книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел
..pdfТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ |
141 |
скорости скольжения ведёт себя как идеально пластическое тело с пределом текучести при сдвиге т* + /х. Профиль стационарного течения записывается следующим образом
о _ 2/х |
c o s { 7 r [ ( l —ж3) s i n —та|/(2/^)} |
|
7Гsin /3 |
cos{ir(sin /? - rs)/(2ц)} |
' |
а постановка начально-краевой задачи (17.12) такая
t = 0: |
v = v0[(l - у)а\; |
у = \ : |
v = 0; |
(17.26) |
|
п |
« |
, |
т$ 2 |
т$е |
|
У = 0: |
v!/ = °. |
— ^ + |
+ Т Т ^ = 0 - |
|
|
Аналитико-численное решение нелинейных задач (17.24) и (17.26) позволило бы описать влияние сложной реологии вязкопластического материала и сравнить движение слоя с исследованным в п. 17.2.
§18. Вязкопластические течения с малым пределом текучести
Вданной параграфе рассматриваются вязкопластические матери алы, в которых пластические свойства выражены достаточно слабо, т.е. близкие к ньютоновским жидкостям. Исследование начально-краевых задач для таких материалов сводится к решению соответствующей «вяз кой» задачи, которое предполагается известным, и линеаризованной задачи первого приближения. Особое интерес представляет нахождение асимптотических границ жёстких зон, появляющихся в области тече ния при малом возмущении предела текучести. Приводятся примеры,
имеющие самостоятельный интерес31*.
18.1. Постановка задачи о вязкопластическом течении с малым пре делом текучести. Вернёмся к постановке задачи о вязкопластическом течении, приведённой в п. 6.1, для материалов Ильюшина—Бингама с линейными скалярными определяющими соотношениями (функции M(U) и T(U) выбираются в виде (8.1)). Эти соотношения необходимо подставить в связь (6.2) тензоров s и v. Тогда уравнения движения
(6.4) запишутся следующим образом
|
|
dvi |
~P,i + 2 |
+ Я = |
(18.1) |
« ■ з д - |
3|*Материалы данного параграфа представлены автором совместно с К. А. Черны шовым на IV Конференции по Вычислительной динамике жидкости (ECCOMAS’98) в
Афинах.
142 |
|
ГЛАВА 4 |
|
Представим все неизвестные функции координат и времени, |
|||
входящие в задачу, г;ь |
р, |
, [7, Т в виде |
|
= + |
p = p0 + Tsp \ ... Т = Т*+т,Т1, |
(18.2) |
|
где величины с индексом «о» суть решения соответствующей «вязкой» задачи (s? = Iv^/Re), т.е. удовлетворяющие соотношениям
<« = 0,
- ь |
о |
+ |
, |
_ |
1 д о |
, jp |
. о о |
|
|
д „ 1 |
+ / . , = „ |
+ „ 1 Л 1 |
(18.3)
(18.4)
ж G |
£ у |
: г;°(ж, t) — W (ж, £), |
(18.5) |
|
Ж G |
. |
(7^(ж, |
ж, £) —-Р/(ж, £) , |
(18.6) |
£ = 0 |
: |
v°(ж) = #о(ж), ж G П . |
(18.7) |
|
Будем считать безразмерный предел текучести т5 малым пара метром и исследуем в дальнейшем деформирование вязкопластической среды в случае, когда её пластические свойства выражены слабо ( T S < 1). При этом вязкие свойства могут как быть в наличии так и отсутствовать, т. е. диапазон чисел Рейнольдса — вся числовая полуось: 0 < Re < оо. Подставим выражения (18.2) в соотношения (18.1), (6.3), (6.5)-(6.9) и примем во внимание (18.3)—(18.7). Приравнивая к нулю коэффициенты при т8 в каждом из уравнений, получим следующую начально-краевую задачу для величин с индексом «1»
|
Vu = о , |
|
|
1 . , / Vij , Vh \ |
dv- о |
, о , |
|
+ s |
b |
= - n + w |
|
v'j = |
+ 'у Л , |
|
|
i GS, . |
: |
v l(x,t) = 0, |
|
« w |
b_ |
£ |
о II |
(18.8)
(18.9)
(18.10)
(18.11)
(18.12)
t = 0 : v l(x) = 0, ж G Q . |
(18.13) |
ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ |
143 |
Особый интерес здесь представляет асимптотическое образование жёстких зон при переходе от ньютоновских к вязкопластическим течениям с малым пределом текучести. Представляя U в форме
U = U* + TSU' = yj 2(vr + rsv!j)(v^ + TgV-j)
= y j 2vbvl 1+ 2Т,У У |
|
+0(T}) = |
(18.14) |
|
|
vklvkl |
|
|
|
r ( , + ^ |
) |
+ |
0 ( T s ) , |
|
|
|
|
||
видно, что |
|
|
|
|
и 1= ч ч |
|
(18.15) |
||
|
U* |
|
|
|
Как видно из (18.15), величина U1 не есть максимальная скорость |
||||
скольжения, построенная на тензоре |
|
т.е. UxФ (2г7^г;-; ),/2, и может |
||
принимать даже отрицательные значения. |
|
|||
Уравнение (6.3) поверхности £ г при малых т8 запишется следу |
||||
ющим образом |
|
|
|
|
Ег = { х € 0 : |
2Tsv-jvlj = -U °2}. |
(18.16) |
||
Жёсткие зоны Пг, как и следовало ожидать, начинают образовываться вокруг тех точек х G Й, в которых U° и Т° равны нулю. Обозначим множество таких точек в каждый момент времени 7°(<): 7°(t) = {х G О: U°(x,t) = 0}. Множеству 7°(£) могут принадлежать и бесконечно удалённые точки тела (этому случаю посвящена задача в п. 18.3). Тогда жёсткое ядро в любой момент представляет собой некоторую окрестность бесконечности.
Примем решение «вязкой» задачи из тех или иных соображе ний известным. Тогда представление (18.2) с последующим решением начально-краевой задачи (18.8)—(18.13) и нахождением асимптотичес ких границ жёстких зон из (18.16) является возмущением известного решения относительно материальных функций (в данном случае преде ла текучести). Близость в том или ином смысле при t > 0 возмущённого и невозмущённого решений позволяет судить об устойчивости рас сматриваемого ньютоновского течения относительно вариаций пласти ческих свойств материала или о чувствительности данного течения по отношению к возмущению предела текучести. К понятию устойчивости
144 Г Л А В А 4
такого рода можно подойти, обобщая классический метод Ляпунова— Мовчана устойчивости по двум мерам. Соответствующие определения приведены ранее в п. 1.3.
Задача (18.8)—(18.13) для величин с индексом «1» линеаризована, неоднородность входит в соотношения (18.9) как фиктивная массовая сила. Заметим, что связь тензоров s 1 и г;1: s\j —2(v?/£/° + v^/Яе), можно формально считать «определяющими соотношениями» неко торой фиктивной среды первого приближения (линейно вязкой среды с начальными напряжениями).
Приведём далее два примера нахождения асимптотических границ £ г. В первом из них, носящем чисто иллюстративный характер, в качестве основного течения выбран плоскопараллельный сдвиг вязкого слоя на наклонной плоскости в поле силы тяжести. Во втором примере, имеющем самостоятельный интерес, в качестве такого течения взято классическое точное решение из гидродинамики вязкой жидкости.
18.2. Тестовый пример. Нестационарный плоскопараллельный сдвиг вязкопластического слоя на наклонной плоскости подробно уже изучался в §17, а оценки устойчивости стационарного режима даны в §9. Поэтому не будем здесь останавливаться на выводе решений, а приведём конечные результаты, не меняя обозначений § 17.
Стационарное решение «вязкой» задачи имеет вид
|
жз(2 - |
x3)sin/3 |
О |
О __ л |
|
= 0, *Г(*з) = |
и, I = vJ3 = 0, |
|
|||
|
(1 - x3)sin/? |
2ц |
|
|
|
*1з(*з) |
р°(х3) = (1 - |
x3)cos/3, |
(18.17) |
||
2/t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
вФи = s33 = 0, st3(x3) = Г° = (1 - |
x3)sin/3, |
|
|||
а краевая задача для величин с индексом «1» формулируется так
|
|
щ,1 = 0, |
(18.18) |
дщ |
би |
ж3 (1 - ж3) t>3 sin /3 + |
|
~Рл + Sij,j = |
+ — |
|
|
|
|
|
(18.19) |
|
|
+ -!~x3( 2 - x 3)v'.l sin/3, |
|
|
|
2ц |
|
з'па = 2ць'па, |
s |3 = 1+ M(VJ.3 + 4 I). |
(18.20) |
|
х3 = 0 : |
v ‘ = 0, |
х3 = 1 : р 1= s]3 —0. |
(18.21) |
ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ |
145 |
Разыскивая решение задачи (18.18)—(18.21) в классе плоскопараллель ных полей (v| = а|(жз), г;] = 0), получим
I/ |
v |
|
1 |
I —п |
М жз) = -----» |
уп = ^зз = 0, |
|||
|
|
|
|
(18.22) |
г;|3 = |
- |
— , р |
= 0, |
s\j= 0. |
Множество 7° состоит из прямой х у — 1, а асимптотическая граница жёсткой зоны определяется из (18.16). Подставляя в (18.16) выражения v?-, v-j, £/°= 2v°]3l найденные выше, выведем уравнение границы Ег:
жз = 1 — |
• |
(18.23) |
|
|
sin Р |
' |
' |
Таким образом, при малом возмущении предела текучести вблизи свободной границы слоя образуется жёсткая корка толщины rs/sin/3. Заметим, что получающееся после подстановки в (18.2) решение задачи вязкопластического течения по наклонной плоскости в поле силы тяжести, так же как и формула (18.23) справедливы не только при малом, но и при любом конечном т8. Так, если т8 ^ sin/З, то весь слой будет находиться в покое.
18.3. Течение в плоском конфузоре. Возьмём в качестве невоз мущённого ньютоновского течения известное решение задачи Гамеля о стационарном радиальном течении вязкой жидкости в плоском конфузоре [112] и будем помечать его параметры индексом «о». В безразмерных переменных (в базис обезразмеривания включены плот ность тела р, расход Q через любую окружность г = const и расстояние го от вершины конфузора до места истечения из него жидкости) это решение в полярных координатах (г, в) записывается в виде
m |
v$ = o, |
о |
о |
m |
О |
У ( 0 ) |
г |
Угг = |
- У 00 = |
г2 ’ |
УгВ = |
2г2 ’ |
|
V ° = ^ v ' K '1 + 4K>. |
|
= |
1 * = £ . |
(18.24) |
||
где Re = pQ/p. Известная неотрицательная функция V(B) удовлетворя ет уравнению (Vй+ 4V - V2 Re)' —0, условиям прилипания на стенках конфузора V(±/3) = 0 и условию обезразмеривания fHpV(S)d0 = 1.
Так как С7°2 = 4(v,r2 + vr92),° то введём функцию #(0), опреде ляемую из основного движения такую, что sin# = 2Vrr/t/°, cos# = 2v^/{7° ( 0 < # < тг в области течения П).
146 ГЛАВА 4
Сформулируем краевую задачу для величин с индексом «I», входящих в соотношения (18.2). Имеем линеаризованные уравнения движения
I , |
j |
. |
| . |
2sr |
|
|
У |
| |
|
|
|
| |
У _х |
|
|
|
s r0,0 |
|
^гг.г |
LSтт |
— |
|
|
. |
у |
|
|
(18.25) |
|||
Р .г |
*р |
|
|
Т |
|
|
®г,г |
|
у Vr |
у ^ 0 > |
|||||
|
|
|
|
|
|
Г |
|
TL |
|
|
|
||||
|
V\B |
|
5rr,g |
|
j |
|
2s rl$ |
|
V • |
|
F J |
(18.26) |
|||
|
r |
|
r |
|
S r0,r |
T" |
|
r |
|
|
-V 0 ,r-^ V 0 , |
||||
условие несжимаемости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I |
• , |
„1 |
, |
|
v0,0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
VT |
|
|
|
|
|
(18.27) |
|||||
|
|
|
V |
+ — + — |
= о |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
и связь тензора s'ap |
с вектором скорости г?1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
I |
|
I |
|
|
2г>,! г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ТГ = -see = -7Г~ + sinФ , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
(18.28) |
|
|
,i |
|
_ 1 |
|
vie |
|
. |
|
v\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ cosФ. |
|
||||||||
|
|
|
^ |
+v'er - |
— |
I |
|
||||||||
|
Sre~R~e |
|
r |
|
|
’ |
|
r |
|
|
|
|
|||
Кроме того, выполнены граничные условия прилипания |
|
||||||||||||||
|
|
|
»J(±/J) = 0, |
|
v ,(±0)l |
= O |
|
(18.29) |
|||||||
и условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
w id e = 0 . |
|
|
|
|
(18.30) |
||||
Будем разыскивать решение задачи (18.25-29) в виде (см. [101]) |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
г |
|
|
4 - * у , т . |
щ < 0 . |
(18.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где неизвестные функции W\, W-\ удовлетворяют граничным условиям |
|||||||||||||||
|
WX(±I3) = 0, |
|
Wl(±p) = 0, |
|
1Р1,(±/?) = 0 |
(18.32) |
|||||||||
и условию обезразмеривания, которое с учётом (18.30)—(18.32) сводится к требованию
у
I tF_,(0)<W = O. |
(18.33) |
ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ |
147 |
Как видно, соотношения (18.27), (18.29) при этом выполняются тожде ственно.
Подставляя кинематику (18.31) в (18.28), а затем в (18.25), про интегрируем уравнение (18.25) по г
( |
ш ш |
2WI |
\ |
|
!------—!- + V'WX+ (cosФ)' + 2sin# ) In r + |
|
|||
|
|
|||
|
2HG |
H G |
J |
(18.34) |
|
|
W4X- 2VW -XRe |
+ P(0) • |
|
|
|
2r2R6 |
|
|
Подставим теперь выражение для давления (18.34) в (18.26) и прирав няем друг к другу коэффициенты, стоящие в левой и правой частях при одинаковых функциях от г. Получим неоднородную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для трёх функций W\ (в), ^ -,(0 ), Р(в)
f { |
W,n |
2W1 |
|
\ ' |
= 0 , |
( |
-----!----------- |
+ V'W\ + (cos#)'+2sin# |
) |
||
|
|
( W \ |
2 |
V |
(18.35) |
|
|
\ W G ^ |
- VW - |
' ) ^ |
|
2VW[ - (sinФ)' + cos# = P'(0).
Из второго уравнения (18.35) и условий (18.32), (18.33) следу ет, что можно положить W- 1 = 0. Основной интерес для анализа асимптотической границы жёсткой зоны в окрестности бесконечности представляет нахождение W\(6). Действительно, подставляя в (18.16) известные выражения v^p, 17°, а также найденные из (18.31) компо
ненты v'Qp, получим уравнение границы, отделяющей жёсткую зону от области вязкопластического течения.
2 ( V 2+ 4V2) У ' 2 _ Д(», |
(18.36) |
|
т = |
V'W") T S J ~ y / r t |
|
(4 VW[ - |
‘ |
|
Из (18.2), (18.31) вытекает, что компоненты скорости на кривой (18.36) — величины порядка у/тJ: vr = -(V /R + RW[/2)y/fl\ v9 = RW\y/Ts, а компоненты тензора скоростей деформаций — величины порядка rs.
В заключение остановимся подробнее на движениях с очень ма лыми и очень большими числами Яе, для которых существуют извест ные асимптотики решения. В случае близких к нулю Яе единственная
148 |
ГЛАВА 4 |
неизвестная функция F(0), описывающая кинематику вязкого течения как в конфузоре, так и в диффузоре, близка к косинусоиде [112]
у, |
cos 20 |
- cos 2/3 |
|
sin 2/3 - |
(18.37) |
|
2/3cos 2/3 ’ |
а функции sin# и cos# записываются следующим образом
cos 20 - cos 2(3
sin# =
7 ^ 2cos 2/3cos 20 + cos22/3 ’
(18.38)
sin 20
cos# =
2cos 2/3cos 20 + cos22/3
Подставляя (18.37), (18.38) в первое уравнение системы (18.35) и принимая во внимание граничные условия (18.32), можно установить, что W\(0)y W[(0) и W"(0) — функции порядка Re во всей области -/3 < 0 < /3. При Re —>0 течение мало отличается от радиального, а, следовательно, жёсткие зоны в Q отсутствуют. Это подтверждается и формулой (18.36), из которой видно, что г(0) обратно пропорционально y/rsRe.
В случае же конфузорного течения при Re > I асимптотическое выражение для V(0) имеет вид [112]
2flV — 1----------- ------------6 ■ _ --------- г-, |
(18.39) |
I + ch (arcch 5 + y/Re//3 (/3 0)J |
|
причём верхний знак следует брать в интервале 0 < 0 < /3, а нижний в интервале -/3 < 0 < 0. Почти везде за исключением пристеночных областей значение V мало отличается от 1/(2/3), т. е. течение близко к потенциальному течению идеальной жидкости. Лишь при 0 « ±(3 второе слагаемое в правой части (18.39) сильно влияет на V.
Находя из (18.39) F ', cos#, sin# и подставляя эти величины в первое уравнение (18.35), получим линейное обыкновенное дифферен циальное уравнение для W\ с однородными граничными условиями (18.32). Из решения этой задачи и (18.36) следует асимптотическая граница жёсткого ядра в окрестности бесконечности.
Литература
Х.Лбгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 3. С. 43-124.
2.Агаева С.Е. Нестационарное прямолинейное движение тиксотроп ной вязко-пластичной жидкости между двумя параллельными бес конечными пластинками // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1966.
№5. С. 146-147.
3.Айвэни, Хэммит. Численный анализ явления захлопывания кави тационного пузырька в вязкой сжимаемой жидкости / / Тр. амер. о-ва инж.-мех. Сер. Д. Теорет. основы инж. расчётов. 1965. Т. 87.
№4. С. 140-150.
4.Алейников С.М. Устойчивость неизотермического течения слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости // Изв. АН СССР.
МЖГ. 1979. № 4. С. 145-148.
5.Александров С.Е., Гольдштейн Р.В. Об отрывных течениях в теории пластичности // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 4. С. 144-149.
6.Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 334 с.
I.Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства урав нений упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во СО АН
СССР, 1985. 142 с.
8.Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформир. твёрдого тела. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 19. С. 3-77.
9.Аскаров М.А. Кавитационное разрушение металлов и полимеров. Тбилиси: Сабчота сакартвело, 1973. 140 с.
10.Астарита Дж.у Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.
II.Астрахан И.М. Нестационарное круговое движение вязкопласти ческой жидкости, заключённой между двумя цилиндрами / / Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1961. № 4. С. 73-76.
12.Астрахан И.М. Устойчивость вращательного движения вязкопла стичной жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1961. № 2. С. 47-53.
150 |
Л И Т Е Р А Т У Р А |
13.Бабчин А.И., Левы С.М. О течении нескольких слоёв пластично вязкой жидкости по наклонной плоскости экструзера поливной машины // Журн. научн. и приклад, фотографии и кинематогра фии. 1972. Т. 17. № 5. С. 321-324.
14.Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.
15.Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. № 3. С. 453-456.
16.Бахшиян Ф.А., Моисеева Р.С. О некоторых нелинейных задачах движения вязко-пластической среды // Йзв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностр. 1963. № 3. С. 170-174.
17.Беломытцев В.П., Гвоздков Н.Н. О потере тепловой устойчивости движения вязко-пластического материала / / Докл. АН СССР. 1966.
Т.170. № 2. С. 305-307.
18.Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчиво сти. М.: Мир, 1971. 352 с.
19.Богородская В.И., Куропатенко В.Ф. О захлопывании пузырьков в
вязкой сжимаемой жидкости / / Тр. IV Всесоюз. семинара по числ. методам мех. вязкой жидкости. Рига, 1972. Новосибирск, 1973.
С. 162-169.
20.Бостанджиян С.А., Столин А.М. Сложный сдвиг вязко-пластичес кой жидкости между двумя параллельными пластинами // Теоре тическая и инструментальная реология. Минск, 1970. С. 107-118.
21.Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских жидкостей // Итоги науки и техники. Сер. Комплексные и специ альные разделы механики. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 4. С. 3-98.
22. Бучсщкий Л. М. Особенности уплотнения вязкопластической среды с переменным пределом текучнети // Ипж.-физич. журн. 1992.
Т. 63. № 5. с. 605-611.
23.Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.
24.Виноградов Г.В., Мамаков А.А., Павлов В.П. Течение аномально вязких систем при действии двух чистых сдвигов во взаимно перпендикулярных направлениях / / Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 2. С. 362-365.
25.Вишняков В.И., Макаров А.М. Нестационарное движение вязкопластичной среды над бесконечной пластинкой // Коллоид, журн. 1973. Т. 35. № 1. С. 3-8.
26.Воларович М.П. Исследование реологических свойств дисперсных систем // Коллоид, журн. 1954. Т. 16. № 3. С. 227-240.