книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

для динамических смешанных задач справедливы и для теории малых начальных деформаций.

Предполагая кроме допущения о малости удлинений и сдвигов по сравнению с единицей, что начальное деформированное состояние оп­ ределяется по геометрически линейной теории, получаем линеаризи­ рованные уравнения движения и граничные условия для второго ва­

Соотношении (1.26)...(1.28) справедливы и для второго варианта тео­

чить все соотношения для третьего варианта теории малых деформаций для несжимаемого тела.

§7. Условия устойчивости

иуравнения нейтрального равновесия упругого тела при малых деформациях

Выведем сначала достаточные условия устойчивости и уравнения нейтрального равновесия для сжимаемого тела при малых деформа­ циях.

Рассмотрим трехмерное тело, находящееся в положении равнове­ сия под действием консервативных объемных Хп и поверхностных P'S сил, заданных на части Sx поверхности S, а на другой части S2 заданы перемещения и°п. Сообщив телу малые возмущения для перемещений и деформаций в невозмущенном и возмущенном состояниях, получим со­ отношения:

зотропного тела функцией компонент тензора деформаций Грина, в ряд по параметру е:

21

Достаточное условие устойчивости начального деформированного состояния состоит в том, что при любом бесконечно малом геометриче­ ски возможном перемещении из положения равновесия накапливаемая или рассеиваемая энергия деформации превышает работу, производи­ мую внешними нагрузками. Для любых как угодно малых е, положи­ тельных или отрицательных, и для любых дважды непрерывно диф­ ференцируемых ит, удовлетворяющих условию (1.26), выводим нера­ венство

+ - ~ - V (usV,us - Хтитj dV — j Ртитс + 0 (e3) > 0. (1.76)

Первый член неравенства (1.76) в зависимости от е может быть по­ ложительным или отрицательным. Поэтому из условия устойчивости (1.76) следует, что коэффициент при е должен равняться нулю:

Уравнение (1.77) справедливо для любого ит, удовлетворяющего условию (1.26). Из .выражения (1.77), учитывая соотношения (1.16), (1.40), (1.74) и используя формулу Гаусса — Остроградского, выводим уравнения и.граничные условия для определения начального деформи­ рованного состояния:

С учетом соотношения (1.77) из неравенства (1.76) выводим условие устойчивости:

Уравнения нейтрального равновесия получим, приравняв к нулю коэффициенты при е2 в выражении (1.76), откуда далее выводим лине­ аризированные уравнения (1.41), (1.44) без инерционных членов и граничные условия (1.42), (1.43) при дополнительном условии (1.26).

Если докритическое состояние определяется по геометрически ли­ нейной теории, то из условия устойчивости (1.76) получим линеаризи­ рованное уравнение

и граничные условия

22

С учетом выражений (1.35)...(1-46) соотношения (1.81) и (1.82) мож­

Для несжимаемого тела вместо выражения (1.76) получаем нера­

Из условия устойчивости (1.86) коэффициент при е должен равняться нулю. Поэтому уравнения и граничные условия в напряжениях для определения начального деформированного состояния имеют вид (1.78)

и(1.79). К ним необходимо присоединить еще условие несжимаемости

ввиде (1.64).

Уравнения нейтрального равновесия получим, приравняв к нулю коэффициент при е2 в выражении (1.86):

— f {V, [> « an v ^ a + pgin(С + Vnu'o)] + Xm\Um dV -ь

нейной теории, то соотношения (1.68), (1.69) и (1.64) упрощаются и имеют соответственно вид (1.70), (1.71) и (1.73), а компоненты тензора {х} определяются из выражения (1.72).

Достаточные условия .устойчивости и уравнения нейтрального рав­ новесия трехмерных тел при конечных деформациях выведены в ра­ ботах [44, 69, 148J. Условия устойчивости трехмерного сжимаемого тела при малых докрнтических деформациях рассматривались в работе [154].

Выведенные достаточные условия устойчивости и уравнения нейт­ рального равновесия не следуют из соответствующих соотношений несжимаемого тела при конечных докрнтических деформациях. Для теории малых деформаций изменение объема уже определяется не третьим инвариантом тензора деформаций Грина, а первым (1.63).

23

§ 8. Вариационные принципы в теории упругой устойчивости при малых докритических деформациях для сжимаемых тел

Рассмотрим трехмерное упругое анизотропное сжимаемое тело, упругий потенциал которого представляет собой дважды непрерывно дифференцируемую функцию компонент тензора деформаций Грина, при малых докритических деформациях. Ниже будем предполагать, что начальное состояние не зависит от времени. Кроме того, при фор­ мулировке всех вариационных принципов будем считать, что возму­ щения объемных и поверхностных сил не зависят от возмущений пере­ мещений и варьируемые функции являются необходимое число раз непрерывно дифференцируемыми.

Приведем необходимые в дальнейшем тождества, которые непосред­

Сформулируем вначале вариационные принципы для первого ва­ рианта теории малых начальных деформаций, когда варьируются лишь функции ит. Введем следующие функционалы:

Сформулируем и докажем вариационные принципы для статических и динамических линеаризированных задач. Если функции ит удов­ летворяют условиям (1.26), то из условия Стационарности функцио­ нала (1.89) следуют соотношения (1.43) и (1.44) для статических задач. Вычислим первую вариацию функционала (1.89). После несложных преобразований, учитывая первое тождество (1.88), выводим

24

Поскольку вариация ит независима, из условия стационарности функ­ ционала (1.89), условия (1.26) и выражения (1.92) следуют статические линеаризированные уравнения (1.43) и граничные условия (1.44).

Рассмотрим динамические граничные задачи. Если функции ит удовлетворяют условиям (1.26) и (1.27), то из условия стационарности функционала (1.90) следуют соотношения (1.43) и (1.44). Действитель­ но, вычислив первую вариацию функционала (1.90)

г

6/2(и) = — f f (V£co"«aPVpua -j- Хт— рит) бumdVdt +

оv

тт

+J f NiU^VfiUbdUndSdt — j [ PmbumdSdt —

Аналогично можно сформулировать и доказать вариационный прин­ цип для динамических смешанных задач. Если функции иП1 удовлетво­ ряют условиям (1.26) и (1.28), то из условия стационарности функцио­ нала (1.91) следуют соотношения (1.43) и (1.44). Действительно, по

— \iim (0, t) 6u„, (0, T — 01 |r=o} dV.

Из условий (1.26), (1.28) и условия стационарности функционала (1.91) выводим соотношения (1.43) и (1.44).

Таким образом, для смешанной динамической задачи вариацион­ ный принцип формулируется так: если величины Хт и Рт не зависят от ит, то среди всех непрерывно дифференцируемых необходимое чис­ ло раз функций удовлетворяющих условиям (1.26) и (1.28), только те функции сообщают функционалу (1.91) стационарное значение на интервале времени от 0 до Т, для которых имеют место соотношения (1.43) и (1.44).

Следует заметить, что граничные условия в перемещениях (1.26) не получались в качестве естественных граничных условий из вышепредложенных функционалов.

Ниже сформулируем и докажем вариационные принципы типа Ху Вашицу [651 для статических и динамических линеаризированных

25

и (1.27) для динамических граничных задач. Аналогично, вычисляя первую вариацию функционала (1.97)

61ь (t, V, U) = J \(^ ma',Vati — t,m) X — (Vm' — V,Um) X —(V / m +

+ Xm- p'um) X 8u„,IdV- 1 (Л//"‘ - я"1) x 6M 5 - 1 x

6/""dS - ( p (|«"‘ (0, i) 6um(0, 7 — 0 11,=T — \um(0, 0 &*„, (0, 7 —

из условия стационарности функционала (1.97) и выражения (1.100) получаем все линеаризированные соотношения .(1.41), (1.42), (1.33), (1.26) и (1.28) для динамических смешанных задач.

Для линейных задач теории упругости сжимаемых тел подобные принципы рассматривались в работах 11, 143, 153, 155J, а для линеа­ ризированных задач — в работах 128, 29, 63, 65, 69, 88, 149].

§ 9. Вариационные принципы для несжимаемых тел

Линеаризированные задачи несжимаемых тел при малых докрити-

ным, упругий потенциал которого является дважды непрерывно диф­ ференцируемой функцией компонент тензора деформаций Грина.

В случае «мертвых» нагрузок Хт и Рт среди дважды непрерывно дифференцируемых функций ит и рпри выполнении условия (1.26) для ит только те функции сообщают функционалу (1.101) стационарное значение, для которых имеют место соотношения (1.68) (без инерци­

27

варьируются компоненты тензора напряжений Рт, компоненты тензора vim, компоненты вектора ит и скаляр р, т. е. когда из условия стацио­ нарности соответствующих функционалов получаются уравнения дви­ жения, условия несжимаемости, уравнения состояния и граничные условия в перемещениях и напряжениях:

(^> V, р) — ^ К ntt^VaflVmi + g ln (б” V пиo’) pVml —’

Из условия стационарности приведенных функционалов [при вы­ полнении условий (1.27) и (1.28) соответственно для граничных и сме­ шанных динамических задач1 можно получить все соотношения (1.68), (1.69), (1.64), (1.66), второе равенство в (1.33) и (1.26) для статических и динамических линеаризированных задач несжимаемых тел при ма­

лых деформациях.

Для второго варианта теории малых докритических деформаций в

из соответствующих вариационных принципов линеаризированной теории конечных докритических деформаций, так как для малых де­ формаций изменение объема определяется первым инвариантом (1.63). Для конечных деформаций изменение объема определяется третьим ин­ вариантом (1.9) тензора деформаций Грина.

2Э

§ 10. Достаточные условия применения статического метода при исследовании устойчивости нелинейно-упругих сжимаемых анизотропных тел

Выведем достаточные условия применения статического метода при исследовании устойчивости деформирования нелинейно-упругих анизотропных и кусочно-однородных сред. Для этого представим сна­ чала величины, входящие в уравнения движения и граничные условия при конечных и малых деформациях, в виде:

получаем основные уравнения и граничные условия для первого ва­ рианта теории малых докритических деформаций:

(1.111) и (1.112) компоненты тензора {со} следует заменить компонента­ ми тензора {©}.

Непосредственной проверкой установим используемые в даль­

нейшем свойства симметрии тензоров (Л.}, {А.) и (со), компоненты кото­ рых входят в вышеприведенные линеаризированные соотношения.

откуда следует, что линеаризированные соотношения (1.32) при усло­ вии (1.40) для первого варианта теории малых деформаций не совпада­ ют с соотношениями для линейного неоднородного анизотропного те­ ла. Неоднородность получаем для неоднородных докритических со­ стояний.

Для величин Уяа& получаем:

Из равенств (1.114) следует, что линеаризированные соотношения (1.32) с учетом формул (1.40) и (1.46) для второго варианта теории ма­ лых деформаций по форме совпадают с соотношениями для линейно­ неоднородного анизотропного тела.

Для выражения o>inafi (1 36). учитывая (1.34) и (1.113), выводим:

30