книги / Турбулентное смешение газовых струй

Основная цель данной главы заключается в теорети­ ческом анализе смешения газов разной плотности приме­ нительно к тем вариантам, которые были исследованы экспериментально (см. гл. I). Поскольку подогрев газов в опытах был невелик и справедливость уравнения состоя­ ния в форме (2.40) не вызывает сомнения, можно исполь­ зовать упрощенную систему уравнений. Рассмотрим тече­ ние в начальном участке струи, считая течение вблизи среза сопла в зоне смешения

струи, отличие параметров осесимметричного течения от плоского не превышает 5—10%.

Предположим, что распределение всех параметров на срезе сопла равномерно, т. е. пограничные слои отсутст­ вуют. В этом случае схема течения, изображенная на рис. 2.1, сводится к смешению двух плоскопараллельпых равномерных потоков и система уравнений может быть упрощена. Обозначая индексами 1 и 2 параметры газов в струе и спутном потокеииспользуяобозначения, введен­ ные в гл. I, получим из уравнения состояния (2.40) связь

где п = рг/piУсловие равенства коэффициентов переноса, подобие уравнений (2.27) и (2.28) и начальных условий (отсутствие пограничных слоев) для энтальпии и мас­ совой концентрации позволяет получить следующий

очевидный интеграл:

где Аг и А2 —постоянные, определяемые из граничных условий. Принимая, что в струе с = 1, а во внешнем

потоке с = 0, получим из (2.44):

Профиль температуры можно получить из соотноше­ ния (2.31):

Введем турбулентное число Шмидта как отношение коэффициента турбулентной вязкости к коэффициенту турбулентной диффузии

и будем считать, что оно постоянно. Тогда окончательно упрощенная система уравнений будет выглядеть следую­ щим образом (черточки, означающие осреднение по вре­ мени, опустим):

Граничные условия для решения этой системы урав­ нений таковы:

Профили /г, с и Т находятся по формулам (2.43), (2.45) и (2.46). Из анализа граничных условий и уравне­ ний видно, что профили скорости, плотности, энтальпии и концентрации зависят только от двух определяющих па­ раметров m = ujux и п = рг/piПрофиль температуры, кроме того, зависит еще от отношения с??/с^ = с?.

3- Специального рассмотрения требует вопрос о значе­ нии которое определяет граничное условие для попе­ речной скорости.

В отличие от теории пристеночного пограничного слоя, где поперечная скорость на стенке равна нулю, в теории струй такого очевидного условия нет. В связи с этим в ли­ тературе обсуждались различные граничные условия для поперечной скорости vv Некоторые из этих условий были получены на основе анализа условия баланса потока им­ пульса поперек зоны смешения Ц, 33].

Однако при получении конечного результата в этих работах не учитывался ряд важпых факторов. Так, в рабо­ те [33], где содержится довольно полный анализ различ­ ных составляющих потока импульса, не учтены силы дав­ ления и турбулентного трения. По-видимому, анализ тече­ ния только внутри зоны смешения и уравпепий погранич­ ного слоя, справедливыхтакжетолько в зоне смешения, не достаточен для нахождения граничного условия для скорости V. Наиболее полно вопрос о выборе граничного условия для поперечной скорости применительно к тече­ нию в зоне смешения рассмотрен в работе Лю Тинга [34]. В этой работе недостающее соотношение для vxнаходится из условия «стыковки» решений уравнений Навье — Стокса для вязкого течения внутри зоны смешения и по­ тенциального течения вне зоны. Решениянаходятся в виде рядов по степеням малых параметров. Оказывается, что для случая смешения несжимаемых потоков справедливо известное условие Кармана:

На практике реализация смешения полубесконечных потоков невозможна, а течение в начальном участке пло­ ской или круглой струи, распространяющейся в спутпом потоке, лишь приближенно напоминает это течение. Стро­ го математически течение в зоне смешения, как это пока­ зано в работе [34], неавтомодельпо, a vx = vx (я). В то же время экспериментальные данные показывают, что в невозмущепиом ядре струи течение практически изобарично и их = const. Из уравнения (2.50) в этом случае следует,

струи V—0, и, следовательно, во всем ядре струи

(2.53)

Это приближенное условие не сильно отличается от условия (2.52). В самом деле, для «затопленной» струи, т. е. когда во внешнем потоке скорость н2 = 0, условие (2.52) также дает vx = 0; тот же результат получается при смешении потоков с одинаковой скоростью. Расчеты те­ чения в слое смешенияпотоков с одинаковой плотностью, проведенные А. Кыозом [32] при граничных условиях, соответствующих формулам (2.52) и (2.53), показали, что различие в граничных условиях для v проявляется лишь в незначительном повороте зоны смешения относительно начала координат. Максимальное различие параметров зоны смешения для этих двух случаев граничных условий при т = 0,5 не превышает 3—4%. Поскольку условие Vi = 0 ближе соответствует случаю течения в зоне сме­ шения струи со спутным потоком, то в дальнейшем исполь­ зуется граничное условие (2.53).

§3. Анализ отдельных точных решений

1.Для того чтобы получить точные решения системы уравнений (2.48) —(2.50), выразим коэффициент турбу­ лентной вязкости через осредненные параметры по фор­

мулам Л. Прандтля. Для большей общности соотношения (2.4) —(2.5) представим в единой форме:

(2.54)

Придавая в соотношении (2.54) параметру а значения 2 или 1 и принимая для функции А \х) выражение Z2 (х) или кЪ (1 —т), можно получить «старую» (2.4) или «новую» (2.5) формулы Л. Прандтля. Будем искать авто­ модельные решения системы (2.48) —(2.50) применитель­ но к течению в зоне смешения. Введем для этого новые переменные:

(2.55)

В этом случае операции дифференцирования выразятся

члены, явно зависящие от х. Приравняем поэтому входя­ щийв эту системумножитель, зависящий отя, постоянной

Вид постоянной в правой части равенства (2.61) выб­ ран так, чтобы полученные уравнения совпадали с из­ вестными из литературы [1] соотношениями. Уравнение (2.61) позволяет найти вид функции Q(x):

При интегрировании (2.61) было принято, что Q (0) = = 0; это условие эквивалентно равепству нулю толщины зоны смешения в начальном сечении.

Рассмотрим некоторые точные решения для профиля скорости. G этой целью проинтегрируем уравнение (2.59)

где Au° == (и —u2)/(u1 —ih)- Обозначим выражение в фи­ гурных скобках через F (£):

I

(2.64)

lx

Отсюда следует, что

С учетом соотношений (2.61), (2.63) —(2.65) уравненпе (2.57) преобразуется к виду

Уравнение (2.66) при р' = 0, т = 0, а = 2 переходит

вуравнениеТолмиена[1], соответствующее «старой» теории

Л.Прандтля,

Поскольку уравнение (2.66) при а = 2 и уравнение (2.67) обладают особенностью при F" = 0, остановимся на решении последнего несколько подробнее. Граничные ус­ ловия (2.51) и (2.53) для функции F (£) можно записать

Структура уравнения (2.67) такова, что в точках, в которых F” —0, можно стыковать решения двух различ­

в которых F" =0, находятся из граничных условий и ус­

Рассмотрим случай a Sc—а + 1 = О, который реали­ зуется, например, в «старой» теории Л. Прандтля (а—2) при Sc = 0,5. В этом случае последнее слагаемое в (2.72) исчезает, поэтому, сокращая на (F")®-1 Ф 0» получим

\ = Il и 68, и введем координату т| = (g —У/ (62 —У, тогда после интегрирования (2.73) найдем

Ар°=

7,25 и Sc = 0,5, представленная на рис. 2.2, показывает, что профиль плотности, а

имеет конечную протяженность с особенностями в точках и у В этих точках терпят разрыв вторая производная

от скорости (т. е. Fw) и первая производная от плотности, в чем нетрудно убедиться дифференцированием вы­ ражений (2.70) и (2.74).

Данная особенность «старой» теории Л. Прандтля связана с тем, что турбулентная вязкость согласно этой теорииобращается в нуль на границах зоны смешения. По «новой» теории Л. Прандтля турбулентная вязкость по­ стоянна поперек зоны смешения и на ее границах особен­ ности не возникает. Покажем это па примере: а = 1, ni = 0, р' =0, когда уравнение (2.66) приобретает вид

Уравнение (2.75), в отличие от (2.67), имеет гладкое решение с непрерывными производными любых порядков,

причем значения F' = 0 и 1 достигаются соответственно при значениях

£ = —ООИ-f-OO.

Метод аналитического решения уравнения (2.66), предложенный Гёртлером, сводится кпоискам егорешения в виде ряда по степеням параметра X= (1 —m)f (1 -f- т). При т = 0 параметр X= 1 и сходимость ряда ухудшает­ ся, поэтому сумма первых члепов ряда далека от точного решения. Для получения лучшего согласования опыта с теорией профиль Гёртлера приходится «смещать» вдоль координаты | [1J. Как справедливоотмечаетсяв работе[33J, точное решение уравнения (2.75) хорошо согласуется с опытом инеобходимость в дополнительном сдвиге решения отпадает.

Проще находится точное решение для предельного случая одинаковыхскоростей(т ->• 1)и плотностей(п-+ 1) смешивающихся потоков по «новой» теории Л. Прандтля. В этом случае уравнение (2.66) приводится к виду

(2.76)

При а = 2 уравнение (2.76) соответствует «старой» те­ ории Л. Прандтля и при F" = 0 имеет особенность. Как уже отмечалось, в этом случав решение получается в

результате стыковки различных решении

(2.77)

При а = 1 уравнение (2.76), соответствующее «новой» те­ ории Л. Прандтля, было решено Гёртлером:

Сопоставление решений (2.77) и (2.78), представленное на рис. 2.3, дает основание считать, что, за исключением

Рис. 2.3. Распределение скорости в зоие смешения при замыкании уравнений движения «старой» (сплошная линия) и «новой» (пунк­ тир) формулами Прандтля при т —*1 и п -* 1.

концов, профили скорости близки друг к другу; одпако по «новой» теории Л. Прандтля, которой соответствует формула (2.78), значение Аи° = 0 и 1 достигается на бес­