книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

f - f - } ^ ( 0 - ^ 5 5 r { [ l n 2 + W(n)p + 3[В Д + I n z i m ’Ü ) -

Ф'(»)] + W{n)} = A n,i{z).

Замечание. Применяя теорему сдвига (при а > 0 ) к выра­ жению (1), получаем

Этим соотношением воспользуемся ниже.

п. 2. Функции с неинтегрируемыми степенными особен­ ностями в произвольной точке. Очевидно, (ЕеЯ>—1):

а

0

Так как изображение Ф(а, Я, z) аналитично для всех к ф —1,

—2 , ... (в точках к = —1, —2 , ... эта функция имеет про­ стые полюсы), то аналитическим продолжением соответст­ вия (4) по к имеем уже для всех к ф —1, —2 , ...

Аналогичным приемом, изложенным в § 1, разложим функцию Ф(а, Я, г) в ряд Лорана по степеням к + п . В резуль­ тате получим

Домножая теперь обе пасти (1.22) на произведение еди­ ничных функций, получим

здесь и ниже ln(f—a) понимается в смысле главного значе­ ния

n. 3. Регуляризация некоторых расходящихся интегра­ лов. В силу обобщенного интеграла Лапласа — Карсона со­ ответствие (9) принимает вид

(при л= 1 второе слагаемое в (7) должно быть положено рав­ ным нулю).

Переходя к пределу в обеих частях (15) при z-*-+ оо, по­ лучаем

Совершенно аналогично с помощью соответствия (10) вычисляются следующие регуляризованные значения инте­ гралов:

Замечание. Равенства (18) и (19) тажже могут быть по­ лучены из (16) и .(17) соответствующей заменой переменных интегрирования, причем при выводе (18) необходимо учесть второе из равенств (12).

Таким образом, показано, что функции, обладающие неинтегрируемыми степенными и логарифмическими особенно­ стями, имеют в качестве изображений определенные анали­ тические функции и, следовательно, упомянутые функции содержатся в пространстве о. о. Попутно получена регуля­ ризация некоторых расходящихся интегралов.

Как известно, понятие конечной части расходящегося интеграла было впервые введено Коши [132], назвавшим его «необычным интегра­ лом». Он также указал на возможность дифференцирования и интегри­ рования по параметру таких интегралов. Конечная часть расходящегося интеграла была использована в теории дифференциальных уравнений к частных производных Р. Адемаром [114].

Однако большая заслуга принадлежит Ж. Адамару [157, 158], который не только изучил свойства введенного им независимо от Коши понятия конечной части, но и, распространив эту концепцию на кратные интегралы, применил эти понятия для решения задачи Коши уравнения гиперболического типа второго порядка. Обобщение его идеи было осуществлено Ван-дер-Корпутом [218].

Впоследствии появился ряд работ, где упомянутая концепция была исследована с различных точек зрения. Так, в теории распределений Шварца [202] конечная часть трактуется как разновидность псевдофунк­ ции и играет связующую роль между обычными функциями и распреде­ лениями.

Понятия конечной части и логарифмической части расходящихся интегралов были применены к решению задачи Коши для уравнений вто­ рого порядка всех трех типов и системы уравнений в частных производ­ ных в работе [128].

Лавуан [172, 173] и Рюхе [192] с помощью понятия конечной части расширили операционное исчисление.

Джилли [153—155] использовал понятие конечной части для регу­ ляризации степенных особенностей любого отрицательного, но нецелогопорядка при обобщении преобразования Лапласа.

Следует также указать на исследование Бохме [126], где дана регу­ ляризация особенностей типа {£*1п£}, здесь г может быть любым, в том числе целым отрицательным числом. При этом он опирается на работу Бутсера [129], в которой операторное исчисление Микусинского [76]

Г л а в а 5

ЧИСЛЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДАМИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ниже речь будет идти о приближенном (численном) ре­ шении интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(1 )

0

где F(p) — заданная функция; /(f) — искомая функция. Известно [54, 64, 120], что указанная задача относится

к классу некорректных задач. Одной из существенных ха­ рактеристик этой некорректности является следующая осо­ бенность: сколь угодно малые погрешности, вносимые в вы­ числение значений функции F(p), могут существенно влиять на значения вычисляемой функции /(f). Этот факт можно проиллюстрировать следующим простым примером.

Пусть решается задача обращения (1). Известно,

Нетрудно видеть, что для любого е > 0 существует такое А, что при а > А х

Таким образом, изображения F(p) и i|)(p)=Г(Р) + рз_|_дг

численно отличаются друг от друга на величину, модуль которой не превышает е. Тогда как соответствующие им ори-

гиналы разнятся величиной |flsinaï [, которая при а > А характеризуется высокочастотными колебаниями.

Приведенный факт значительно затрудняет применение универсальных приемов, таких, как сведение уравнения (1) к системе алгебраических уравнений посредством исполь­ зования тех или иных квадратурных формул.

Отказ от подобных универсальных методов приводит к необходимости изучения отдельных специальных приемов, каждый из которых оказывается достаточно эффективным в определенном классе оригиналов. Все они, как правило, используют идею разложения изображений на сумму про­ стых компонентов, по каждой из которых можно точно вос­ становить оригинал.

Пусть изображение F{p) разлагается в сумму вида

Пусть далее известны оригиналы <pft(i), отвечающие изобра­ жениям Ф*Ср). Тогда ряд (2) порождает ряд

Естественно, при этом возникают вопросы:

а) в каких случаях и в какой топологии ряд (3) представ­ ляет оригинал /(t), отвечающий изображению F(p);

б) каким образом вычислить коэффициенты а* ряда (3) (или что то же ряда (2)).

Для задачи численного обращения важное значение также приобретает ответ на такие вопросы, как: скорость сходимости ряда (3); в каких случаях появляется возмож­ ность улучшить сходимость ряда (3); с какой точностью могут быть определены коэффициенты а к ; какова степень влияния точности вычисления коэффициентов а * на общее представление функции f(t) рядом (3).

Очевидно, что вид разложения (3) зависит от выбора функций Ф*(р). В данной главе используется простейшая ситуация, когда в качестве <p*(f) избираются функции Лагерра 9k (0 = e-t;2 L k (t). Таким образом, здесь ряды Лагерра выступают как аппарат численного обращения преобразо­ вания Лапласа. Для вычисления коэффициентов a*(fc=0, 1, 2,...) ряда Лагерра (называемых иногда лагерровским спектром) используются формулы, являющиеся аналогами формул тригонометрического интерполирования. Этот факт позволяет широко применять методы гармонического ана-

Периодичность по переменной s соотношений (1), (2) с периодом 2п и N соответственно позволяет установить связь коэффициентов a sn задач t r i,2, г с коэффициентами аа раз­ ложения /(г) в ряд Фурье

Соотношения (4) и (5) устанавливают связь между «дискрет­ ными» и «интегральными» коэффициентами Фурье и пред­ ставляют удобный аппарат для анализа вопросов точности тригонометрической аппроксимации.