книги / Методы оптимального проектирования

где Ci и с2— произвольные постоянные. Отсюда с и (6-38) получаются выражения для сил вращения;

где а, Р — постоянные внутри каждого кольца, полученного в ре­ зультате разбиения.

Для проектируемой конструкции определяются также силы огР- и с0 в точках rlt г2, . гп. Ограничение*(6-41) записывается отдель­ но для каждого интервала »[rj_i, г/|. Имеем:

‘C1=~5“ K — »el> ,'2=“§_l«r|. h9 = "2"N».

откуда ввиДу (6-41) получаем:

Вектор функций ограничений может быть записан в виде

^ = < v v - • V *

Пределы его изменения в соответствии с условием (6-50) запи­ сываются с помощью неравенства

где L = (0 , 0, — , Ь) и U = (то, т0, . . т<>).

Таким образом, задача оптимального проектирования диска па­ ровой турбины сводится к поиску минимума критерия оптимально­ сти (6-46) при ограничениях (6-50) и (6-51) путем варьирования

вектора х = (&3....... bn-ъ, а2).

Движение к оптимуму внутри допустимой области. Поскольку на начальных этапах поиск осуществляется внутри допустимой обла­ сти, используется метод наискорейшего спуска. Рекуррентная фор­ мула метода наискорейшего спуска имеет вид:

Поэтому соотношение (6-52) сводится к следующим выражениям:

тате решения однопараметрической задачи минимизации. Кроме того, с учетом ограничений величина h подбирается таким образом, что­ бы я* * 1 было допустимым решением.

Следует установить, какое максимально возможное значение h не выводит за пределы допустимой области.

Для ограничений на конфигурацию изделия (6-48) с помощью соотношений (6-53) получаем:-

T. e. • /а выбирается минимальным среди всех положительных зна­ чений tj.

Чтобы сформулировать условия для выбора tk, исходя из ограт ничений (6-51), рассмотрим эти ограничения на каждом из элемен­ тов разбиения. Обозначим через км толщину диска при радиусе /у,

— максимальное значение деформирующего усилия в слое г<.

Будем считать, что каждое hhi может изменяться независимо без учета распределения сил на соседних участках разбиения.

мает нулевое значение.

Движение вдоль границы допустимой области. Способы движе­ ния вдоль границы допустимой области различаются в зависимости от типа ограничений. Так, при нарушении геометрических ограниче­ ний (6-47), линейных относительно конструктивных параметров, используется проекционно-градиентный метод.

Движение с помощью проекционно-градиентйого метода, как и раньше, определяется формулой

хк+\—хк+ЬЦк,

Случай 2. xh лежит на ограничении 02= ^ 1 + 6 3 или аг=яз—ег. Тогда

Указанные формулы mwiytiê* ны преобразованием проекций об­ щего вида для конкретных огра­ ничений.

При выходе на границу обла­ сти, соответствующую нелинейным ограничениям (6-51), используют­ ся методы линейного локального

На рис. 6-6 представлен оптимальный вариант диска турбины, полученный в результате применения рассмотренного алгоритма.

Глава седьмая

МЕТОДЫ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИИ

7-1. ФОРМИРОВАНИЕ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИИ

Основная идея, положенная в основу методов штраф­ ных функций, состоит в замене критерия оптимальности исходной задачи (масса изделия, приведенные затраты, мощность и т. и.) некоторым обобщенным критерием, значения которого совпадают с исходным критерием оптимальности внутри допустимой области. При выходе из допустимой области, а в некоторых случаях уже при приближении к границе обобщенный критерий оптималь­ ности резко возрастает за счет штрафных функций, за­ висящих от ограничений.

Штрафные функции обеспечивают либо быстрое воз­ вращение в допустимую область, либо невозможность выхода из нее. Вследствие того, что при использовании штрафных функций ограничения не присутствуют в явной форме, для поиска оптимального решения могут применяться методы безусловной оптимизации (т. е. оптимизации при отсутствии ограничений). Таким обра­ зом, методы штрафных функций позволяют свести зада­ чу оптимального проектирования к последовательности задач, не содержащих ограничения.

Весьма эффективно применение методов штрафных функций в тех случаях, когда гиперповерхности, ограни­ чивающие допустимую область значений параметров, за ­ даны нелинейными функциями. В этом случае движение к оптимуму вдоль-границы допустимой области осущест­ вляется автоматически в результате оптимизации обоб­ щенного критерия оптимальности. В зависимости от спо­ соба формирования штрафных функций различают ме­ тод штрафных функций и метод барьерных функций.

Метод штрафных функций. Рассмотрим задачу поис­ ка локального минимума критерия оптимальности F(x) в области, ограниченной системой неравенств

методу штрафных функций производится с- помощью не­ которой непрерывной функции Q (JC) , удовлетворяющей следующим условиям:

1) Q (x )= 0 внутри и на границе допустимой области, т. е. при значениях параметров хи х2> ..., х„, удовлетво­ ряющих ограничениям (7-1);

2) Q(x) > 0 , если не выполнено хотя бы одно из огра­ ничений (7-1).

Примерами функций Q(х) могут служить выра­ жения:

Обобщенным' критерием оптимальности согласно ме­ тоду штрафных функций является выражение

Метод оптимизации с помощью последовательности штрафных функций состоит в следующем. Рассматри­ вается некоторая неограниченная, монотонно возрастаю­

Линии уровня функции F(xi, хг) и допустимая область значений конструктивных параметров Х\ и х2 представлены на рис. 7-1,а. Обобщенный критерий опти­

Линии уровня обобщенного критерия оптимальности при значении коэффициента штрафа t—2 приводятся на рис. 7-1,6. Результаты вычислений приводятся в табл. 7-1 ;

Т а б л и ц а 7-1

Промежуточные итерации хь2.) располо­ жены вне допустимой области. Это свойство метода со­ храняется при решении более сложных задач оптимиза­ ции. Если локальный минимум расположен на границе допустимой области, то последовательность безусловных оптимумов в методе штрафных функций сходится к оптимальному решению, все время находясь снаружи относительно допустимой области. По этой причине ме­ тод носит также название метода внешней точки [53]*

Обобщенный критерий оптимальности представляет собой сложную функцию даже для допустимых областей достаточно простого вида. На рис. 7-2 приводится при­ мер возникновения «овражной» ситуации при переходе к обобщенному критерию оптимальности. На рис. 7-2,а представлены линии уровня критерия оптимальности в исходной задаче, а на рис. 7-2,6 — линии уровня обоб­ щенного критерия. В последнем случае имеем дело с «овражной» ситуацией. При этом один из «склонов оврага» соответствует линиям уровня функции ограни­ чения, а другой — линиям уровня критерия оптималь­ ности. Однако трудности, порождаемые сложностью обобщенного критерия оптимальности, компенсируются возможностью использования хорошо разработанных

(7-7) При применении «метода штрафных функций любая точка векторного пространства параметров может быть выбрана в. качестве начальной. Это значительно упро­ щаетпрограммирование алгоритмов, использующих

штрафные функции.

Метод барьерных функций. В этом методе для по­ строения обобщенного критерия оптимальности исполь­ зуются специальные функции, называемые барьерными. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограни­ ченно возрастают при приближении к границе допусти­ мой области. Барьерные функции применяются в. тех случаях, когда ограничения заданы только в виде не­ равенств.

Для построения обобщенного критерия оптималь­ ности вводится функция 1(х), непрерывная на множест­ ве внутренних точек G0 допустимой области G, т. е. тех точек, для которых ограничения (7-1) выполняются как строгие неравенства. Она должна обладать следующим свойством: если {xh}, Аг==1, 2 ... — последовательность внутренних точек, сходящаяся к граничной точке обла­ сти G, то последовательность значений функции I(xh), к=Л, 2 ... неограниченно возрастает. Функция 1(х) на­ зывается барьерной функцией.

Примером функции 1(х) является

Эта функция существует только внутри допустимой области. Вне области G и на ее границе функция /( *) не определена. При приближении к границе она неогра­ ниченно возрастает.

Другим примером барьерной функции служит:

функции используются при решении практических задач оптимизации.

После того, как определена вспомогательная функ­ ция 1{х), обобщенный критерий оптимальности записы­ вается в виде

где г — некоторое положительное число.

В частности, для рассмотренных примеров .барьерных функций (7-8) и (7-9) получаем обобщенные критерии

тонно сходящаяся к нулю. В качестве начальной точки

обобщенного критерия оптимальности U(x, гi). Минимум х1. функции U(x, п) выбирается в качестве начального приближения для поиска минимума, функции U(x, Гг) и т. д. Последовательность полученных таким образом безусловных минимумов хк* сходится к оптимальному решению исходной задачи.