книги / Механика композитных материалов. 1983, т. 19, 3

также использовать ряд (2) для решения, но неизвестные тензоры Ти определяются с помощью вариационного принципа.

3. Рассмотрим полиармированный композит, включения которого могут различатьсяи формой, и размерами. Пусть композит подвержен действию внешнего однородного поля а0. Требуется определить основ­ ные поля в матрице. Задача снова сводится к решению интегрального уравнения вида (1), но теперь с суммой интегралов по объему всех включений в характерном объеме

м

где Vm — области включений; М — их число в характерном объеме; [L'l™ — Lm L, Lrjn — упругие модули ш-го включения.

Разложение производной тензора Грина по мультиполям относи­ тельно точек Xi, x2 . .. x m — центров включений — позволяет получить решение в виде сходящегося для всех точек матрицы ряда [10]

образом, решение сводится к определению неизвестных T/t<rrl). Неизвест­ ные тензоры Tft<m) можно строить различными способами, но после их определения выражение (4) позволяет получить основные поля в мат­ рице. Этого вполне достаточно для вычисления эффективных постоян­ ных композита.

Не умаляя общности, эффективные характеристики будем искать в

о по объему матрицы и по характерному объему Соответственно, а с0— концентрация связующего. Пусть тензор В связывает средние напряже­ ния в матрице и средние напряжения в среде: а= В :< о > . Тогда, исполь­ зуя локальный закон Гука, получим

L* = Lj: [I —c0(L —Lj): L—1: В]—

т. е. если известны напряжения в матрице, то и эффективные упругие свойства композита будут полностью определены.

4. В первом приближении неизвестные тензоры ТУ™) можно опреде­ лить, например, из условий одночастичной задачи, т. е. из условия, что действие сосредоточенных мультиполей наилучшим образом аппрокси­ мирует основные поля вне включения в отсутствие других включений с сохранением ориентации по отношению к а0. Такое приближение в дальнейшем для краткости будем обозначать ММГ1 (мультиполярного метода приближение). ММП означает, что TVm) определяются для каж­ дого т независимо друг от друга. Взаимодействие включений при та­ ком подходе учитывается суммированием известных полей от каждой точечной особенности.

Заметим, что ММП соответствует первому шагу в обобщенном ал­ горитме Шварца, примененному в [И ] для решения плоских задач теории упругости с двумя и тремя включениями, а также приему, ис­ пользованному в [12] для определения дополнительной деформации от невзаимодействующих трещин при нахождении эффективных модулей среды с повреждениями. Аналогичное предположение принимается в работе [13] при определении постоянных однонаправленного компо­ зита, а также — в [14].

Для тензора напряжений в матрице композита с однонаправлен­ ными круговыми волокнами радиусов Rm в случае поперечного одно­

и ли З —4-v (плоская деформация).

Для тензора напряжения в матрице композита с произвольными сферическими включениями, подверженного действию внешнего одно­ родного поля а0, аналогично можно получить

ние напряжений в матрице полиармированных композитов с разнове­ ликими круговыми включениями при произвольной их концентрации и положении в пространстве для любого однородного поля а0.

Для определения области применимости ММП сравним результаты расчетов по ММП с точным решением для регулярных [15] и нерегу­ лярных структур. В последнем случае данные получены автором мето­ дом фотоупругости на моделях нерегулярных композитов (рис. 2).

В табл. 1 приведены коэффициенты концентрации напряжений ох (числители) в двух характерных точках регулярных структур для раз­ личной плотности расположения жестких включений К при одноосном растяжении в направлении оси х. Через А обозначена точка, лежащая посередине горизонтального отрезка, соединяющего центры двух сосед­ них включений, а через В — точка, в которой этот отрезок пересекает границу раздела фаз. В знаменателях — данные [15]. Табл. 2 содер­ жит соответствующие результаты для нерегулярных композитов при растяжении вдоль вертикальной оси. В знаменателях указаны значения, определенные методом фотоупругости. Согласно представленным дан­ ным с помощью ММП получены неплохие результаты даже для такой чуткой характеристики, как коэффициенты концентрации напряжений.

В табл. 3 даны коэффициенты концентрации напряжений в харак­ терных точках композитов с кубической решеткой жестких сферических включений, вычисленные по формулам (7) при М = 27. Плотность рас­ положения включений выражалась безразмерным параметром А = 2R/a (а — расстояние между включениями). Положение точек задано в сфе­ рических координатах. Напомним, что до настоящего времени в лите­ ратуре отсутствовали данные о распределении напряжений в подобных композитах.

Рис. 2. Модели композитов с нерегулярной структу­ рой: К- 0 , 4 (а); - 0 , 9 (б).

действуют в матрице между включениями, Это показывает, что для оценки прочности композитов недостаточно располагать только данными о концентрации напряжений на включениях. Необходимо знать картину распределения напряжений в целом.

5. Вычисление эффективных характеристик для регулярных струк­ тур показало, что ММП приводит к удовлетворительным результатам во всех случаях, а часто — к очень хорошему совпадению с точными данными. Это справедливо для всего диапазона изменения концентра­ ции включений X. Для жестких включений и пор при значительных концентрациях включений (Л>0,5) необходимо повысить точность опре­ деления компонент тензора эффективных модулей, а следовательно, неизвестных коэффициентов ТУт ). Это равнозначно более точному учету взаимодействия включений. Использование энергетических принципов позволяет выполнить указанное требование [10].

В случае жестких включений удобно применять вариационный прин­ цип Кастильяно. Статически допустимое поле напряжений в матрице представляется в виде, аналогичном (4). Оборвем для каждого вклю­ чения ряд на члене /С, что соответствует замене каждого включения в характерном объеме комбинацией мультиполей, интенсивности кото-

Табл. 3

Концентрация напряжений в пространственных композитах

рых находятся путем минимизации функционала Кастильяио. В резуль­ тате получаем систему алгебраических уравнений относительно T/t(m).

В случае композитов с порами удобно использовать вариационный принцип Лагранжа. Вариационный принцип позволяет найти более точные значения неизвестных для регулярных композитов с частыми включениями. При этом оказалось достаточным определить интенсив­ ности всего трех особенностей. Для квадратной структуры в качестве характерного объема был взят композит с девятью включениями, кото­ рый является характерным объемом с точностью 1,7% [16].

Реализация предлагаемого метода возможна для композитов с лю­ бой геометрией, причем не накладывается никаких ограничений на группу симметрии тензора упругих модулей включений, а упругая сим­ метрия материала матрицы ограничивается только возможностью по­ строения в явном виде тензора Грина для этой среды.

6. Канаун С. К. О модели точечных дефектов в механике упругой неоднородной среды. Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1982, № 4, с. 109— 118.

7.Кунин А. И. Теория дислокаций. — В кн.: А. Я. Схоутен. Тензорный анализ для физиков. М., 1965, с. 374—443.

8.Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М., 1963. 247 с.

9.Вакуленко А. А., Кошелева А. А. Некоторые задачи теории упругости компо­ зитных сред. — Вестник Ленингр. гос. ун-та. Сер. Мат., мех., астрон., 1980, № 1, с. 125.

10.Кошелева А. А. Метод мультиполярного разложения в механике композитных сред. — Реф. журн. Механика, 1980, № 10.

J.Appl. Mechanics, 1977, N 1, p. 61—67.

14.Кривоглаз M. А., Черевко А. С. Об упругих модулях твердой смеси. — Фи­ зика металлов и металловедения, 1959, т. 8, N° 2, с. 161— 164.

15.Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М., 1970. 556 с.

16.Кошелева А. А. Определение характерных объемов регулярных композитов

и специальных строительных работ, Ленинград

УДК 539.3:678.067

В. А. Левин, Л. А. Булатов

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО КРУГОВОГО ОТВЕРСТИЯ В ТЕЛЕ ИЗ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА

При образовании отверстий «мгновенно» и «внезапно» (в смысле [1]) в телах с большими начальными статическими деформациями из вязкоупругого материала, близкого по своим свойствам к классу ком­ позитных материалов (типа армированной резины), возникают в пер­ вый момент времени большие дополнительные мгновенные упругие деформации и напряжения, определение которых представляет значи­ тельный интерес.

Для постановки граничных задач такого типа воспользуемся тео­ рией Наложения больших упругих деформаций [2], обобщив ее на случай наложения больших деформаций в телах из вязкоупругого ма­ териала, используя результаты [3].

Будем различать четыре состояния тела — начальное, два проме­ жуточных и конечное. Начальное состояние — это такое состояние тела, когда в нем отсутствуют напряжения и деформации [2, 4]. В первое промежуточное состояние тело переходит при приложении к нему на­ чальных внешних воздействий [2, 5], приобретая большие начальные мгновенные упругие деформации и напряжения. К моменту времени т в теле накапливаются из-за вязкоупругих процессов, происходящих в нем, дополнительные большие вязкоупругие деформации и напряже­ ния, и тело переходит во второе промежуточное состояние.

В момент времени т к телу прикладываются дополнительные внеш­ ние нагрузки [3], и оно, приобретая большие дополнительные мгновен­ ные упругие деформации, переходит в текущее состояние. Переход индивидуальной частицы тела из i-ro в (i + 1) состояние характеризу­ ется вектором смещений щ+\ (i = 0, 1, 2). Кинематические соотношения, уравнения равновесия и граничные условия для данного случая могут быть получены из соотношейий работы [2] для случая двух промежу­ точных состояний. Выпишем все соотношения в координатном базисе второго промежуточного состояния э* (именно в этом состоянии в теле образуется отверстие заданной формы).