книги / Прикладная статистика

4.2.23. Показательнаяфункция

Отношение у)1уш*УЪ0% для некоторого момента вре­ мени { называют темпом прироста временного ряда. Если зна­ чения у(временного ряда есть значения показательной функции у} = М , то их темпы прироста постоянны н равны:

К 100% = ( « - |)х 100% .

оа

Поэтому» когда значения временного ряда имеют приблизи­ тельно одинаковые темпы прироста, для ряда подбирают показа­ тельный тренд. В качестве примера рассмотрим ряд из табл. 4.4. (душевое позрсблснис шерсти в США в 1950-1968 гг.).

Рассчитаем несколько темпов прироста. Пусть г - 1,9,12.

У" ~ Г|Ч |00% = 2,17~ 2>3° Ч00% = -5,7% .

Эти значения нс назовешь идеально совпадающими, но порис. 4.4 видно, что поведение рада не соответствует линейному трен­ ду, поэтому будем искать параметры показательной функции.

У равнение/^ = ЬЫприводится к линейному путем почлен­ ного логарифмирования.

Параметры линейного уравнения у }(() = а^+Ьу

81

График функции показан на рис, 4.4. Он почти нс отличает­ ся от прямой линии), что свидетельствует* возможно* о том, что тренд подобран нс слишком удачно. Зато трендовое значение при / = 19 (прогноз для 1969 г.) ><19) = 1,59 почти не отличается от реального .у,, = 1,54.

4.2.2.4* Исключение трендовой составляющей

Для изучения случайной составляющей временного ряда из него нужно удалить трендовую, сезонную и циклическую со­ ставляющие. После определения уравнения тренда его можно удалить из ряда, вычислив разности (остатки) у - у (0 или отно­ шения у/у(1)* 100% (процентные отклонения от тренда).

Нарис 4.7 и 4.8 показаны графики рядов остатков и процентных отклонений от тренда для ряда из табл, 4.2 (безработица в США).

Процентные отношения позволяют сравнить между собой амплитуды отклонений от тренда. Например, абсолютные зна­ чения остатков прл I = 0 и / = 14 почти равны (1,2 и -1,4 соот­ ветственно). Но в перлом случае остаток 1,3 означает отклоне­ ние от тренда на 54,5%, а во втором — только на 19%.

82

5

Из сказанного ясно, что число р точек должно быть нечет­ ным, иначе срсдЕгее арифметическое нужно отнести к дробному моменту времени. На практике, однако, нередки случаи, когда р удобно выбрать четным. Тогда вычисляют не простое среднее арифметическое, а с некоторыми весами. Например» если поло­ жить р=4, можно рассчитать МДак;

21 4

2у^г+ Ъ у л 2 у „ ±х у ш

8

Расчет скользящей средней ло четырем точкам свелся к рас­ чету со пяти точкам с набором весов (1,2,2,2,1).

Ряд скользящих средних гораздо более гладкий, чем исход­ ный, ведь отклонения исходного ряда усредняются. Поэтому скользящую среднюю можно считать одной из разновидностей тренда: сглаживал исходный ряд, она даст представление о тен­ денции поведения ряда.

4.2.3. Сезонные колебания и индексы сезонности

Говорят, что во временном ряде присутствует сезонная ком­ понента, если в нем наблюдается последовательность почти пов­ торяющихся циклов одинакового периода. В качестве примеров приведем рост объемов продаж в преддверии Рождества и Но­ вого года, сезонное падение цеп на сельхозпродукцию, всплески объемов перевозок пассажиров городским транспортом утром и в конце рабочего дня и т.п. Сезонная компонента часто присутс­ твует в экономических радах. Такую компоненту нужно уметь выделять н устранять из ряда, чтобы данные стали сравнимыми между собой. Но сначала из ряда необходимо удалить трендовую составляющую. Как правило, для рядов о сезонными колебани­ ями вычисляют взвешенную скользящую среднюю. Дело в тол»,

84

Скользящая средняя построена на рнс. 4.5.

Очистим ряд от тренда, рассчитав процессные отклонения (у,Д//)*100%. Эти отклонения распределим по годам и кварта­ лам (табл. 4.9),

Найдем средние значения отклонений от тренда для каждого квартала и всего временного ряда.

Обозначим эти числа у г уу уг уе и у соответственно.

86

Примем значение у за базовое. В среднем значения времен­ ного ряда почти нс отклоняются оттренда. Зато средние величи­ ны отклонении в 1 н 4 кварталах весьма велики. Они объясняют­ ся величинами сезонных эффектов.

Рассчитаем, сколько процентов от у составляют у г уг у г у г Эти величины называют индексами сезонности.

У100,03

у100,03

1* |Лй О

= 4 ^ x 1 0 0 % = - ^ 7 = 109,87% .

у100,03

Теперь можно удалить сезонную компоненту из временного ряда. Для этого каждое значение ряда делится на соответству­ ющий индекс сезонности, выраженный в долях. В нашем слу­ чае все значения первого квартала делятся на число 0,8997; все значения второго квартала — на число 1,0144; данные третьего квартала — на число 0,9972, а данные четвертого квартала нуж­ но поделить на 1,0987. Ряд, очищенный от сезонных колебаний, приведен в табл. 4.8. Эти числа почти нс отличаются от трендо­ вых значений. Можно сделать вывод, что собственно случайная компонента этого временного ряда невелика, а влияние сезон­ ных эффектов на величину отклонений от тренда нс меняется от года к году.

Если для этого временного ряда подобрать линейный тренд, его уравнение будет таким: у(0 = 0,278^ +14,86. Значения ин­ дексов сезонности, рассчитанные с применением этого уравне­ ния незначительно отличаются от только что найденных:

Я/, =89,04% , 31^ - 101,7%, ЗУ3 =99,44%, 31А =109,82%

87

Располагая уравнением тренда, можего оценить значения временного ряда в следующем году, скоррелировав трендовые значения на индексы сезонности. Прогноз получается таким:

у 2А =><24)х», = 21,53x0,8904 = 19,17;

725 =7(25)>$/2 = 21,81*1,017 = 22,18;

7 м =7(26)х^ /3 = 22,09 *0,9944 = 21,97;

727 = 7(2 = 22,37x1,0982 = 24,56.

В заключение отметим, что по самому определению индек­ сов сезонности их сумма равна 100А, где к — число сезонов, на хсторос делится выбранная единица времени (в нашем случае к = 4, год поделен на 4 квартала).

4 .3 . ЗА Д А Ч И

Для нижеприведенных временных рядов нужно выполнить следующие действия:

1.Представить ряд графически.

2.Подобрать подходящее уравнение тренда по методу на­ именьших квадратов или подходящую скользящую среднюю, если характер тренда неясен.

3.Удалить трендовую составляющую из временного ряда и построить график остатков.

4.Сравнить поведение ряда остатков индекса промышлен­ ного производства США (подъемы, спады, поворотные точки, где подъемы и спады сменяют друг друга н т.п.) с поведением остальных рядов остатков. Можно ли утверждать о существова­ нии закономерностей в поведении рядов?

Индекс прямышлейного производства в США

в 1В50-19В5 гг. (1977 г.= 100)

88

89

6.Мпдекспроизводительности труда оСША

в1950-1085 тт.<1977 г,= МО)

90