книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени

ЗАДАНИЯ ПО ТЕМАТИКЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ИЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

1.Практическое занятие (семинар) «Основы линейного регрессионного анализа».

Изучить методы идентификации одномерных и многомерных объектов на основе линейной регрессионной модели.

Идентифицируйте систему первого порядка y(k +1) = ay(k ) + bu(k) ,

используя линейную регрессию на основе следующих данных о входе и выходе:

2. Практическое занятие (семинар) «Методы идентификации динамических систем».

Рассмотреть примение линейного регрессионного анализа для идентификации линейных динамических объектов.

3. Практическое занятие «Методы идентификации динамических систем».

Изучить подходы к решению задачи идентификации нелинейных систем.

101

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

При исследовании идентификационных моделей решаются следующие задачи:

–планирование эксперимента;

–оценка адекватности модели объекту исследования;

–моделирование идентификационных моделей.

3.1. ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА

По способу тестирования различают активные и пассивные методы идентификации [4, 9].

Пассивным экспериментом называют эксперимент, в котором регистрация входных и выходных данных осуществляется в рабочем режиме без дополнительных вмешательств. Он применяется тогда, когда структура модели хорошо известна и ее адекватность не вызывает сомнений (когда решаются задачи параметрической идентификации).

При использовании пассивных методов объект находится в условиях нормального функционирования и параметры модели отыскиваются по результатам статистической обработки наблюдений. Преимуществами этого подхода является отсутствие необходимости проводить специальные исследования объекта, достаточно лишь измерения наблюдаемых сигналов в режиме рабочего функционирования объекта с последующим расчетом параметров модели. Недостатками такого подхода являются значительные временные затраты на сбор и необходимую статистическую обработку данных и жесткие требования к частотному спектру входного воздействия: он не должен быть меньше частот динамической характеристики идентифицируемого объекта.

Активный эксперимент предполагает особую программу проведения наблюдений – таких, что позволяют по результатам исследований дополнительно оценить структуру модели [5, 7]. В активных методах на вход объекта подаются специально сформированные воздействия – тестовые сигналы – детерминированного или случайного характера. Достоинствами этого подхода являются минимальные требования к априорным сведениям об объекте, целенаправленный характер идентифика-

102

ции, и, как следствие, уменьшение временных и материальных затрат на проведение эксперимента.

Факторами активного эксперимента называют переменные, по которым возможно проводить управление и которые участвуют в построении модели хi.

Каждый из факторов может принимать различные значения, которые называются уровнями. На практике количество уровней – это беско-

нечное количество или непрерывный ряд уровней xi [x0i , xni ]. В теории активного эксперимента этот ряд дискретизируется и выбираются отдельные уровни [xi0 , xi1, xi 2 ] .

Фиксированный набор уровней называется состоянием факторов. План – это программа проведения эксперимента, позволяющая использовать все факторы на всех уровнях. Если план содержит всевозможные сочетания факторов и уровней, то такой план называют полным. Если р – общее количество уровней; k – количество факторов, то полный план эксперимента будет включать в себя следующее количест-

Пример. Если k = 3, р = 4, то N = 43 = 64 – план эксперимента. Полный план позволяет построить адекватную модель, но требует

большого количества экспериментов, поэтому на практике применяют усеченные планы, так называемые дробные планы, которые имеют меньшее количество экспериментов, чем полный план, но с достаточной долей точности могут определить адекватность модели.

Любая модель определяется по формуле

где M = U UT называется информационной матрицей.

В зависимости от способа минимизации информационной матрицы выделяют следующие планы:

– D-план. План эксперимента, при котором выбор информационной матрицы определяется по принципу минимизации определителя –

min det Mi .

i

– А-план. План эксперимента, при котором минимизируется след

матрицы – min trMi .

i

103

– Условием задания Е-плана является выбор плана таким, чтобы максимальное собственное число матрицы М было минимальным –

min max tλ (M ).

i

На практике чаще строятся D-планы. Основным условием D-плана является то, что план будет отвечать условию оптимальности, если информационная матрица М будет диагональной.

Соответственно, полный план будет иметь вид

23 = 8

Тогда с учетом этого условия выбирается некий дробный план

23 – 1 = 4

т.е. откидываем любую переменную x3 и план уменьшается на 4 единицы. Для оставшихся двух переменных строится полный план, а x3 = x1 x2 .

Построенный по такому принципу D-план отвечает условиям D-оптимальности, при этом переменная x3 называется генератором дробного плана.

Для двухуровневой системы количество экспериментов равно 2k – N, где N < k, а оставшиеся генераторы плана составляются как результаты поэлементного умножения основных факторов, при этом количество множителей составляет от 2 до N – k.

104

Пример: 26 – 4

Выбор двух уровней из непрерывного ряда уровней

xi [x0i , xni ]

при –1 – начало уровней x0i; +1 – конец уровней xni.

Следует отметить, что в практических задачах идентификации, вчастности в построении идентификационных моделей управляющих систем реального времени, возможность варьирования входными переменными (а именно это и представляет собой активный эксперимент) резко ограничена в основном конструктивными особенностями объекта, поэтому идентификация моделей проходит наоснове пассивногоэксперимента.

3.2. ОЦЕНИВАНИЕ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛЕЙ

После того как модель построена, необходимо удостовериться в ее качестве. С этой целью выполняют проверку адекватности модели процессу, объекту или явлению, для которых она построена.

Проверить адекватность модели – значит установить, насколько хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько качественно она будет прогнозировать развитие данных процессов. Проверка адекватности проводится на основании некоторой экспериментальной информации, полученной на этапе функционирования системы или при проведении специального эксперимента, в ходе которого наблюдаются интересующие процессы.

Проверка адекватности заключается в доказательстве факта, что точность результатов, полученных по модели, будет не меньше точности расчетов, произведенных на основании экспериментальных данных.

Основным методом оценивания адекватностей моделей является регрессионный анализ. В основе регрессионного анализа лежит исследование уравнения линейной регрессии.

105

Рассмотрим основные понятия регрессионного анализа [37–39]. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить,

соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для проверки значимости выдвигают нулевую гипотезу о надежности параметров.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое требует проверки по имеющимся данным.

Нулевая гипотеза H0 – это основное проверяемое предположение,

которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п. Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку производят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.

При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов:

1)можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

2)можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).

Допустимая вероятность ошибки первого рода может быть равна

5 или 1 % (0,05 или 0,01).

Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск возможности допустить ошибку и отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

106

1-й уровень – 5 % ( α = 0, 05 ), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе для каждого эксперимента;

2-й уровень – 1 % ( α = 0, 01), т.е. допускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

3-й уровень – 0,1 % ( α = 0, 001), т.е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи.

Статистика критерия – некоторая функция от исходных данных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза. Чаще всего статистика критерия является числовой функцией.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипотеза, называется критерием проверки данной гипотезы.

Статистический критерий – это случайная величина, которая служит для проверки статистических гипотез.

Критическая область – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу отвергают. Область принятия нулевой гипотезы (область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают. При справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что статистика критерия попадает в область принятия нулевой гипотезы, должна быть равна 1.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

–задается допустимая вероятность ошибки первого рода α = 0, 05;

–выбирается статистика критерия;

–ищется область допустимых значений;

–по исходным данным вычисляется значение статистики;

–если статистика критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее – делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе),

ав противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

Анализ качества идентификационной модели на основе уравнения линейной регрессии начинают с расчета (идентификации параметров) данного уравнения. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам, поэтому следующая важнейшая оценка –

107

проверка качества уравнения регрессии. В регрессионном анализе принята схема такой проверки, которая проводится по следующим направлениям:

–проверка общего качества уравнения регрессии (проверка адекватности модели):

–проверка значимости коэффициента множественной корреляции;

–проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии

При анализе адекватности уравнения регрессии (модели) исследуемому процессу возможны следующие варианты:

1. Построенная модель на основе F-критерия Фишера в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов незначима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.

3. Модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. Модель полностью считается неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

Проверить значимость (качество) уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа.

Пусть оценивается адекватность одномерной линейной модели

108

Для проведения регрессионного анализа определяются следующие статистические характеристики:

– Сумма квадратов, обусловленная регрессией,

Сумма квадратов, обусловленная регрессией QR , показывает, что участвующая в ней величина ymi определяет k линейных связей между наблюдениями y1, y2 , …, yN , так как в нее входит k оценок коэффициентов a1, a2 , …, ak , определенных по тем же наблюдениям. Кроме того,

yопределяет одну линейную связь между ними.

–Число степеней свободы для QR

i=1

где yi – значения выходной переменной объекта.

Остаточная сумма квадратов Qост отражает влияние всех тех причин рассеивания результатов y, которые не может объяснить регрессия.

109

Для вышеприведенных сумм квадратов справедливо следующее выражение:

– общая (полная) дисперсия:

110