книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

ходов на восстановление повреждений, которые могут произойти в его элементах. Чтобы риск был одинаковым для всех сооружений данного комплекса, необходима большая сейсмостойкость сооружений более высокой ка­ тегории с более длинным сроком службы.

При одинаковой сейсмостойкости района строитель­ ства расчетная сейсмостойкость сооружений должна быть дополнительно установлена с учетом указанных выше показателей, а также с оценкой степени опасности, которая возникает при разрушении конструкций во вре­ мя землетрясения. Ввиду этого задача об оценке надеж­ ности таких конструкций и методика решения существен­ но отличаются от обычных методов, определения надеж­ ности зданий.

Задача о надежности сейсмостойких-сооружений фор­ мулируется с учетом того, что в процессе землетрясения сооружения находятся под воздействием специфических внешних сил, интенсивность которых даже в простейшем случае определяется двухзначно: для данной строитель­ ной площадки определяется наибольшая возможная ин­ тенсивность землетрясений и наиболее вероятная интен­ сивность. Обе эти интенсивности, к сожалению, не могут определяться независимо от конструктивных особен­ ностей и свойств сооружения, а также и от тех возмож­ ных повреждений, которые возникают в сооружении во время землетрясения.

В отдельных случаях представляется необходимым сделать расчеты конструкций с учетом значительно боль­ шего числа уровней интенсивности. Вероятностный под­ ход к определению сейсмической нагрузки требует раз­ работки специальной теории надежности конструкций. Надежность сейсмостойких конструкций рассчитывают условно в соответствии с принятым уровнем сесмического воздействия. Возникает понятие об ограниченной на­ дежности, соответствующей определенному отрезку вре­ мени эксплуатации и вероятному уровню интенсивности внешнего воздействия. Используя теорему Бейеса приме­ нительно к различным возможным уровням интенсив­ ности землетрясения для данной строительной площадки и специфическим конструктивным схемам, определя­ ется их надежность. В такой постановке задачи исполь­ зование конечных элементов помогает довести решение до численных результатов.

За последнее время в практику расчета сооружений и машин все чаще вводится статистическое понятие о не­ избежном риске, которому подвергается данная кон­ струкция в условиях эксплуатации. Понятие риск обыч­ но характеризуется величиной (статистической) вероят­ ности того, что конструкция при (N + 1) -нагружении будет повреждена. Хотя при N-нагружениях статистиче­ ский ансамбль, составленный из этих конструкций, вы­ держивает заданную нагрузку. В соответствии с этим определяется функция риска r(N); она представляет со­ бой вероятность повреждения (отказа) в статистическом ансамбле при N-нагружении, т. е. p(N), которую следует поделить на процент конструкций, сохранившихся не по­ врежденными в этом ансамбле при N-м цикле нагруже­ ния L (N ) :

Зависимость между функцией надежности L (N ) и функцией риска г (N) получается интегрированием уравнения (8.14)

После подстановки пределов переменное интегриро­ вание z исключается, что позволяет определить надеж­ ность как функцию числа (N) нагружений.

При однократном нагружении до предельной нагруз­ ки функция риска превращается в постоянное число, ко­ торое не зависит от числа нагружений или времени экс­ плуатации. Однако при циклическом нагружении, кото­ рое возникает при землетрясении, функция риска увели­ чивается с «возрастом» конструкции.

При землетрясениях возникает комбинирован случай и поэтому риск определяется как сумма

По формуле (8.18) можно вычислить надежность слож­ ного сооружения, опираясь на статистическую величину риска г (N), который должен быть установлен экспери­ ментально, опираясь на статистический опыт, накоплен­ ный при эксплуатации различных сооружений. Хотя в этом направлении ведутся работы и в СССР, и за рубе­ жом, статистических данных пока недостаточно, и поэто­ му го и /ч (N) пока придется определять путем исполь­ зования данных, полученных в других областях.

8.6. Величина риска

При решении многих инженерных задач приходится определять тот риск, который возникает как результат облегчения той или иной конструкции. Риск определяет­ ся на основе обработки статистическими методами боль­ шого числа наблюдений. Величина риска зависит от ожидаемой выгоды.

Повышение величины риска приводит к снижению расходов на создание той или иной конструкции и к уве­ личению ожидаемой выгоды. Но вместе с тем это повы­ шение может повлечь за собой разрушение конструкции в более короткий срок. Поэтому определить величину риска — задача весьма ответственная, она может быть правильно решена только с помощью глубокого статис­ тического анализа. Функциональная зависимость между

величиной риска и ожидаемой выгодой выражается не­ линейным законом (рис. 94). Кривая, построенная на этом рисунке, делит координатную плоскость на две час­ ти. По правую сторону от кривой расположены значения, которые могут быть при известных условиях приняты (эта область на рис. 94 заштрихована). Точки, располо­ женные по левую сторону от кривой, относятся к непри­ емлемым значениям.

Рассмотрим подробнее физический смысл числового выражения риска. Наиболее полные статистические дан­ ные есть для риска, которым характеризуются несчаст­ ные случаи в разных областях производства. Так, риск, характеризуемый числом 10~3 случаев на одного челове­ ка в год, является совершенно неприемлемым. Уровень риска 1(Н требует принятия мер и может быть принят только в том случае, если нет другого выхода. Для аме­ риканских условий риск в автомобильных авариях дости­ гает уровня 2,8*10-4. Но уже уровень риска 10-5 соот­ ветствует естественным случайным событиям, как, на­ пример, несчастные случаи при купании в море, для ко­ торых риск исчисляется 3,7-10—5. Несчастные случаи, обусловленные риском 10-6, относятся к такому уровню, на который реакция более спокойная, так как считается, что избежать этот риск может каждый, кто соблюдает элементарные правила предосторожности.

Таким образом, величина риска может быть вполне определенно установлена для каждой конструкции с уче­

том срока службы и значения для общей прочности все­ го сооружения, а также стоимости и срока восстановле­ ния и т. д.

Последствия, возникающие в результате разрушения плотины, целесообразно сравнить с разрушениями, которые возникают в других областях. Очень часто для оценки риска принимается частота возникновения раз­ рушения, т. е число случаев разрушения плотин в год и число несчастных случаев, которые вызваны этой ава­ рией. Такое сравнение было сделано американскими учеными. Результаты его показаны на рис. 95. Из гра­ фиков видно, что кривая, соответствующая разрушени­ ям плотин, располагается ниже остальных, поэтому нет оснований принимать для плотим в целом меньший риск, чем для других событий. Однако в плотинах и других гидротехнических сооружениях отдельные кон­ струкции имеют сокращенный срок эксплуатации, и стоимость их восстановления дешевле, поэтому для этих конструкций риск может быть повышен.

8.7.Принцип сбалансированного риска

Как известно, в состав крупных строительных ком­ плексов очень часто входят весьма ответственные объек­ ты. Например, в гидротехническом узле есть плотины и менее существенные объекты — здания, трубопроводы и т. д.

Для каждого типа объектов получается различная степень ответственности в случае аварии при землетря­ сении. Однако при расчетах надо установить одинаковую величину риска для всех объектов; поэтому для каждо­ го объекта устанавливается категория, отражающая его значение с точки зрения возможных последствий при его разрушении во время землетрясения. Для зданий кате­ гории устанавливаются в зависимости от среднего числа людей, ежедневно находящихся в нем и подвергающихся риску. Для гидротехнических сооружений такой подход будет недостаточно правомерным. При разрушении пло­ тины во время землетрясения риску будут подвергаться люди, находящиеся на значительном расстоянии от пло­ тины (ввиду возникновения зоны затопления). Необхо­ димо учитывать срок службы каждого объекта, так как при малом сроке службы за этот период землетрясения не произойдет, и вероятный риск значительно снижает­

ся. Для объекта с длинным сроком службы возникает большая вероятность того, что за этот период произой­ дет землетрясение большой интенсивности, и поэтому для таких объектов расчетная интенсивность землетря­ сения должна быть повышена при сохранении принятой степени риска.

Принцип сбалансированного риска требует того, что­ бы все объекты, входящие в состав гидротехнического узла, проектировались на одинаковую степень риска. Поэтому сейсмостойкость каждого объекта при постоян­ ном риске для всего гидротехнического узла будет раз­ личной; она зависит от срока службы, значимости объекта и расходов на восстановление. Применение сба­ лансированного риска требует, чтобы при расчете на сей­ смостойкость каждого объекта была определена расчет­ ная интенсивность землетрясения с учетом тех требова­ ний, которые были сформулированы выше н которые обеспечивают получение одинаковой степени риска для объектов гидротехнического узла.

Для определения расчетной интенсивности землетря­ сений существенное значение имеет так называемый пе­ риод повторяемости. Для сильных землетрясений период повторяемости больше, чем для слабых; поэтому вероят­ ность возникновения сильного землетрясения для объ­ екта с малым сроком эксплуатации будет невелика, со­ ответственно уменьшается и степень риска.

Расчет целесообразно выполнить на два уровня ин­ тенсивностей; во-первых, следует оценить наибольшую возможную интенсивность для данной строительной пло­ щадки и, во-вторых, наиболее вероятную интенсивность землетрясения (при одинаковой степени риска для каж­ дого объекта, входящего в гидротехнический узел).

8.8. Пример

Рассмотрим гравитационную плотину, состоящую из двух объектов. Основным сооружением является железо­ бетонная плотина, у которой имеется металлическая надстройка.

Для каждого из этих объектов определим расчетную сейсмическую интенсивность по формулам (8.18). При­ чем, сейсмичность и период повторяемости для обоих объектов будут одинаковы. Степень риска, характеризуе­ мая числом г = 2, является постоянной. Плотина — объ­

ект ответственный, поэтому расходы на ее восстановле­ ние при разрушении в результате землетрясения во мно­ го раз больше первоначальных затрат; применяя МКЭ, найдем D/Ло=25; по тем же причинам антисейсмические мероприятия потребуют больших расходов. Период пов­ торяемости, который характеризуется обратной величи­ ной 1//С=104, довольно большой. Второй объ­ ект, т. е. металлическая надстройка, рассчитанная по МКЭ, имеет £/Л 0=2,5, т. е. расходы на ее восстановле­ ние значительно меньше. По формулам (8.18) получим: для плотины #1=0,32. для надстройки #2=0,18 или

#2/1/1=0,18/0,32 « 0,6.

Это значит, что при одинаковом риске надстройку можно рассчитывать на интенсивность землетрясения, которая составляет 60% той, на которую рассчитана плотина.

8.9. Применение конечных элементов в теории регулирования усилий в сооружениях

Регулирование усилий в сложных сооружениях поз­ воляет получить наиболее рациональные конструктив­ ные решения. Однако обычно это выполняется путем изменения жесткостей элементов сооружения. МКЭ по­ зволяет расширить эту задачу. С помощью этого метода можно учесть влияние изменения физических парамет­ ров упругого основания на распределение усилий в сооружении и таким путем найти оптимальное ре­ шение.

Поясним схему рассуждений на примере силосного корпуса железобетонного элеватора, представляющего собой жесткое сооружение. Фундаментная плита его рас­ полагается, как правило, на естественном основании. При определении толщины плиты и ее армирования в расчет принимаются реакции упругого основания. Эти реакции представляют собой силы взаимодействия, воз­ никающие между плитой и основанием. Величина их за­ висит от жесткости плиты и от физических параметров основания. В предыдущих главах были рассмотрены способы определения реакций основания для разных мо­ делей ^упругого основания. Для многих моделей упругого основания, как известно, возникает эффект концентра­ ции реакций основания к краю фундаментной плиты. Из-за этого происходит невыгодное распределение нз-

гибающих моментов в поперечных сечениях фундамент­ ной плиты. Расход арматуры в фундаментной плите увеличивается. Такое решение не является оптимальным.

Более благоприятное распределение реакций основа­ ния можно создать, если изменить жесткость основания. Наибольшая неравномерность реакций возникает, когда грунт основания имеет большую жесткость. Реакции можно выравнить, если между грунтовым основанием и плитой расположить более мягкую песчаную прокладку. Основание будет двухслойным, состоящим из упругого полупространства и верхнего упругого слоя.

Задача эта для двухслойного основания с постоянной толщиной верхнего слоя была решена в 1937 г. и изло­ жена в Инструкции (Промзернопроекта). Было установ­ лено, что для двухслойного основания концентрация ре­ акций к краю плиты уменьшается, и фундаментная плита получается более экономичной.

Естественно возникает вопрос: при каких условиях изгибающие моменты в фундаментной плите будут ми­ нимальными? Может быть, можно сделать плиту, в кото­ рой моменты равны нулю? На первый взгляд кажется, что задача эта невыполнима. Более внимательное изуче­ ние задачи с помощью МКЭ показывает, что не так уж она безнадежна. Больше того, можно утверждать, что та­ кие плиты давно делают. В качестве примера можно назвать бесконечно-жесткую плиту, расположенную на Винклеровском основании и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой.

По условиям симметрии и благодаря специфическим свойствам этой модели упругого основания реакции ос­ нования также будут равномерно распределены по по­ дошве плиты и поэтому моменты во всех сечениях плиты равны нулю. Это позволяет сформулировать условия наи­ более благоприятного распределения реакций основания. Если реакции и внешняя нагрузка распределяются по од­ ному закону, то можно ожидать снижения изгибающих моментов. Другими словами, чем ближе эпюра реакций подходит к эпюре внешней нагрузки, тем более благо­ приятное распределение изгибающих моментов получа­ ется в плите. Это условие можно принять за один из критериев оптимального решения.

При двухслойном основании можно регулировать рас­ пределение реакций основания [18], изменяя толщину верхнего упругого слоя.

Упругая прослойка, расположенная между подошвой фундаментной плиты и основанием, может иметь пере­ менную толщину. Тогда плита будет распола­ гаться на упругом основании переменной жесткости, ко­ торую можно будет подобрать так, чтобы эпюра реакций совпадала с эпюрой нагрузки.

Например, если нагрузка равномерно распределена по площади плиты, то необходимо так подобрать закон из­ менения толщины прокладки, чтобы реакции тоже были равномерно распределены по площади плиты. Принци­ пиально найти решение такой задачи будет не особенно трудно, если использовать для этого ЭВМ.

Болес сложной задачей будет расчет плиты, к которой приложены сосредоточенные силы в виде реакции ко­ лонн. В этих точках на эпюре реакций должны быть так­ же сосредоточенные силы, но получить их можно будет благодаря значительному изменению жесткости основа­ ния на небольшом участке. Практическое выполнение этого требования встречает серьезные трудности, хотя теоретически эго и возможно.

При наличии внешних сосредоточенных сил эпюру реакций основания можно будет получить, используя для решения задачи метод конечных элементов и мате­ матическую теорию приближения функций.

Задача оптимизации будет решаться обычным мето­ дом путем отыскания минимального значения целевой функции, которая будет представлена в виде интеграла Стилтьеса. В ряде случаев задача оптимизации является однопараметрической и решение ее быстро будет най­ дено, В более сложных случаях целесообразно использо­ вать метод последовательных приближений. Оптимиза­ ция путем подбора наиболее благоприятного распреде­ ления реакций основания является только одним из критериев, с помощью которого затем можно провести оп­ тимизацию по изгибающим моментам и, наконец, опре­ делить оптимальную толщину плиты или минимальный расход материала и найти условия оптимальной стои­ мости фундаментной плиты.

Необходимо отметить, что решение задачи оптимиза­ ции фундаментной плиты существенно зависит от мест­ ных инженерно-геологических условий, поэтому должно базироваться на тщательном изучении данных изыс­ каний.

8.10.Плита на двухслойном основании

Рассмотрим балочную плиту, расположенную на двухслойном основании. Верхний слой имеет перемен­ ную толщину (рис. 96). Для дальнейших расчетов потре­ буется изучить симметричный случай нагружения, поэ­ тому при выводе формул начало координат расположим на оси симметрии плиты. Нагрузим плиту распределен­

ной нагрузкой, изменяющейся по произвольному закону, определяемому заданной функцией

По условиям задачи верхний слой переменной тол­ щины подчиняется гипотезе пропорциональности, поэтому если его отделить от упругого полупространства, то в каждой точке по длине плиты реакция между балкой и слоем и сила взаимодействия между слоем и полупрост­ ранством будут равны между собой. Это объясняется тем, что в таком слое в сечениях, расположенных по одной вертикали, но на разных глубинах, будут одина­ ковые вертикальные напряжения, т. е. каждый столбик, выделенный из слоя, можно рассматривать, как само­ стоятельный стержень-пружину, работающий независимо от других.

Оптимальное решение для (плиты получим, если ре­ акции между слоем и плитой будут распределяться по тому же закону, по какому распределяется заданная