книги / Физика

ЛЕКЦИЯ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Момент импульса частицы относительно некой точки (полюса) – вектор, равный векторному произведению радиусвектора точки на импульс точки (рис. 1.10):

момента импульса частицы при вращении вокруг оси z. Размерность момента импульса L кг м2 /с.

Рис. 1.10. Вектор момента импульса направлен перпендикулярно радиус-вектору и вектору импульса

Момент инерции материальной точки относительно оси z

вращения равен массе точки, умноженной на квадрат расстояния её до оси вращения:

Jz mr2.

Размерность момента инерции J кг м2.

Момент инерции цилиндра Jz 12MR2.

Момент инерции сплошного шара J 52MR2.

Момент силы – вектор, равный векторному произведению радиус-вектора, проведённого из точки О в точку приложения силы на вектор силы:

21

Момент силы относительно оси z равен произведению силы F на плечо h:

K r F sin F h.

Размерность момента силы K м Н.

Абсолютно твёрдое тело – система материальных точек, расстояние между которыми неизменно. Твёрдое тело выступает при движении как единое целое.

Всякое твёрдое тело представляет собой систему с 6 степенями свободы: 3 поступательные степени свободы при перемещении вдоль трёх осей и 3 вращательных степени свободы вращения вокруг трёх осей.

Основной закон динамики вращательного движения

(рис. 1.11).

Производная по времени от момента импульса механической системы относительно центра инерции системы равна мо-

менту всех сил, приложенных к механической системе

dL K. dt

Рис. 1.11. Основной закон динамики вращательного движения

22

Пример. Вращение системы вокруг неподвижной оси z в плоскости xy:

ddLtz Kz ,

где Lz Jz .

Если система является абсолютно твёрдым телом, тогда все точки тела движутся с одинаковыми скоростями и

Jz ddtz Jz Kz .

Теорема Штейнера (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Вращение тела вокруг произвольной оси O . Ось О проходит через центр инерции, d – расстояние между осями

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения O равен сумме момента инерции этого тела относительно оси O, проходящей через центр инерции, и произведению массытела наквадратрасстоянияd междуосями (см. рис. 1.12).

Доказательство.

Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно оси O ,

T J 2 2 .

23

Движение относительно оси O есть поступательное движение центра инерции тела со скоростью V d и вращатель-

где V d, см. (1.5).

Гироскоп

Гироскоп – симметричное твёрдое тело, быстро вращающееся относительно неподвижной точки О, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.

Твёрдое тело с произвольным распределением масс имеет три взаимно перпендикулярные оси, которые называются главными осями инерции. Они проходят через центр инерции и жёстко связаны с телом.

Свободное вращение гироскопа. При свободном вращении твёрдого тела на него не действуют внешние силы.

ddLt K 0 L const.

Сохраняется момент импульса, его величина и направление в пространстве.

Сохраняется кинетическая энергия:

T 12 L const.

Для шарового волчка моменты инерции по трем осям одинаковы: Jx J y Jz J ,

24

Картина свободного вращения симметричного гироскопа

(рис. 1.13).

Рис. 1.13. Прецессия свободного гироскопа

1. Волчок быстро равномерно вращается вокруг своей оси. 2. Эта ось медленно равномерно вращается вокруг направ-

ления момента импульса L, описывая вокруг него круговой ко-

нус. Такое вращение называется регулярной прецессией волчка.

3. Вектор угловой скорости вращения , оставаясь постоянным по величине, также равномерно вращается вокруг на-

правления L с угловой скоростью пр.

Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси z есть

Частота регулярной прецессии свободного симметриче-

ского волчка

пр L .

Jx

25

Гироскоп под действием внешних сил (рис. 1.14).

В простейшем случае гироскоп – симметричный волчок с закрепленной точкой С на оси вращения волчка. Он имеет три степени свободы. Сила тяжести приложена в центре инерции О. Она стремится опустить центр инерции вниз. Однако ось поворачивается в направлении, перпендикулярном вертикальному

направлению. Если скорость собственного вращения волчка 0

велика, то ось вращения совершает медленное вращение, описывая конус вокруг направления силы тяжести.

Рис. 1.14. Прецессия гироскопа в поле силы тяжести

Положим, что кинетическая энергия собственного вращения волчка много больше потенциальной энергии волчка в поле силы тяжести. Энергию гироскопа можно записать в виде

Угловая скорость вынужденной прецессии много меньше собственной частоты вращения 0. Момент импульса волчка практически не меняет своей величины. Он только прецессирует вместе с осью волчка с угловой скоростью .

Скорость изменения момента импульса волчка с учётом влияния силы тяжести

26

ddLt L0,

с другой стороны, dL K, тогда момент силы тяжести dt

K L0.

Модуль момента силы тяжести направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ось волчка, и вертикальное направление силы тяжести

K Mgl sin .

Вектор K Ml g n , где n LL0 – нормальный вектор,

L0 Ml g LL0 .

Вектор угловой прецессии получаем в виде

Ml g.

L0

Модуль угловой прецессии гироскопа в поле силы тяжести

Формулу (1.6) можно получить сразу из отношения частот. Отношение частоты прецессии к собственной частоте вращения гироскопа пропорционально отношению потенциальной энергии U гироскопа в поле силы тяжести к кинетической энергии T вращения гироскопа:

U Mgl 1.

0 T Jz 02

2

27

Применение гироскопов. Основное физическое свойство гироскопов: сохранение направления оси вращения гироскопа. Гироскопы делятся на силовые (для стабилизации) и индикаторные – для определения углов рысканья, например искусственных спутников Земли.

Масса гироскопов – от 10 до 10 кг. Скорость вращения – до 60 000 об/мин.

Гироскопические устройства состоят из трёх гироскопов и вспомогательных приспособлений для корректировки направления оси гироскопа в пространстве или измерения углов её отклонения.

Эти устройства применяются в авиации, морском флоте, ракетной и космической технике для решения навигационных задач, управления подвижными объектами, их стабилизации. В народном хозяйстве это прокладка стволов, штолен, бурение скважин, строительство метрополитенов.

Примеры гироскопов: Земля, артиллерийский снаряд, пуля автомата.

ЛЕКЦИЯ 4.ЭНЕРГИЯ

Энергия – единая мера различных форм движения. Энергия – скалярная величина.

Кинетическая энергия поступательного движения частицы равна половине произведения массы тела на квадрат скорости движения частицы:

mv2

Wk 2 .

Размерность энергии W кг 2м2 1Дж.

с

Кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

Wk T J22 .

28

Теорема Кёнига:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической энергии поступательного движения самого центра инерции системы плюс кинетическая энергия системы относительно её центра инерции:

Пример:качениешарапоплоскостисоскоростью v (рис.1.15):

Рис. 1.15. Шар катится по плоскости без проскальзывания

Полная кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения центра масс шара плюс кинетическая энергия вращательного движения шара вокруг оси, проходящей через центр шара:

mv2 J 2

Wk 2 2 .

Потенциальная энергия U – энергия механической системы, зависящая от конфигурации системы, т.е. от взаимного расположения частиц системы и их положения во внешнем силовом поле. U 0 – отталкивание частиц. U 0 – притяжение частиц.

Консервативные силы зависят только от координат частиц системы:

F U U gradU.r

Диссипативные силы (например, силы трения) зависят от координат и скоростей частиц системы.

29

Пример 1. Сила упругости F kx – консервативная. Потенциальная энергия упругого тела

U x 0x Fdx k 0x xdx kx22 .

Потенциальная энергия тела массой m в гравитационном поле массы M.

U r GN mMr .

Потенциальная энергия в однородном поле

U Fr mgzC .

Однородное поле – поле, в котором на частицу действует одна и та же сила в различных точках пространства. Например,

для силы тяжести F mg напряжённость гравитационного поля Земли на её поверхности (ускорение свободного падения)

Работа – изменение энергии макроскопического тела путём силового воздействия на него. Элементарная работа силы, совершаемая при перемещении частицы под действием силы, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

A F dr F ds cos .

30