книги / Механика композитных материалов. 1982, т. 18, 4

ция е'(х) фактически не зависит от положения точки х внутри области W. Эта деформация является аналогом электрического поля внутри од­ нородно поляризованного эллипсоида [8].

Деформация, создаваемая внутри области W внешними силами и включениями, расположенными вне W, усредненная по положениям и ориентациям этих включений, равна

Эта деформация также однородна внутри W.

Выберем в объеме М композита произвольное включение с центром

вточке х0 и ориентацией сооОчевидно, что включение расположено внутри «своей» корреляционной ямы Wo, центр которой также находится

вх0. Найдем деформацию, создаваемую в окрестности данного включе­ ния внешними силами и всеми остальными включениями, усредненную по всевозможным положениям и ориентациям остальных включений. Для этого выделим эллипсоидальную область W с центром в точке х0, гомотетичную W0 и содержащую макроскопическое количество включе­ ний. Как и выше, предполагается, что W<^M. Усредненная деформация, создаваемая внешними силами и включениями, расположенными вне W, равна е{ (24). Пусть х е 1У0. Усредненная деформация, создаваемая включениями, расположенными в эллипсоидальном слое между поверх­ ностями эллипсоидов WQи W, может быть вычислена так же, как дефор­

мация эллипсоида е'(х) (21) —(23). Так как эллипсоиды W и W0 гомо­ тетичны, P(W) =P(W0). Переходя к непрерывному и равномерному рас­ пределению по положениям центров масс включений и интегрируя по эллипсоидальному слою W\Wo, получим, что усредненный вклад рас­ сматриваемых включений в деформацию е(х) равен

e"(x)=f{P(W0) - P (W ) } ([ C ] < ^ > - C 1[*]AT)=0.

Таким образом, искомая деформация, создаваемая в окрестности данного включения внешними силами и всеми остальными включениями, усредненная по их положениям и ориентациям, совпадает с et (24) и однородна в окрестности рассматриваемого включения. Отметим, что «действующая» деформация в\ отличается от средней деформации е по аналогии с локальным электрическим полем в диэлектрике, действую­ щим на отдельную молекулу, которое также отлично от среднего [8].

Принимая, что каждое включение находится в однородном поле де­ формации в\, создаваемом внешними силами и эффективными источни­ ками сил от остальных включений, найдем деформацию внутри данного

Здесь индексами © отмечены тензоры, зависящие от ориентации включе­ ния. Подставив (24) в (23) и усреднив по ориентациям, получим уравне­ ние для определения <е+>:

<i+> = <A>e+f<i4ePe (V)>[C]<P>+f<A.{Pe (t»)-P e (V)}>Ci[a]Ar.

Зависимости термических напряжений в матрице у поверхности сферического включения

считать, что в рассматриваемой точке поверхности выбранного включе­ ния вектор нормали « совпадает с ортом оси X фиксированной системы координат («1= 1, «2= «з = 0). Тогда

^И11 = 3р, Дш2 = Kl221 = ^2112= ^2121= -;-- , 4р

а остальные компоненты тензора К(п) равны 0. Для сферических вклю­ чений P(v)= P (W 0)=Po и по (28) Q= 0, а усреднение по ориентациям может быть опущено. Тензор А вычисляется по формуле (13), а #(«) и F(n) — по (17) и (18). Далее по (27) легко найти тензор В.

Деформация в\ вычисляется по (33), а искомое напряжение — по (34). Опуская промежуточные преобразования, запишем результат:

динаты.

На рисунке изображены зависимости приведенного напряжения ln( —GRR/k(ai —а)ДГ) и отношения аее/сгдя= афф/аян от объемной доли включений f при различных соотношениях k\/k и v= 0,4. В расчетах ис­ пользовались формулы (31), (32) для а* и k*. Отметим, что при k j k > 5 эффект взаимодействия включений становится очень существенным и может приводить к концентрациям напряжения, во много раз превышаю­ щим концентрацию напряжения на одиночном включении. Кроме того, как видно из рис. б, главные напряжения аее= афф с ростом / могут ме­ нять знак, и материал матрицы вблизи поверхности включений может оказаться в состоянии трехосного сжатия или растяжения, в котором все три главных напряжения имеют одинаковый знак.

4. Канаун С. К. Метод самосогласованного поля в задаче об эффективных свойст­

вах упругого композита. — Жури, прикл. математики и техн. физики, 1975, № 4,

с.194—203.

5.Левин В. М. К определению упругих модулей армированных материалов. —

Вкн.: Учен. зап. Петрозавод. ун-та, 1975, т. 20, № 5, с. 52—61.

6.Гандельсман М. И. Осредненные уравнения теории упругости матричных компо­

зитов. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1982, N° 3, с. 63—71.

7. Левин В. М. О концентрации напряжений на включениях в композитных материа­

лах. — Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, вып. 4, с. 735—743.

8.Фрёлих Г. Теория диэлектриков. М., 1960. 251 с.

9.Лурье А. И. Теория упругости. М., 1970. 939 с.

10.Кунин И. А., Соснина Э. Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде. —

Докл. АН СССР, 1971, т. 199, № 3, с. 571—574.

11.Кунин И. А., Соснина Э. Г. Концентрация напряжения на эллипсоидальной не­

однородности в анизотропной упругой среде. — Прикл. математика и механика, 1973, N° 2, с. 306—315.

12.Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М., 1963. 247 с.

УДК 539.36.001:678.067.5

А. Ф. Крегерс, Ю. Г Мелбардис

РАСЧЕТ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА

СУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ

Вработе [1] рассматривалась деформируемость однонаправленно армированного композита с упругопластической матрицей. Расчетная модель такого материала была представлена в виде

Wjb Wn — слагаемые, порождающие линейную и нелинейную связь между е—а; ось 1 — ось симметрии механических свойств трансвер­ сально-изотропного композита. Численные значения параметров feK, £к и q для композитного материала борсик—А1 сплав 6061 — F при ц= = 0,50 представлены в [1].

Кривые деформирования пространственно армированного композита определим методами, развитыми в работах [2—4], в основу которых положено усреднение деформаций (или напряжений) в расчетных эле­ ментах композита, имеющих структуру однонаправленно армирован­ ного материала. Расчетная модель (1) пригодна только для решения одной из этих задач — усреднения деформаций. Обратную задачу на базе (1) (усреднение напряжений в расчетных элементах в предполо­ жении, что деформации в элементах и композите одинаковы) решить невозможно, так как нельзя в явной аналитической форме выразить напряжения через деформации. Однако получение обоих решений од­ ной и той же задачи очень желательно, так как это дает возможность установить верхнюю и нижнюю оценки деформируемости композита.

Для решения указанной задачи воспользуемся другой расчетной моделью деформирования однонаправленного материала, особенность которой заключается в том, что предполагается замкнутая поверхность в пространстве напряжений (деформаций), внутри которой композит следует линейной теории упругости, а за пределами ее имеет нелиней­ ную связь между е и а. При выборе аналитической формы нелинейно­ сти откажемся от полинома возрастающей степени по напряжениям и используем элементарные функции, позволяющие легко получить об­ ратные зависимости уравнения состояния [5].

Уравнение поверхности предела пропорциональности (ППП) запи­ сывается как уравнение поверхности второго порядка через компо­

Уравнение (3) выражает целый ряд разных поверхностей [6], из ко­ торых нас интересует поверхность эллипсоида в шестимерном прост­ ранстве напряжений. Признак этой поверхности:

где S, Т, 6 и Д — инварианты поверхности 2-го порядка, которые не

меняются при переносе начала и повороте координатных осей. В част­ ности, для поверхности эллипсоида из (3) мы имеем

S=2pi+p4; 7’=р1(2р4+Рз)-1/2р22-1/4рз2; 6=p3[pi (pl- 1/4р3) - -1/4р22]; А= —6.

Отсутствие линейных слагаемых по напряжениям в (3) означает, что центр эллипсоида совпадает с началом системы координат или, дру­ гими словами, поверхность является симметричной относительно этой точки.

Внутри ППП линейная связь между е и и устанавливается зави­ симостями (1) и (2) (IFB= 0), т. е.

W0=Wn. (5)

Уравнение состояния при этом можно написать и в обратной форме:

уравнение ППП (3) выразим через компоненты тензора деформаций:

ненты тензора жесткости однонаправленно армированного композита.

напряжения за пределами ППП; e*ij, o*,j — деформации и напря­

жения на ППП для данного луча нагружения, определяющиеся урав­

нениями (7) и (3).

Потребуем, чтобы на ППП касательная к любой диаграмме дефор­

ловия £п° = £*п находим, что 2bn= dod,A. Аналогично представимосталь­ ные технические константы трансверсально-изотропного материала:

Из (10) следует,; что di = 2biid0 или Di = 2Bi/D0y где D0= l/d 0.

Нетрудно подсчитать, что предлагаемая математическая модель композита в виде системы уравнений (1), (3) — (8) содержит 11 неза^ висимых параметров материала. Одним из возможных вариантов та­

где i= 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, новая расчетная модель, позволяет в явной анали­ тической форме представить деформации как нелинейную функцию напряжений, и наоборот, и решить поставленную выше задачу в двух вариантах. Первый из них заключается в следующем.

В выбранных осях композита х, у, z прилагаются компоненты тен­ зора напряжений сгар (а, р= лс, ууz )f которые увеличиваются пропорцио­ нально одному параметру. Напряженное состояние Oij (i, / = 1, 2, 3) в каждом отдельном расчетном элементе определяется как аг/п)= аар/га(/р- Согласно (3) для каждого расчетного элемента определяется критиче­ ская длина а*ар выбранного луча нагружения в пространстве аар, после превышения которой в элементе связь между е и а становится нели­ нейной. Для каждого уровня напряжений оар деформации Eij(n) каж­ дого элемента определяются согласно (1) и (5) или (8) и в последую­ щем усредняются в осях композита. Деформации композита, таким образом, имеют следующий вид:

N

лений армирования прямыми волокнами; Va{n) — объем арматуры в п-м направлении в повторяющемся элементе пространственно армиро­

ванного композита; /га= cos (/, a); i, /= 1,2,3; а, р= х, у, z.

Нетрудно представить обратную задачу, в которой в осях композита ху у, г задаются деформациями еар. Деформации в каждом элементе определяются как ег;(7г) = еар/га^з- Деформации еар изменяются пропор­ ционально одному параметру, а критический уровень деформаций е*ар на выбранном луче нагружения в пространстве еар, после которого рас­ четный элемент перестает быть линейно упругим, устанавливается уравнением (7). Напряжения в каждом расчетном элементе определя­ ются согласно (6) или (9), а напряжения в пространственно армиро­ ванном композите выражаются как

N

(12)

п =1

Далее рассмотрим численный пример определения деформируемости металлокомпозита, состоящего из алюминиевого сплава 6061-F, арми­ рованного волокнами борсик при ц = 0,50 [1, 7]. Сперва остановимся на определении параметров 6г-, рг- и d0 однонаправленного композита.

и= 2,7-10-6 МПа-1, а остальные Ь{ остаются без изменений и со­

с определением е22. Формально из каждой отдельной кривой дефор­ мирования можно установить численные значения параметров pi урав­

= а22) находим, что р2 = (а*)-2—Р\ —р4, где а* = а*ц = 0*22. Однако с уче­ том того, что на параметры pi наложены ограничения (4), а коэффи­ циент do входит во все уравнения выше упомянутых кривых, эти вели­ чины следует определять из совместной аппроксимации кривых дефор­ мирования. Практически параметр р4 определялся из условия, что диаграмма ец—<тц прямолинейна до разрушения, т. е. а*ц = 1,09 ГПа.

Схемы армирования (см. рис. 3)

Примечание. a = arctg (У2); |3 = arctg (2). Для всех схем pi = [i/N.

Вычисления вели на ЭВМ системы ВАНГ-2200В с использованием ал­

вующие найденным численным значениям параметров bu Pi и d0, со­ поставлены с экспериментами на рис. 2.

Далее рассмотрим семь схем армирования, в том числе четыре про­ странственных (табл. 1, рис. 3; рисунки схем см. в [2]). Схемы 1 и 2 представляют собой однонаправленный композит, армированный соот­ ветственно вдоль осей х и г. Схема 3 соответствует перекрестному армированию под углом ± 45° в плоскости х, у. В отдельных схемах пространственного армирования волокна в композите расположены па­ раллельно ребрам куба (трехмерно ортогонально армированный мате­ риал, схема 4), пространственным диагоналям куба (схема 5), шести диагоналям трех взаимно перпендикулярных граней куба (схема. 6), шести нормалям, проходящим через центры отдельных граней регу­ лярного додекаэдра (схема 7). Отметим, что в области линейной упру­

жений о*ху в композите, превышение которых выводит конкретный рас60 четный элемент композита в не-

40

Рис. 4. Расчетные кривые деформирования на сдвиг при ОхуФО'. 1—7 — композит бор-

(волокно борсик); 9 — неармированной уп­

ругопластической матрицы (А1 сплав 6061-F)

Напряжение а*ху в композите, соответствующее пределу линейной упругости каждого расчетного элемента

о*ху, МПа

линейную область деформирования. В таблице критические зна­ чения а*Лу изменяются в пределах от 29,9 до 68,9 МПа. Там же даны численные значения мгновенных модулей сдвига Gxy°, которые для разных схем меняются в сравнительно узких пределах. Неожидан­ ным было то, что наибольшее значение модуля Gxy° получено для одно­ направленно армированного материала схемы 1. Это можно объяснить тем, что мгновенные упругие характеристики однонаправленного компо­ зита были взяты из эксперимента, и отношения между отдельными ха­ рактеристиками этого материала отличаются от предсказанных по ли­ нейной структурной теории армирования [2].

Теоретические кривые деформирования бороалюминия на чистый сдвиг (вхуфО), полученные по расчетным моделям (11) и (12), приве­ дены на рис. 4 (кривые 1—7; номера кривых соответствуют схемам армирования по табл. 1). Там же представлены расчетные кривые де­ формирования на сдвиг неармированной матрицы (кривая 9 — по [1]) и арматуры (кривая <$). Как и следовало ожидать, кривые деформиро­ вания однонаправленно армированного материала располагаются выше кривой деформирования неармированной матрицы, а наиболее жест­ ким оказался материал, армированный по схеме 3 (перекрестное арми­ рование под углом ±45° в одной плоскости).

Из изложенного следует, что предложенная расчетная модель ком­ позита может быть использована для решения задач, где необходимо представить деформации как нелинейную функцию напряжений, и на­ оборот.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Мелбардис 10. Г., Крегерс А. Ф Деформируемость однонаправленно армиро­

ванного композита с упругопластической матрицей. — Механика композитных мате­ риалов, 1982, № 2, с. 217—224.