книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

УДК 624.04

Сэбелев В .Г ., Чаплинский И.А., Канышев Ю.И. Метод конечных вдементов в расчетах сложных строительных конструкций: Учебное пособие. - Новосибирск: НИСИ, 1989. - 92 с.

В учебной пособии дано систематическое и логически последо­ вательное изложение теории метода конечных элементов применитель­ но к задачам расчета линейно деформируемых систем. С позиций об­ щей теории освещается особенности расчета систем с одномерными (стержневыми) и двумерными (пластинчато-оболочечными) конечными элементами. Особое внимание уделено способам и методике построе­ ния матриц жесткости элементов. Приведены примеры расчета различ ных, в том числе комбинированных пластинчато-стержневых, строи­ тельных конструкций. Показаны возможности использования суперэле­ ментов для расчета сложных систем.

Пособие предназначено для студентов строительных специально­ стей вузов, включая САПР и ЦИПС, а также для слушателей ШК.

Рецензенты: кафедра строительной механики Новосибирского ордена Трудового Красного Знамени института инженеров железнодорожного транспорта, зав . кафедрой заслуженный деятель науки и

техники FC4CP лауреат Государственной премии д .т .н . профессор 11.Х.Ахметаянов

зав . кафедрой теоретической механики и сопротив­ ления материалов Новосибирского ордена Трудового Красного Знамени электротехнического института заслуженный деятель науки.и техники РСФСР лауреат Ленинской премии д .т .н . профессор Г.С.Мигиренко

Новосибирский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный институт им. Б.В.Куйбышева, *980.

В В Е Д Е Н И Е

Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время приобрел ста­ тус одного из наиболее разработанных и мощных средств решения раз­ личных линейных и нелинейных задач статики, динамики и устойчивос­ ти инженерных конструкций [1-4 и д р .]. Более того, зародившись первоначально как метод расчета напряженно-деформированного состо­ яния упругих тел, впоследствии МКЭ был осмыслен и развит как мате магический метод численного решения краевых задач в теории диффе­ ренциальных уравнений. Эта историческая особенность отражается в том, что в математической литературе по теории метода для иллюстра­ ции основных понятий и положений используются примеры и терминоло­

плодотворно соединяет в себе идеи классических методов строитель­ ной механики стержневых систем (то есть систем, дискретных по сво­ ей природе, состоящих из соединенных друг с другом элементов ко­ нечных размеров) с математическим аппаратом и методами механики деформируемого твердого тела. Рассчитываемое сооружение предвари­ тельно подвергается условному разделению на части, имеющие, как правило, простую форму и конечные размеры, после.чего для совокуп­ ности конечных элементов составляются уравнения, аналогичные по смыслу каноническим уравнениям классических методов - сил, переме­ щений или смешанного - в зависимости от избранного варианта реше­ ния. При этом напряженно-деформированное состояние конечных эле­ ментов исследуется методами теории упругости, а з более общей пос­ тановке - по уравнениям теории пластичности и ползучести.

Возможности метода конечных элементов могут быть реализованы в полной мере только при использовании ЭВМ [б , 7J . На его основе создан ряд универсальных программных комплексов (ЛИРА, СПРИНТ, РИ-

ре строительной механики НИСИ опыта преподавания данного раздела курса теории сооружений студентам строительных специальностей и слушателям <ШК, авторы сделали акцент на возможно более последова­

ретных (стержневых) систем, особенно с методом перемещений. Так, в начале дается вывод основных уравнений, затем подробно рассмат­

риваются способы определения коэффициентов и свободных' членов урав­ нений, далее освещаются вопросы определения искомых усилий и напря­ жений в рассчитываемой системе и, наконец, приводятся некоторые сведения по учету особенностей расчета сложных строительных конст­ рукций* и другие данные, направленные на углубление представлений о методе КЭ.

Из приводимых примеров часть относится к построению матриц жесткости ряда наиболее распространенных типов КЭ, а другие пред­ назначены для иллюстрации всего процесса расчета конструкции мето­ дом КЭ q применением ЭВМ. В первой группе примеров особое внимание уделено технике формирования матриц жесткости КЭ различными спосо­ бами, с подробным объяснением тех этапов решения, которые, как по­ казывает практика, представляют наибольшие трудности для впервые изучающих ШЭ. Во второй группе примеров рассмотрены такие задачи, где, с одной стороны, наглядно проявляются достоинства и возмож­ ности МКЭ, например, в расчетах комбинированных пластинчато-стерж­ невых систем , а с другой стороны, выбраны не слишком громоздкие системы, чтобы сугубо технические вопросы,.такие, как операции над матрицами высоких порядков, не становились препятствием для пони­ мания сущности решаемой задачи.

I . ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Поскольку любую инженерную конструкцию можно рассматривать как частный случай деформируемого континуума, то в этой главе все теоретические положения и выводы строятся для трехмерной (простран­ ственной модели линейно деформируемого тела (ЛДГ). Испольэуе-

мое в дальнейшей понятие "тело" относится к любому объекту (систе­ ме в целой или ее части), обладающему физической, геометрической и конструктивной линейностями [ 8 ] . Предполагается, что читателю известны основные свойства ЛДТ (малость перемещений, применимость Принципа суперпозиции и д р .), а также энергетические теоремы и ва­ риационные принципы механики в приложении к ЛДТ ^9, 10J

I . I . Задача определения напряженно-деформированного состояния теле и ее решение в конечномерной постановке

Имеется линейно деформируемое тело с заданными размерами и

полную систему дифференциальных уравнений механики сплошной среды (статических, совместности деформаций и физических) либо разреша­ ющие уравнения Ламе (решение в перемещениях) или Бельтрамн - Мит­ челла (решение в напряжениях) . Получение точных (замкнутых) решений путем интегрирования дифференциальных уравнений с учетом статических и кинематических граничных условий возможно лишь в простейших случаях. В расчетах реальных конструкций приходится вво­ дить некоторые упрощения, рабочие гипотезы, например, гипотезы плоских сечений для стержней или Кирхгоффа-Дяга для пластин и обо­ дочек, и применять различные численные методы.

b

казаны нагрузки лишь в одном

i-OM узла.

Переход от заданных нагрузок к расчетным возможен двумя спо­ собами:

1) статически эквивалентным преобразованием нагрузок на участ­ ка* между узлами;

2 ) расчетом по формулам, подученным из условия энергетической еквивадентности заданных воздействий и расчетных узловых нагрузок.

В ряде случаев, например, при правильной сетке узлов, оба споррба могут давать одинаковые результаты. Первый способ более пррстой, а рторой - более универсальный» позволяющий учитывать не толь­ ко е&даныые силовые воздействия, но также изменения температуры, смещения свлвеЙ, неточности изготовления и начальные напряжения. Подробное описание методики определения расчетных узловых нврруерк дано в главе 3.

Нагрузки и перемещения для t -го узла характеризуются некто*

ствующими друг другу обобщенными внешними силами и перемещениями, Размерности векторов F и {Г одинаковые. В случае необходимости кроме линейных перемещений узла могут определяться такие и углы, йо-

а затем определить деформации и напряжения в теле. Число искомых

упругих свойств тела, а также расположением и порядком нумерации узлов и структурой векторов F и f (количеством и последователь-

?

костью записи их компонентов).

Матричное уравнение ( 1 .6) представляет собой запись системы

температурного линейного расширения материала). Основной трудностью в переходе от перемещений узлов к деформациям является то, что при­ менить дифференциальные ‘зависимости Коши можно лишь тогда, когда известно, по какому закону изменяются перемещения а , !Г и UT меж­ ду узлами. Но для этого нужно иметь точное решение, от подучения которого мы отказались, изменив постановку задачи. Выход из поло­ жения состоит в использовании приближенного описания (аппроксима­ ции) распределения перемещений между узлами. Выбор удачных аппрок­ симаций перемещений составллёт одну из главных проблем метода ко­ нечных элементов, о чем будет сказано ниже.

Когда некоторое описание межуэловых перемещений выбрано, опре­ деление деформаций и напряжений выполняется достаточно просто.

Все вышеизложенное представляет собой принципиальную схему ре­ шения задачи в перемещениях. Теоретически возможны иные варианты решения - в напряжениях и смешанный. Но наиболее приспособленным для полностью’ автоматизированного расчета конструкций с применени­ ем ЭВМ является решение в перемещениях, которое в дальнейшем и рас­ сматривается.

нутой поэлементной записи матриц любого вида, как это принято в ос­

1 .2 . Уравнения метода конечных элементов в перемещениях

Для получения уравнений используем один из основных энергети­ ческих принципов механики деформируемого тела - вариационный прии-