книги / Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы

откуда следуют граничные условия для неизвестных функций

Таким образом,- решение получается на трех электри­ ческих моделях, на границах которых заданы контурные значения соответствующих ( Р ,1/ и V ) функций* Оба метода позволяют решать лишь плоскую задачу теории упругости, а ее полное решение требует неоднократного построения электрических моделей, что в известной мере снижает эф­ фективность этих методов.

Попытка приближенного решения объемной задачи пред­ принята в работе /6 4 /, где напряженное состояние ослаб­ ленного экскавацией породного массива определяется из известного распределения конвергенции точек кровли и поч­ вы горной выработки. Так, вертикальное перемещение вы­

11

работе предлагается находить с помощью моделирования на АВМ сеточного типа. Так были получены экспериментальные результаты, соответствующие двум отработанным угольным пластам. Угольный пласт и вмещающие толщи моделирова­ лись с помощью ортогональной сетки электрических сопро­ тивлений 1 2 0 x 1 2 0 x 5 1 . Следовательно, для предлагаемого метода необходимы аналоговые машины с числом элементов порядка 1С@ и более. Между тем число элементов в обыч­ ных АВМ сеточного типа имеет порядок 1 0 ^ и редко до­ стигает 104. Несмотря на огромное число элементов сетки, автору работы /6 5 / не удалось учесть сложную геометрию целика и выработанного пространства. Заметим, что оделен­ ное определение смещений по (0 .1 7 ) сушественно услож­ няет процесс решения.

Методически хорошо обосновано электрическое модели­ рование контактных задачтеории упругости /3 2 /. Оно ши­ роко применимо при решении задач строительной механики.

Эта электроаналогия стала возможной благодаря сведению ре­ шения контактной задачи о давлении штампа на упругое полупро­ странство к решению уравнения Лапласа при соответствую­ щих граничных условиях. Соответствующие компоненты тен­ зора напряжений таковы:

г

(0 .1 8 )

1 2

Представление решения (18) через гармоническую функ­ цию е граничными условиями вида (19) позволяет интегри­ рование уравнения Лапласа производить на электрических моделях - в электролитической ванне. При заданной плот­ ности тока через электрод, находящийся на поверхности электролита трехмерной ванны полусферической формы, в на­ ходящемся под ним пространстве возникает поле электри­ ческого потенциала простого слоя

Методика проведения, эксперимента по определению осадки исследуемого штампа и реактивного давления под

ним описана в работе /3 2 / и заключается в следующем. При исследовании осадки плоского произвольного контура

штампа вначале измеряют сопротивление f?9 между испы­ туемым электродом, геометрически подобным основанию штампа и корпусом ванны. После этого заменяют испытуе­

13

прижимающей силе P-FQ-PB*

При нахождении давления под штампом вначале изме­ ряют силу тока % , проходящего через исследуемый

электрод; далее, заменяя исследуемый электрод электродом круглой формы, - силу тока ^ 0 , После этого давление под штампом определяется выражением

испытуемым электродом и исследуемой точкой под ним; \[0~ разность потенциалов между круглым электродом и иссле­

такту его с полупространством. Необходимость построения калибровочной модели вызвана неоднозначным соответствием величин модели оригиналу.

В ряде публикаций предпринята попытка определить напряженное состояние породного массива, ослабленного подземными выработками. Так, в работе / 7 / рассматрива­ ется возможность применения метода ЭГДА для определения дапряжений вокруг горных выработок, поддерживаемых лен­ точными целиками. Авторы утверждают, что при решении соответствующей плоской задачи теории упругости доста­ точно аналогии между дифференциальными уравнениями сов­ местности (уравнениями Леви) для оригинала и уравнениями для электрического тока модели. В работе не рассмотрены граничные условия в исследуемой упругой системе и сопо­ ставляемой ей электрической модели. В этом случае гранич-

1 4

ные условия оригинала и модели, не совпадают. В работах /9, 23, 26, 3 7/, посвященных применению геометрически подобных моделей типа ЭГДА для нахождения напряженного состояния породного массива, ослабленного проходкой гор­ ных выработок, рассматривается следующее представление напряжений (плоская задача теории упругости)

J бу =4г 6 "У $

учесть условия на границе полости, имитирующей выработку. Для удовлетворения граничных условий необходимо знать распределение напряжений вдоль контура полости. Последнее в задаче нагруженности упругого целика является величиной, подлежащей определению. Следует отметить, что задание граничных условий даже при известном характере распреде­ ления напряжений на границах полости, предложенное в ра­ боте /3 6 /, усложняет процесс моделирования, особенно при решении объемной задачи.

Непосредственному определению нагрузок на ленточные и столбчатые целики элекгроаналоговым путем посвящена работа /1 7 /. В ней результаты, полученные на моделях ЭГДА, переносили на решения плоской задачи о ленточных целиках и объемной задачи о *сголбчатых целиках. Как отме­ чено выше, в моделях ЭГДА не выполняются граничные ус­ ловия плоской задачи, а для объемной задачи теории упру­ гости, кроме того, нарушается изоморфизм дифференциальных уравнений модели и оригинала. Поэтому перенесение резуль­ татов, полученных с помощью таких моделей, на исследуемые процессы оригинала неправомерно.

Таким образом, решение задачи о нагруженности упругих целиков произвольной формы, в плане аналитическими мето­ дами теории упругое га в настоящее время невозможно;. Э гог вывод справедлив и в отношении электроаналоговых сеточных

методов ввиду ограниченности числа узлов сеток для изуче­

15

Г л ав а 1.

ОБОСНОВАНИЕ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ НАГРУЖЕННОСТИ УПРУГИХ ЦЕЛИКОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

В основе теории моделирования лежит изоморфизм урав­ нений двух сопоставляемых явлений. Ниже рассматривается вопрос об изоморфносги уравнений и граничных условий для некоторых задач теории упругости и теории электричества; дается конкретное изложение метода элекгрозналогии приме­ нительно к задачам механики /11, 15, 17/.

Значения физических величин и определяющих соотношений приводятся в международной системе единиц СЙ /4 3 /.

1.1, Электроеналоговое решение задачи для полупространства

Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полупространства Ъ?>0.

Воспользуемся общим представление^ век тощ переме­

при условии на границе

А

(1.2 )

1 7

упругости для полубесконечной упругой среды. Она разбива­ ется на две частные задачи.

Первая относится к случаю, когда на границе задано только нормальное нагружение

Развернутая запись этого выражения представлена равенст­

.18

где Л Urг-обозначение поверхносгной дивергенции. Следует^ отметить, что тангенциальные составляющие aftadВт, непрерывны на границе 2 = 0 в виду тождества

fot<pcac/=0 .

Таким образом, решение задачи о нормальном нагру­ жении полупространства приводится к решению внешней за­ дачи Неймана теории потенциала.

Для решения второй частной задачи (задачи Черрути)

н = 0 : Fx = % (x;y'j,F v ^ / x ; y ) , Fa~0. <i.e>

представляют вектор перемещения через гармонический век­

19

Выражение (1 .1 4 ) справедливо при (л(/1>В-0 всюду в рассматриваемой области. Для физической интерпретации поля вектора в/3 > определяемого равенствами (1 .1 3 ) и (1 .1 4 ), обратимся к следующим преобразованиям.

Если дивергенция гармонического вектора всюду равна нулю, то последний соленоидальный и представим в виде ро­ тора соленоидального вектора

Известно также, что если ротор некоторого вектора равен нулю, го последний есть градиент некоторого скаляра, поэтому

2 0