книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

£

{Г«\?-e0)+ (f<2+q2)c0]ji2n(ql/0-f< V.)*

п*0

1L

л

±2/7+ 1

Как видно из соотношений (2.24),

(2.27)

и

(2.28), W0 и (к U0 +

+ q V0)

можно найти из первых двух уравнений,

а

СЧи*-к К ) -из

последнего (2.28). Следовательно, для

( к

Ut +

q

V0 )

и W0 полу-

чим выражения

* > о (К ч ,р )( M /,+

q V . ) = £

м ; ' {(**+ q a) [ 2 ы‘ с0 Q(°n \

, гп+1

,<*)_

h

]

(2п * 0 !

/ г

Оо

- Z

«."{[ч ( А * '* 1,) в <; , *(’- о / " ] ( С

^

^

: ,'!)^ й ■

(2.29)

D,

(к , Ч, Р)

Ч ' *

{[с, (р*+ к*+ q 2) Q1?

~ (1 + со)Р

]

\Jxz

Jy * H'(2n)!

2/7+1

4

♦ £

Х

' { 2°<2 я Г Ч

( аЛ

г 2; + «сV * - f > S " ] f x

’

где

t

t

Д - г

г

{ 4 * 4

m

^

А

ч ‘ ) - с^

к * Ч ,' а "

*

•

/».р /П.Д

I

'

^Z(n+m*i)

д

çV (г^)ы2]*/(я*т^

/ ^

М

^

ы^}(MÏÜ^î)7*

Обращая

(2.29) и

(2.28)

по *, ?,/>

« У - * —

*

^

B M № U , №

оС

соответствуют операторам

£

*

д 2

д

<?ZV

dW -1

г

д сОп + л <гп)')(/^Оп

* св” 7 ^ 1

щ

г ;

“ * 1Л ( дхг

* [ ® в » ( А ч

1

д х г

—

)- ( / + с ; а ? ’] ( * ♦

,<г>_г л г ) _ _ а \

С1+ с)х \ п) ]

Ч

( Лг

гЛ >

д х г

—

)-

( f

^ >

<?*>>

г г«

* И „ ( 4 " - 2 Л (/ ;

д х г

<^' /

J

< ^ /

оо

^

N

с а п (л {?

“

■

* * ) * ? ] ( § + ■ ^

/

+

л=0 * * { [

+ [ с в п (А (/ ^ ) + ( г - * ) * ' ?

] "

}

Z2п

(2п)! *

(2.36)

ÔU

-

оо

Л») I

%

г

+ л 2

J

*Г +

П*0

(2.36)• Проанализируем уравнения (2.30) - (2.32) и (2.37) -

(2.39)

в частных случаях.

Уравнения колебания пластинки в плоской постановке. Если

внеш­

ной из координат,

например от координаты у>9 то

перемещение

v * 0

и

уравнения (2.30)

-

(2.32)

приводятся

к виду

, 2/1+7

D ( U ) = £ лг7\ г с 4 п оп + (1 + C )x (?>

£ f z __________

п*0

L

д х

(2п + 1) /

(2.40)

D (W ) = - £

с д а п + { 1 - с ) л \ ,)

]

X

п=0

Л /

,2п + 1

Л

__ .

2 (гп+1)! ’

при

этом внешнее усилие f ^ O .

Уравнения колебания упругой пластинки. Цгсть пластинка являет­

ся упругой, т.е. операторы N

и М равны (л+ 2&)%и

- упругим

по­

стоянным. Ограничимся в уравнениях (2.38),

(2.39)

первыми слагаемы­

ми,

т.е. положим

п=0. Тогда из уравнений (2.38),

(2.39)

получим

д ‘у

а г- 2 Ь г

с:

^ { а г- Ь г)

fz

’

(2.41)

1

д

f

.

9 =О;

л

Л

—=

— г

~&

диг

6*

dt*

ù ~ дхг +

при

этом /Л.2 = /у 2

= <?;

с..}

=

Ч е(аг-Ь*)

Г

а г

Уравнения (2.41) являются классическими уравнениями продольно­

го колебания пластинки, при этом скорость распространения

прЬдоль-

ных волн сб равна

скорости распространения

волн сжатия

в

пластин­

ке, рассматриваемой как деформируемое тело,

находящееся

в

состоя­

нии обобщенного плоского напряженного состояния*

Если в уравнениях (2*38), (2.39) ограничиться

первыми

двумя

слагаемыми в рядах,

т.е. принять п + т=1, то

для (f

и </> выводим урав­

нения [29]

/

у

д 2у

*

\

г

За*+ Ьг

d 4ÿ

V ç * ’ д ? ~

*

) +

6

L462 ( а е-Ьг )

d t 4

2а

2Д г у ] ш / г ( £ ) ;

Если

в уравнениях

(2.36), (2.39)

взять первые три слагаемых,т.е«при­

нять

П + /77-2, то

для потенциалов

и у получим уравнения,содержащие

лее высокочастотные колебания. Аналогично из

(2.38), (2.39)

можно

вывести уравнения в частных производных для ^

и ^ любого конечного

нованных на тех или иных гипотезах, вводимых различными

авторами .Кро­

ме того,

общие уравнения (2.30) - (2.32) или

(2,30), (2.39)

точно

учитывают влияние внешних усилий на изменение смещений

точек

сре­

динной плоскости.

Вне зависимости от вида приближенного уравнения продольного ко­

лебания перемещения и напряжения в точках пластинки можно

рассчи­

тать с любой степенью точности по координате

Z из выражений

(2.35),

(2.36).

§ 4. Уравнения поперечных колебаний

изотропной

вязкоупругой пластинки.

Формулы для

перемещений

и напряжений

Поперечные колебания пластинки называются иногда

несимметрич­

ными по

толщине колебаниями. Они возникают при условии,

что внешние

усилия удовлетворяют

зависимостям

,0 ** *z,0 * Jz

*

*X2} 0 ~ Ji* 290

"X 2

“ 'y * ,*

*

Jg*

В eтом случае произвольные постоянные интегрирования

в

(2.12)

A, « Bji

* О}

и для

преобразованных

величин перемещений

по

Фурье и

Лапласу,

т.е.

для и0 ,

tr

, itr, получаем

v0 = qAg sh

( * z )

+ (fi BK + к B3 i) s h

( fiz ) ;

= осАг сЛ (Ы г)+ ( q B №- k B n ) c h

(fiz ),

или в виде степенных рядов no

z

[

JtfIT#2Л+1

гАг -

(р В а + д

] (2п + п / ;

к ы г

* =Л

Ь * * * ' А*+ Ü в’г+ ***)/>""'] ^ 7 ; (2-43)

Ч . £ [ с с - 4 + ( 9 в а - к В „ ) р гп ]

(2л)/

Аналогично предыдущему параграфу введем главные части величин

«в, гга , Щ,

К

я Я * Аг + ( fiBa + к в зг'>Р! 4 c*c<' V O » 0 a + ?4*)//'

(А, + ( у fl;2-

к Ва ) . Тогда выражения (2.43) приму* вид

■’. ■„Г { Я с„'-'9 (kU.-f’ w, ) » [У о .

Ч

}

»

гп+1

(2.44)

(2п+ 1)!

’

■*-£, { 4 « Г ( Ч * « ) -

[/о.

)!

Здесь

Д - /-Af,

/V0”7. Для определения

£4, Vi,

имеем граничные ус­

ловия (2.16) в виде рядов по полутолщине h :

Л

{ [ v ' 4

e.w — * " ] ( * « * « « ) - / •

[H

k ' . ^

D

. a ? -

- t 2n+t

-OC*7 1 IV, } — ------ *

ч

V W

V S

м{['2ST А «„♦ ( " 4К "

«л+7

[2 (Л,,+

)Л

r(,r*D>)л<?’] а# }(«/»♦/;/ '

Н

//»_ л лп)-\/ди ÔV \

tfZZ*

Г

г х \ \ в . * х ,

V

5 м Шл«"- £

» £ ) ■ «-■

%

*

Г/\<» +— -

<?У

„

<?* Л »,

о W)

Д Q+я(П,1 - - 2

—^

И

* +

» я

’ J л»

я J

, 2п+1