книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

кий смысл— он является коэффициентом приведения длины. Дей­ ствительно, согласно выражениям для х2 и k по (I. 174) крити­ ческую силу можем определить так:

где /о = /Я-1.

Остается для каждого конкретного случая опирания стержня определить минимальное значение Я, соответствующее нетри­ виальному решению уравнения (1.171).

Рис. 8. Критическая сила NHр продольного сжатого стержня при пяти видах краевых условий на концах стержня (£ = 0 и £ = я )

Запишем общее решение уравнения (1. 171) в форме

приходим сначала к однородной системе линейных уравнений относительно Л,, для существования нетривиального решения ко­ торой требуем далее равенства нулю ее определителя, в резуль­ тате получаем трансцендентное уравнение относительно пара­ метра Я[у2 и х2 через Я2 выражаются посредством (1.174)]. Мини­ мальное значение Я будет соответствовать критической силе.

В табл, на рис. 8 приведены пять случаев опирания стержня. Для каждого случая даны краевые условия и значения ЯтьЗа­ метим, что в двух последних случаях формулы для Ят ш практи­ чески пригодны при ограничениях Ф С 1. Кроме того, разни-

41

ца между первым и пятым случаем состоит в наличии у послед­ него бесконечно жестких диафрагм

(* „ .„ = 1+ 0 ,6 4 * j / - Н - [1 + 1 ,4 3 V kb (1 + * ) ] ) .

Критическая сила, приведенная на рис. 8, равна

В случае е ф е 0 на торцах

и уравнение (1.168) при неоднородных краевых условиях (1.177) имеет единственное решение для произвольных N за исключени­ ем N—Nxp. Так, для свободно опертого стержня прогиб в сере­ дине пролета равен

при стремлении А—►1 он интенсивно возрастает, становясь не­ ограниченным. В частности при # = 0 наибольший момент и наи­ больший прогиб равны (х= 1/2)

-^гаах—N (e 0О)

cos у Хя

(1.179)

® m ax=(*-<?o)

[ c o s - y Хя ]

Формально выражения (1.179) совпадают с соответствующи­ ми выражениями для однородных стержней, однако в силу со­ отношения

эти формулы учитывают влияние поперечного сдвига и свиде­ тельствуют о том, что при приближении N к своему критическо­ му значению прогибы в трехслойном стержне нарастают менее интенсивно, чем в однородном. Действительно, пусть

42

ционных членов на первые частоты незначительно. Для этого в

(1 .51)— (1.53) следует положить Е = 0, D = 0, в результате приходим к следующей системе уравнений:

Вводя функцию у и в соответствии с (1.65) функцию перемеще­ ний х, приходим к двум независимым динамическим уравнениям

Здесь введена скорость распространения продольных волн

Рассмотрим свободные поперечные колебания стержня.. Преобразуем уравнение (1.190), используя безразмерную ко­

ординату 1=пх/1 и записывая функцию х (1. 0 в форме

71

Вводя в полученное уравнение безразмерные параметры

(1.192)

р/2 ’ Ш _ Л2а2я40 ’

получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относи­ тельно X (|) (штрих означает дифференцирование по £)

приходим к кубическому характеристическому уравнению, соот­ ветствующему (1.193)

44

пени от -ft, при этом приходится отыскивать корни весьма гро^ моздких трансцендентных уравнений.

В заключение заметим, что при •0—+0

и в общем решении (1.204) следует положить Л5= Л в = 0. Здесь трансцендентные уравнения значительно проще и их первые кор­ ни могут служить хорошим приближением к корням более об­ щих уравнений.

12. ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

При действии продольной силы, превосходящей по величине критическую силу, прогиб стержня интенсивно растет, поэтому приближенное уравнение изгиба, основанное на предположении о малости нормальных перемещений w, непригодно для исследо­ вания закритической деформации. Кроме того, в случае больших прогибов при выводе уравнений равновесия нельзя отождеств­ лять равновесную деформированную форму стержня с докритической прямолинейной формой.

Пусть s натуральный параметр нейтральной линии изогнуто­ го стержня, отстоящей на расстоянии hi2 С13 от средней линии заполнителя, тогда уравнения изгиба стержня будут (1.60) — (1.61)

dH

Предполагая деформации стержня малыми, согласно (1.47) имеем

Н= О у\ -У — da

1.1— 9 dx

(1.206)

M = D \у —

L dx Q3— Ohby.

Здесь x — кривизна стержня, вычисленная по точной формуле

46

теперь для полного момента М имеем выражение через 'У

\Р ds2/

Используя второе уравнение равновесия (1.206), получим уравнение, связывающее V и w,

зуя ( 1. 2 11 ), приходим к нелинейному уравнению относительно w

\

vh2 d2 \ 42

D 1

рds*)dts*

или, разлагая обратную величину радикала в степенной ряд, по­ лучим его в форме

Найдем решение уравнения (1.215), считая, что стержень свободно оперт. Если сила N ненамного превосходит критичес-

кую силу NKр, то естественно ожидать, что упругая кривая бу­ дет иметь вид, близкий к кривой, полученной при исследовании линейной задачи, поэтому положим

и для отыскания постоянного параметра / используем метод Бубнова. Как известно, метод Бубнова решения дифференци­ альных уравнений состойт в том, что искомая функция аппрок­ симируется рядом координатных функций с произвольными па­ раметрами, которые определяются из требования ортогонально­ сти результата подстановки этого ряда в уравнение к каждой из координатных функций.

При этом получается ровно столько алгебраических уравне­ ний, сколько было удержано членов ряда, т. е. столько, сколько изменяется неизвестных параметров.

Ограничиваясь в уравнении (1.214) одним нелинейным чле­ ном, после подстановки выражения для w в форме (1.215) най­ дем

48

Формула (1.219) по форме совпадает с соответствующей формулой теории однородных стержней, однако следует иметь в виду, что Л/'кр зависит от k и Ф, т. е. от сдвига заполнителя и структуры стержня. Эта формула дает для однородных стерж­

дифференциальные уравнения конечного прогиба тонких упру­ гих пологих трехслойных оболочек несимметричной структуры, состоящих из изотропных несу­ щих слоев и трансверсально изо­ тропного заполнителя. В дальней­ шем на основе нелинейных урав­ нений введены линейные уравне­ ния местной потери устойчиво­ сти. При построении уравнений для несущих слоев используются гипотезы Кирхгоффа — Лявэ о прямой нормали, для заполни­ теля — гипотеза о несжимаемости материала'в поперечном направ­ лении, и предполагается, что де­ формация поперечного сдвига по толщине заполнителя распреде­ лена по некоторому известному закону. Кроме того, для всех трех слоев принят общий приведенный

коэффициент Пуассона v. Теория, не содержащая последнего допу­ щения, при предпосылках, ука­ занных выше, изложена в работах {12, 13, 14].

Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кри­ визны слоев пренебрегаем. Принимая за исходную срединную поверхность заполнителя, отнесем ее, учитывая пологость обо­ лочки, к декартовой системе координат х г, хг. Положительную нормальную координату z будем отсчитывать в сторону внешней нормали к исходной поверхности. Называя несущий слой, рас­ положенный со стороны внешней нормали, первым слоем, слой

49

Лл(А3= 2 с)-то л щ и н а слоев (* = 1 ,2 ,3 ) ; h — толщина стенки оболочки;

Е к и V* — модуль упругости и коэффициент Пуассона слоев ( * = 1 ,2 ,3 ) ;

О — модуль поперечного сдвига заполнителя; *//*/= 1 ,2)— кривизны и кручение координатных линий;

/г — размер оболочки в направлении осей JC,( / = 1 ,2);

w— нормальное перемещение точек исходной поверхнос­ ти (прогиб);

u f — тангенциальное перемещение точек заполнителя в направлении оси xl (i= 1 , 2);

a t ( d f/d z ) — закон распределения поперечных сдвигов по толщи­ не заполнителя в направлении оси *,(/== 1 , 2)

[<*i= <*f to , ■*■«), / = / ( * ) ]

Ъц— символ Кронеккера: 8» = 1 , 8^ = 0 при i ^ j . Приведенный коэффициент Пуассона примем в виде

Введем безразмерные жесткостные характеристики и безраз­ мерные толщины слоев

Для более компактной записи формул удобно ввести осреднен ный модуль упругости

50