книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdf6. Метод частотных характеристик
Метод частотных характеристик основывается на исследовании в уста новившихся режимах реакции системы на синусоидальный тестовый сигнал. При этом изменяют частоту входного сигнала во всем возможном диапазоне и анализируют изменение амплитуды и фазы выходного сигнала. Метод яв ляется альтернативой исследования систем во временной области и оценки устойчивости и качества САУ по расположению полюсов и нулей переда точной функции на комплексной плоскости.
6.1. Частотные передаточные функции
Частотная передаточная функция является важнейшей характеристи кой динамической системы управления. 6 теории автоматического управле ния она используется, когда необходимо получить частотные характеристи ки системы по ее передаточной функции.
Для однозначного преобразования некоторой непрерывной функции времени /(/) в функцию частоты о служит прямое преобразование (изо
бражение) Фурье [1,2]
+00
F ( M = \ f { t ) e - jm,dt . |
(6.1) |
-0 0
Частотной передаточной функцией системы называется отношение изображения Фурье ее выходной переменной к изображению Фурье входной переменной.
Если непрерывная функция времени равна нулю при t < 0, то частот
ная передаточная функция системы легко может быть найдена по ее переда точной функции при подстановке р = усо, где р - символ преобразования
Лапласа, т. е.
w m = w ( P) \ ^ j(a |
(6.2) |
Функция ИЧусо) может быть представлена в показательной форме или
в форме координат вектора на комплексной плоскости в следующем виде:
W(j<&) = A(a>)eMt0) = Re((o) + j lm(co), |
(6.3) |
где A(со) - модуль частотной передаточной функции;
<р(©)- аргумент или фаза частотной передаточной функции;
Re(co), Im(co) - соответственно вещественная и мнимая составляющие
частотной передаточной функции.
Из теории комплексных чисел [1,2] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:
Л(со) = д/яе2(со) + 1т2(со), |
(6.4) |
ф(со) = arctg— — . |
(6.5) |
Изменение модуля и аргумента частотной передаточной функции при изменении частоты входного сигнала дает полезную информацию, необхо димую для анализа и синтеза систем управления в частотной области.
Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристикиам плитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характери стика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
6.2. Частотные характеристики САУ
Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элемен тарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воз
действие в установившемся режиме. |
|
||
|
Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие: |
(6.6) |
|
|
*i =*i«sin(<»0> |
||
где |
Х [т - амплитуда; |
|
|
|
со |
- угловая частота этого воздействия. |
|
|
Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет |
||
также представлять собой гармоническую функцию: |
(6.7) |
||
|
х2 = х 2т Sin(ro/ + q>), |
||
где |
Х 2т -амплитуда; |
|
|
|
ср |
- угол сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к |
|
входному (сдвиг по фазе). |
|
||
|
С |
учетом введенных обозначений модуль частотной |
передаточной |
функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к ам плитуде входного в установившемся режиме, т. е.
(6.8)
а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной вели чины по отношению к входной величине на данной частоте.
Таким образом, амплитудная частотная характеристика (АЧХ) Л(ш) отражает изменение амплитуды выходного сигнала звена при пропускании звеном входного сигнала различной частоты. Фазовая частотная характери стика (ФЧХ) ф(со) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различ ных частотах входного сигнала.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится в по лярных координатах Л(со),ср(со) на комплексной плоскости Re(co), Im(co). Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующих частотной передаточной функции И'(усо) при изменении частоты от нуля до бесконечности.
На рис. 6.1 в качестве примера приведена АФЧХ динамического звена (фильтра) третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ откладывается вещест венная часгь Re(co), а по оси ординат - мнимая часть Im(co). Годограф опи сывает изменение амплитуды А(со) и фазы ср(со) выходного сигнала при из
менении частоты со входного сигнала. Заметим, что при изменении частоты от нуля до бесконечности амплитуда годографа уменьшается от некоторого ненулевого значения до нуля, а фаза выходного сигнала стремится к величи не -270° (вращение годографа против часовой стрелке принято положитель ным). Заметим также, что изменение частоты от нуля до минус бесконечно сти соответствует зеркальному отображению АФЧХ на комплексной плоско сти относительно оси абсцисс.
Рис. 6.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика дина мического звена третьего порядка
Диапазон изменения частоты со входного сигнала теоретически равен бесконечности. Поэтому часто при анализе и синтезе систем автоматическо го управления используются логарифмические частотные характеристики (диаграмма Боде^ - логарифмические амплитудные частотные характеристи- Ш (ЛАЧХ) и логарифмические Фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ),
когда по оси абсцисс круговая частота (со) |
откладывается в логарифмиче |
ском масштабе. При этом ЛАЧХ определяют выражением |
|
Цсо) = 20 lg|^(yco)| = 20 lg А(со). |
(6.9) |
Соотношения, связывающие модуль частотной передаточной функции Л(ш) и ее логарифмический эквивалент Дш), выражаемый в децибелах:
А(со) |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
Ю0 |
1000 |
Дш), дБ |
-60 |
-40 |
-20 |
0 |
20 |
40 |
60 |
В качестве примера рассмотрим простейшее инерционное звено (апе риодический фильтра 1-го порядка), описываемое передаточной функцией
W{p) =- ± - , |
(6.10) |
1 + 7 / 7 |
|
где Т - постоянная времени фильтра. |
|
Частотная передаточная функция этого звена |
|
1 |
(6.11) |
W(j(o) = |
1 + JcoT
Домножая числитель и знаменатель (6.11) на комплексно сопряженное знаменателю выражение и выделяя действительную и мнимую части, полу
чим |
|
|
|
|
|
|
|
W{jm) = Re(co) + j lm(co) = ----- - |
j |
а Т |
(6.12) |
||
|
|
|
1 + (соГ)2 |
1 + (юГ)2 |
|
|
или в показательной форме |
|
|
|
|||
|
W(J(o) = AeMm\ |
|
|
(6.13) |
||
гДе |
. |
1 |
- модуль частотной характеристики, |
|
||
А - |
I |
|
||||
|
|
VI + («оГ)2 |
|
|
|
|
|
|
Im(co) |
- -arctg(©7’) - аргумент частотной характеристики. |
|||
|
ср - arct g ^ ^ ^ |
|||||
|
Выражение для ЛАЧХ апериодического фильтра |
|
||||
|
Цсо) - 20 lgЛ(со) =20 lg-у - 1 |
=-Ю lg(l + (соТ )2). |
(6.14) |
|||
|
|
|
+ (соГ)2 |
|
|
|
ния ( . |
апеРиодического фильтра можно получить, используя выраже |
|||||
) или (6.13) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Она |
||||||
( ^М^ |
6 2) |
П0Л^0К^ ЖН0СТИ с центР°м в точке (1/2,0) комплексной плоскости |
||||
Рис.б.2.АФЧХ
апериоди4сскогозвена
6.3. Диаграмма Боде. Асимптотические частотные характеристики
На рис 6*3 приведена диаграмма Боде показанной выше частотной пе
редаточной функции (6.11) апериодического звена. Это диаграммы ЛАЧХ и ЛФЧХ, рассматриваемые в едином масштабе изменения частоты со.
Сплошными линиями на рис. 6.3 изображены фактические ЛАЧХ и ЛФЧХ, а пунктирными - так называемые асимптотические частотные харак
теристики.
Рис 6.3. Диаграмма Боде для частотной передаточной функции (6.11)
Частоту со = 1/7", при которой происходит изменение наклона асимпто тической ЛАЧХ, называют частотой излома или сопрягающей частотой. Для
рассматриваемого апериодического звена наклон асимптотической ЛАЧХ уменьшается на 20 децибел на декаду (-20 дБ/дск). Декадой называют рас стояние между двумя частотами, отличающимися в 10 раз. Заметим, что фак тическое изменение ЛАЧХ (см. рис. 6.3) на частоте излома со = МТ составит
20lg|W'(y(o)| = -101g2 = -3,01 дБ.
Фаза частотной характеристики апериодического звена на частоте из лома составляет половину максимального изменения, т. е. выходной сигнал на сопрягающей частоте отстает от входного сигнала на угол (р = -я /4 .
Основным преимуществом логарифмических частотных характеристик
и диаграмм Боде на их основе состоит в том, что сомножители вида
ОшГ 1), входящие в частотную передаточную функцию, позволяют легко строить ЛАЧХ и ЛФЧХ путем простого алгебраического сложения характе ристик, соответствующих каждому отдельному сомножителю.
Действительно, пусть частотная передаточная функция имеет доста
точно общий вид |
|
|
|
|
* П 0 |
+ > 7 )) |
|
И Ч » = --------- Q------------- ^ --------------------------------- • |
(6.15) |
||
( » * П О + |
к=\ |
+ (2^*7*)у(й + (ja>Tk)2] |
|
у»1 |
|
|
|
Эта передаточная функция имеет М отрицательных нулей, N полюсов в начале координат, Q отрицательных полюсов на действительной оси и R пар
комплексно-сопряженных полюсов. Выражение для ее ЛАЧХ имеет вид
I(co) = 2 0 lg |» 4 » | = 201gK + I201g|l+ym7’|-201g|_/cfl|w - |
|
||||
Q |
|
R |
^ |
I |
(6.16) |
- I |
2016|1 + усоГ,|- I |
20ldl + (2^7*);ш + (/й»Г*)2 • |
|
||
y=l |
1 |
1 *=l |
1 |
1 |
|
ЛФЧХ САУ получается аналогично путем алгебраического сложения характеристик, соответствующих ЛФЧХ отдельных сомножителей, т. е.
<р = Iarctg(©r,) - |
N{~) - |
I |
arctg(a>7\) - I arctg |
(6.17) |
<=i |
2 |
/=i |
*=i |
l-<a»7i)2 |
Диаграммы Боде служат для оценки абсолютной устойчивости и отно сительной устойчивости системы (запасов устойчивости по модулю и фазе). Они применяются также для синтеза САУ методом частотных характеристик [1-5], определения полосы пропускания, резонансных частот и др. Кроме того, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно определить передаточную функцию системы (идентифицируемая САУ пред положительно должна принадлежать классу линейных систем управления).
-20дБ/дек, а на частотах излома, соответствующих нулям передаточных функций, происходит подъем ЛАЧХ на 20 децибел на декаду (+20 дБ/дек). При этом интегрирующее звено в передаточной функции разомкнутой ЛАЧХ обеспечивает линейное спадание ЛАЧХ с наклоном -20 дБ на декаду, а диф ференцирующее звено - линейный подъем ЛАЧХ на +20 дБ на декаду.
Таблица 6.1
Асимптотические частотные характеристики типовых сомножителей
частотных передаточных функций
При построении асимптотических фазовых частотных характеристи принимают, что на частотах излома, соответствующих полюсам передаю1 ных функций, фазовое запаздывание соответствует -45°, а на частотах излс
ма, соответствующих нулям передаточных функций, опережение по фазе со ставляет +45* Таким образом, общий фазовый сдвиг, вносимый соответст
венно нулями и полюсами, соответствует ±90* на две декады.
На низких частотах, определяющих установившиеся режимы работы САУ, фазовый сдвиг определяется наличием и числом интегрирующих и дифференцирующих звеньев. При их отсутствии фазовый сдвиг равен нулю. На высоких частотах фазовое запаздывание равно разности полюсов и нулей, умноженной на 90*
Для основных типовых сомножителей передаточных функций асим птотические частотные характеристики приведены в табл. 6.1.
7. Устойчивость линейных систем управления
Устойчивость САУ - одно из необходимых, но не достаточных усло вий ее функционирования. Проблема неустойчивости системы, как правило, обусловлена стремлением обеспечить качество САУ (достаточное условие функционирования) за счет введения корректирующих звеньев и обратных связей по контролируемым координатам. Вместе с тем, в ряде случаев имен но введение обратной связи делает устойчивой систему, неустойчивую в ра зомкнутом состоянии.
Поскольку большинство реальных САУ являются нелинейными, то не обходимо четко представлять, когда оценка устойчивости линеаризованной модели системы является правомочной. А. М. Ляпуновым сформулированы следующие условия устойчивости системы по ее линеаризованной модели:
1) если линейная система устойчива, то устойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут изменить ее устойчивости;
2) если линейная система неустойчива, то неустойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут сделать ее устойчивой;
3) если линейная система находится на границе устойчивости, то су дить об устойчивости реальной САУ нельзя и необходим анализ отброшен ных при линеаризации членов.
Необходимо различать устойчивость “в малом” и устойчивость “в большом” Система является устойчивой “в малом”, если она обладает огра ниченной реакцией на ограниченное входное воздействие (задающее или возмущающее). Система устойчива “в большом”, если она устойчива при любых значениях входных воздействий.
7.1. Характеристическое уравнение линейной САУ
Устойчивость линейных систем не зависит от величины входных воз действий. Если линейная система устойчива, то в такой системе свободный (собственный) процесс, как отмечалось в разделе 5.2, с течением времени стремится к нулю.
Свободный процесс определяется решением однородного дифферен циального уравнения, описывающего замкнутую линейную систему, или корнями характеристического уравнения передаточной функции замкнутой САУ
Дифференциальное уравнение свободного движения одномерной ли нейной системы имеет вид