряд экспериментов, по значению к максимальной по ристости, при которой сдвиг происходит без изменения объема. Однако, если принять потенциал в форме (III. 170), то отсут ствию при сдвиге изменения объема отвечало бы нулевое значение угла внутреннего трения ф.
В связи с этим для |
случая |
плоской деформации (для |
пространственного случая |
вопрос |
о пластическом потенциале |
требует специального обсуждения) |
целесообразно пластический |
|
потенциал записать в следующем виде:
|
Fi = Y |
V(as — Oyf + 4тЧу — у |
(<*ж + Оу) sin (ф — ф*) — |
||||
|
|
|
—с ctg Ф sin (ф — ф*) = |
т — a sin (ф — ф*), |
(III. 180) |
||
где <р* — угол |
внутреннего трения, отвечающий состоянию критической пористости. |
||||||
Тогда полученные ранее формулы (III.166), (III.171), |
|||||||
(III.173), (III.175) — (III.177) сохранятся, |
если вместо ф подста |
||||||
вить в |
них |
ф — ф *. Соответственно |
в |
диаграмме |
Мора для |
||
деформаций |
(см. рис. III.19) вместо ф следует |
подставить |
|||||
Ф— ф* |
Тогда |
скорости удлинения |
вдоль линий |
скольжения |
|||
уже не будут равными нулю, как в случае пластического
потенциала |
[см., формулу (III.170)]. Действительно, из формул |
|||
(III.166), (lfl.171), |
(III.180) и рис. III.17, б получим: |
|||
|
= |
ел = |
— [cos 2Ч/ — sin (ф — ф*)]; ^ |
|
|
dsn |
|
2 |
|
|
|
|
> |
(III.181) |
|
4' = 4 = ( f - f - ) = Tt‘ |
|
||
или |
dt)n |
А» _ _ |
|
|
|
(III. 182) |
|||
|
|
= |
у 1>1Пф — sin (ф — ф*)]. |
|
Нерастяжимыми оказываются линии, составляющие с главной |
||||
осью углы |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IU.18S) |
Формула |
(III. 182) определяет относительную |
деформацию |
||
вдоль линии |
скольжения. Мощность диссипации |
механической |
||
1'55
энергии при потенциале (III.180) в предельном случае
D = ту - f аё *= уа [sin ср — sin (ф — ф*)] = |
у {[sin ф — |
— sin (ф — ф*)] (ох + ау)/2 -Ь с [cos ф — sin ( ф |
— ф*) ctg ф]}. (III.184) |
Следовательно, она является линейной функцией суммы главных напряжений и равна нулю лишь при ф* = 0.
Обратимся ко второй задаче.— о движении предельно напря женного грунта по недеформируёмой границе. Эта задача имеет непосредственное отношение к рассмотрению зоны максималь ного предельного состояния — зоны Ренкина. Грунтовой клин буДем считать смещающимся вдоль границы АВ (рис. III.20), кото рая является линией скольжения, а .следовательно, оси ху у — главные. Оси х \ у' направлены соответственно вдоль линии сколь жения и в перпендикулярном ей направлении. По формулам (III.181) имеем:
- = у [sin ф — sin (ф — ф * )];
4r = iL _ ± .
4 |
2 ’ |
(III.185)
= - у [sin Ф + sin (ф — ф * );
4 |
2 * |
Исходя ИЗ ТОГО, ЧТО
в = |
у |
(ex' + |
еУ') = |
—X sin (ф — ф*) = —у sin (ф — ф*) = |
|
= |
— У |
V(«V — i y f 4- *Й у sin (ф — ф*); |
(III.186) |
||
|
|
2 4 |
ду' |
дх' ' |
|
и, принимая dvy’fdx' = 0, по [18] получим
Ух'у1= |
cos ф. |
(III.187) |
В дальнейшем воспользуемся в формуле (III,187) верхним знаком и, интегрируя выражения (III.185)— (III.187), получим с учетом условий на границе [32]:
|
IV = |
X [sin ф — sin (ф — ф*)] х' — 2Ху' cos ф + |
vi/cos а ;\ |
(Ш .188) |
|
Vy = |
X [sin ф + sin (ф — ф*)] у \ |
У |
|
где |
— компонента скорости смещения начала координат |
(ic = // = 0) |
вдоль оси х. |
|
Переход к системе координат х, у осуществляется по фор мулам:
Vx — |
IV cos а — iy sin а; |
х' = |
х cos а + у sin а; |
vy = |
vx>sin а + ty cos а; |
у' = |
(III .189) |
—х sin а + у cos а |
156
и дает окончательно:
V , = |
K{[1 — sin (ф — q>*)] х — у COS <р} + |
oS; |
(III.190) |
|
оу= |
Цясовф — у[1 + sin (<р — <р»)]} + |
о° tg ц. |
||
|
Определим уравнение линий, которые фотографируются с помощью метода фотофиксации, для чего воспользуемся зави симостью (III. 163):
йи |
v |
* 0 + s in < p ) [ .r - y - 1- ^ ' sln (q> Ф* П |
+ |
d* |
vx |
А. {дс [1 — sin (<p — ф*)] — у cos ф} + |
^ ^ |
На линии скольжения АВ, имеющей уравнение |
|||
|
|
y = x t g ji, |
(Ш. 192) |
получаем |
из уравнения (III. 191) |
|
|
|
|
(dy/dx)AB = igllf |
(III. 193) |
т. е. векторы направлены вдоль крайней линии скольжения, что и должно быть.
Уравнение (III.191) приводится к однородному уравнению, ин тегрирующемуся с помощью разделения переменных. Интеграл его для <р* Ф 0 следующий:
(л2 Ч- у2) cos у — 2ху — Ь (у — х tg ц) cos ф (*8+ r/o)cos ф— 2х0у0 — Ь(уо — Хо tg |i)cos у
Г |
(У ~~ х *g М’) (У° ~ *<> с*б М» |
1 |
2п»VJ — ot |
L |
(yo — xQtg\L)(y — x c tg fi — b) |
J |
|
где
0?_______2 tg <p_______
% sin (у — y*) — sin y
*o, yo — координаты точки, через которую проходит искомая траектория.
(ЦЫ94)
(III.195)
Случай |
ср* = |
0, рассматривавшийся |
в работах |
Соловьева |
||||
(1969) и Шилда |
[54], |
позволяет упростить уравнение (III. 191) |
||||||
и получить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
__ X (1 + |
sin <р)г (х tg (1 — y)/cos <р + |
о” |
(III. 196) |
|||
^ d x s f “ о |
• |
х cos ф (JCtg J1 — д ) + » х |
|
|||||
|
|
|||||||
интеграл этого уравнения |
|
|
|
|
|
|||
(1 + |
sin ф)(х — *о) — (у — yo) cos ф 4- Ц- In У |
tg ** = |
0. (III.197) |
|||||
|
|
|
|
|
* |
yo—JCotgl» |
|
|
Таким |
образом, |
линии, |
представляемые |
зависимостями |
||||
(III. 194) и |
(III. 197), |
кривые, |
причем кривизна их |
зависит от |
||||
дилатантности среды,-а также от соотношения X, и о$. Если принять Х = О (недеформируемость среды), получим, что среда смещается вдоль линии АВ как единое жесткое тело со скоростью о?/cos р. Если в формуле (III. 196) положить и2 = 0, получим (d(//djc),.=0 =
157
Рис. 111.20. К |
рассмотрению |
задачи Ренкнна |
(а = |
я / 4 — ф /2 = |
рг) |
Рис. 111.21. Траектории перемещений частиц в зоне Ренкнна при увеличивающемся влиянии жесткого поступательного смещения вправо всей области
= tg (|i + <р), т. е. случай наклона векторов скоростей, разобран
ный Шилдом |
[54]. Чем больше первые |
слагаемые |
числителя |
и знаменателя |
в зависимостях (111.191) и |
(III.196) |
по отноше |
нию к Vx, тем круче будут выходить на поверхность траектории перемещений. В зависимости от соотношения этих слагаемых могут быть получены различные картины перемещений (рис. III.21). Это соотношение определится из полного решения задачи о выпирании штампа.
Таким образом, искривление линий и выход их на поверх ность в зоне Ренкина под более крутым углом в опытах объясняется не только и, пожалуй, не столько трением о стеклян ную стенку экспериментального лотка, сколько тем, что траектория перемещений и площадка скольжения в одной и той же точке могут быть наклонены под различными углами к координатным осям.
При проводившемся здесь анализе считалось, что линия АВ неподвижна относительно наблюдателя. Если же она смещается параллельно себе в ходе опыта или поворачивается, то результат будет отличаться от полученного здесь. Для того чтобы учесть этот эффект, следует в выражения (III. 190) ввести компоненты ско ростей смещения линии АВ. Получив в опыте траектории перемещений и данные о величинах перемещений, представля ется возможным, основываясь на приведенных выше зависи
т е
Рнс. 111.22. Положение углов наклона площадок
мостях, построить и действительные линии скольжения. Изложен ные выше соображения позволяют записать по аналогии необ ходимые зависимости и для скоростей перемещений в полярных координатах.
Рассмотрим в заключение два |
вопроса — об отклонении воз |
|
можной реальной площадки скольжения от |
идеальной в связи |
|
с разбросом, встречающимся в |
значениях |
угла внутреннего |
трения ср в грунтах, и о возможной оценке проявления свойства дилатансии песчаного грунта.
Если грунт лишен сцепления, то следует воспользоваться формулами для нормальных сгл, ot и касательного тnt напряже ний [42] :
|
(III.198) |
причем |
|
О = <Тл —f- С7/ = СТ| + (J2 = СГх ”|“ Оу. |
(111.199) |
Далее вычислим велйчину tg сра, определяемую формулой
возможное отклонение от площадок скольжения, которое со ставляет с направлением наибольшего главного напряжения угол рс = я /4 — ф/2 (рис. III.22, а). Угол наклона площадки сколь жения первого семейства связан с cot (см. рис. III.8) зависимостью
(Х| =—со| -f Цс, |
(III.201) |
а второго семейства —
а ч = u)i — Нс. |
(111.202) |
159
Результаты сведем в табл. III.3, в которой взят диапазон
отклонения ± 5 °, |
ошибка в |
угле |
внутреннего |
трения состав |
ляет при ср = 30° |
не более |
34', |
а при ф = 40° |
не более 5Г |
Коэффициент Кг отклоняется не более чем на 3% от величин со ответствующих площадок скольжения. Из этого сопоставления вытекает, что незначительные отклонения угла внутреннего тре ния от главного его значения могут существенным образом повлиять на отклонения направления площадок скольжения. Действительно, грунт в силу сложения может обладать ани зотропными прочностными свойствами, причем они могут угол внутреннего трения сделать распределенным несколько хаотично. Поэтому и скольжение может происходить по площадкам, отличающимся по направлению от идеальных, отыскиваемых с помощью решения теории предельного равновесия сыпучей среды.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а III.3' |
ф° |
Ис |
|
Да? |
ф£, |
К2 |
|
|
35 |
- 5 |
9,842 |
0,984 |
10 |
40 |
40 |
0 |
1(L |
1 |
|
|
45 |
5 |
У851 |
0,985 |
|
|
30 |
- 5 |
19,662 |
0,982 |
20 |
35 |
35 |
0 |
20 |
1 |
|
|
40 |
5 |
19,702 |
0,984 |
|
|
25 |
- 5 |
29,441 |
0,978 |
30 |
30 |
30 |
0 |
30 |
1 |
|
|
35 |
5 |
29,543 |
0,982 |
40 |
|
20 |
- 5 |
39,145 |
0,970 |
25 |
25 |
0 |
40 |
1 |
|
|
|
30. |
5 |
39,363 |
0,978 |
В качестве иллюстрации рассмотрим грунт, обладающий углом внутреннего трения ф = 30° Угол отклонения равнодействующей от нормали, вычисленный по формуле (III.200), будет
sin 2tti
(111.203)
2 — cos 2си
Результаты расчета по этой формуле сведены в табл. III.4.
Эти результаты показаны на' рис. III.22, б. Таким образом получаем, что если будет происходить снижение прочности, т. е. угла ф с отклонением от идеальной площадки скольжения по указанной закономерности, то практически окажется равно вероятным скольжение по любому направлению. Скольжение
160