книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций

g 12C23(l + у 2)

23 = С12 + у 2С23 ’

Здесь знаком «тильда» также отмечены эффективные упругие характеристики материала, но уже с противофазно искривленными волокнами.

Некоторые типы композиционных материалов не имеют четко выраженной синфазности или противофазности расположения волокон в смежных элементах. В этом случае приближенно оценить значения упругих констант материала с искривленными волокнами можно по моделям для композитов с противофазно или однофазно искривленными волокнами.

Эффективные КТР слоя, армированного искривленными во­ локнами, определяются с использованием тензорных зависимостей преобразования координат,

а п = ajjCOS2^ + «зз sin2 V'»

«33 = «п sinV + <*33cos2V>,

где а ..—КТР слоя с искривленными волокнами, а ..—КТР слоя с

прямыми волокнами, <р—угол наклона по отношению к продольной оси, <р = arctg tf>.

При малых искривлениях изменение КТР весьма незначитель­ но по сравнению с изменениями упругих характеристик.

6.5. Задача микромеханики для ячейки периодичности ортогонально армированных УУКМ

Рассмотрим последовательность решения термоупругой краевой задачи для композитной конструкции. Будем считать, что структура материала периодическая.

Первый этап—определение эффективных термоупругих свойств материала конструкции. Для этого необходимо решить последо­ вательность краевых задач теории упругости на ячейке с некоторыми наборами специально выбранных граничных условий. Каждый набор граничных условий позволяет определить отдельные компоненты тензора эффективных модулей упругости или тензора эффективных коэффициентов теплового расширения материала.

Второй этап—решение исходной краевой задачи для ком­ позитной конструкции с полученными эффективными свойствами.

В результате получаем значения макроскопических напряжений

идеформаций во всех точках конструкции. Это дает возможность определить наиболее опасные с точки зрения разрушения места

вконструкции.

На третьем этапе решения определяют микронапряжения и микродеформации в элементах структуры композита в опасных точках конструкции. При этом макроскопические деформации и (или) напряжения используют для задания граничных условий на ячейке периодичности композита. Это означает, что граничные условия на ячейке выбираются таким образом, что средние напряжения и деформации, получающиеся в ячейке, совпадают с макроскопическими напряжениями и деформациями в данной исследуемой точке композитной конструкции.

После определения структурных напряжений и деформаций производят оценку вероятности разрушения на микроуровне с использованием различных критериев прочности.

Описанная методика позволяет прослеживать развитие процес­ са разрушения. При этом после появления первых разрушенных элементов структуры производится уточненный расчет эффектив­ ных свойств разрушенных (частично или полностью) ячеек композита. А при расчете макронапряжений и деформаций на следующем шаге нагружения учитывается изменение эффективных свойств некоторых ячеек композита. Такие действия могут

из

производиться до полного исчерпания несущей способности ма­ териала.

Из рассмотрения общей методики расчета конструкций из композитов с периодической структурой видно, что основополага­ ющую роль в ней играет решение краевой задачи термоупругости на ячейке периодичности композита со специальными граничными условиями.

Размерность задачи на ячейке композита полностью опреде­ ляется схемой армирования композита. Если материал армирован волокнами, уложенными в разных направлениях, для получения адекватной картины распределения структурных напряжений и деформаций необходимо решать пространственную краевую задачу на ячейке периодичности.

Рассмотрим более подробно постановку термоупругой краевой задачи для ячейки периодичности композита со структурой типа 3.D. Структуру типа 2D подробно рассматривать не будем, так как она может быть легко получена из структуры 3D удалением волокна одного направления.

Во-первых, необходимо рассмотреть структуру материала и выделить его ячейку периодичности—минимальный элемент, из которого можно построить всю структуру. Для материала со структурой 3D полная ячейка периодичности представлена на рис. 6.4. Из рисунка видно, что ячейка представляет собой сложную многосвязную область. Численная реализация решения пространственной задачи теории упругости для такой области даже

при достаточно грубой дискретизации требует

дичносги композита будем понимать изображенную на рис. 6.5 упрощенную ячейку.

Пусть, например, решается задача теории упругости для микронеоднородного тела. Уравнения равновесия и граничные условия запишем в виде

где С..к1(г)—тензор модулей упругости, С/^г)—тензор перемещений в точке г(х.), Гу—часть границы, на которой заданы перемещения, Г5—часть границы, на которой заданы усилия, nj—вектор внешней

нормали к границе тела.

Полное решение этой задачи, в соответствии с работой [61], записывается в виде

а<*+1>

*>*,•••V (r)'

(6. 20)

где V . — и.(г)—поле «осредненных» перемещений, а —малый пара­

метр, к (|)—функция д-го уровня локальных координат

д = 0, мы получим теорию эффективного модуля. Однако с помощью теории эффективного модуля нельзя найти микропере­ мещения и микронапряжения. В то же время для применения этой теории необходимо знать эффективные характеристики композита, для точного определения которых необходимо найти локальные функции координат первого уровня. Но если эти локальные функции найдены, можно к решению, полученному по теории эффективного модуля, добавить член, состоящий из произведения локальных функций первого уровня на градиент этого решения. Тоща решение задачи (6.18), (6.19) запишется в виде

где v.(r)—решение задачи (6.18), (6.19) по теории эффективного

модуля.

Локальные функции первого уровня N.jk определяются из решения вспомогательной задачи на ячейке периодичности,

причем на ячейке периодичности выполнятюся условие

у

и условия отсутствия разрывов локальных функций при переходе из одной ячейки периодичности в другую. Тогда в соответствии с [61] тензор эффективных модулей упругости по найденным локальным функциям получаем простым осреднением:

Итак, тензор напряжений ст?. по теории эффективного модуля вычитсляется по формуле

dv,

* _ (1* _к

и~ v*/ дх; (6.24)

ас использованием локальных функций первого порядка—по формуле

эффективный тензор модулей упругости получается из тензора модулей упругости осреднением по ячейке периодичности:

°ijki - о & > -

Подставляя выражение (6.26) в (6.25), получаем

Очевидно мы получили запись закона Гука на микроуровне, причем сомножитель в квадратных скобках имеет смысл дефор­ мации. Итак, тензор деформации вычисляется по формуле

av•

Формула (6.28) дает связь осредненных деформаций -г-=- со

дх1

структурными деформациями с... Введем новую локальную функ­ цию

Тогда структурные напряжения и деформации будут определяться по формулам

- dvllr)

локальных функций N..k не обязательно. Переход к функциям М..к1 связан с тем, что их определение требует решения задач

на ячейке периодичности с обычными граничными условиями. Введем обозначение для осредненных деформаций

Тогда структурные деформации будут определяться соотношением

дичности макрооднородное деформированное состояние, т. е. зафиксировать все компоненты тензора е.., то компоненты

теории упругости на ячейке. Уравнения равновесия одинаковы для всех задач и имеют вид

Граничные условия для каждой задачи выбираются таким образом, что только одна из компонент постоянного тензора осредненных деформаций е.. отлична от нуля. Так как тензор деформаций

имеет шесть независимых компонент, то получится шесть краевых задач, отличающихся граничными условиями. После решения

компоненте екг

Рассмотрим теперь, какие конкретно граничные условия необходимо задать на ячейке периодичности, показанной на рис. 6.4, чтобы в каждом случае только одна из компонент тензора e.j отличалась от нуля. Все компоненты можно разделить на две

группы—линейные деформации еп , е22, е33 и деформации сдвига

е]2, е23, е13. Деформации, линейные в *-м направлении,

моделируются заданием на перпендикулярных к оси х. гранях

ячейки, показанной на рис. 6.4, постоянных перемещений в направлении внешней нормали. На других гранях нормальные перемещения равны нулю. Также равны нулю касательные усилия на всех поверхностях ячейки. Так как граничные условия симметричны, то можно перейти к упрощенной ячейке периодич­ ности, показанной на рис. 6.5. Пример выбора граничных условий для упрощенной ячейки показан на рис. 6.6.

Сдвиговые деформации моделируются более сложно, так как они связаны с изменением формы ячеек. Вид деформированной

ячейки периодичности при чистом сдвиге в плоскости 2 3 (т. е. только е23 = е32 * 0) показан на рис. 6.7.

Граничные условия на всех гранях ячейки задаются законом парности касательных напряжений и должны обеспечивать сохра­ нение плоскостности граней после деформирования. Осредненная деформация сдвига вычисляется по формуле

е23 = Д/(2 0 .

Решение каждой из шести задач позволяет также найти некоторые компоненты эффективного тензора жесткости С* •

Рассмотрим теперь постановку задачи для расчета эффективно­ го коэффициента теплового расширения композита со структурой 3D. Запишем физические уравнения, связывающие компоненты, напряжений сг„, деформаций е.. и перепад температуры ДТ

(разность между текущей температурой Т и температурой деформированного состояния TQ),

где ак1(г)—тензор структурных коэффициентов температурного

расширения.

Температурное поле ДГ(г) находится из решения задачи теплопроводности и для несвязной задачи термоупругости является заданной функцией. В дальнейшем при решении термоупругой задачи на ячейке будем считать, что температура одинакова во всех точках ячейки.

Учитывая соотношения Коши для малых деформаций и подставляя (6.35) в уравнения равновесия, получаем систему

рис. 6.5, выбираем так, чтобы грани ячейки оставались плоскими при изменении температуры. Если структура материала сба­ лансированная, т. е. изменение температуры не вызывает макро­ скопических деформаций сдвига, то нормальные перемещения

постоянны в пределах каждой грани ячейки. В этом случае касательные усилия равны нулю на всех гранях ячейки (рис. 6.5). Так как не известны ни нормальные перемещения, ни нормальные усилия, сразу моделировать в ячейке НДС, зависящее только от температуры, не удается. Для расчета эффективных КТР пред­ лагается следующий алгоритм:

1 ) на всех гранях ячейки задаются постоянные нормальные перемещения и нулевые касательные усилия;

2) производится расчет НДС ячейки с такими граничными условиями в условиях температурной деформации;

3) вычисляются осредненные (по граням) нормальные напря-

- п , ^22' 33’

4) для осредненных напряжений, так как эффективные модули упругости были определены ранее, можно записать

где е..—тензор осредненных макродеформаций;

5) осредненные напряжения (в левой части системы (6.37)) должны быть равны нулю, если действуют только температурные напряжения, что приводит к системе трех уравнений относительно неизвестных макроскопических деформаций е}1, е22 и е^;

6) решив систему относительно этих трех неизвестных, найдем компоненты тензора эффективных КТР а*, по формуле

а ' = (1M 7>W.

Для нахождения реальных структурных напряжений и дефор­ маций, вызванных изменением температуры, необходимо решить один раз задачу на ячейке периодичности при изменении температуры, например на один градус. Граничные условия теперь выбираются по известному эффективному КТР таким образом, чтобы присутствовали только температурные структурные напря­ жения и деформации. Рассчитанные напряжения и деформации в элементах структуры можно пересчитать для любой температуры, умножив их на действительный перепад температуры АТ. Это обусловлено линейной связью перепада температуры и темпера­ турных деформаций.

6.6. Метод граничных интегральных уравнений в задачах микромеханики УУКМ

Рассмотрим метод граничных интегральных уравнений для решения краевых задач теории упругости на ячейке периодич­ ности. Этот метод решения пространственной краевой задачи выбран из-за следующих преимуществ перед методами конечных элементов и конечных разностей: