книги / Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов

Пример.

σA = 0,0268; σв = 0,0350. Тогда:

θ A = 1− 0,04337 = 0,5663

Это означает, что если вкладчик планирует инвестировать 100 млн. руб. в активы А и В, то для формирования портфеля без риска ему необходимо приобрести актив А на сумму

100 млн.× 0,5663 = 56,63 млн. руб.

и актив В на

100 млн.× 0,4337 = 43,37 млн. руб.

13. 4. 3. Доминирующий портфель

Корреляция между доходностями двух финансовых инструментов в портфеле может изменяться от -1 до +1. На рис. 41 все возможные

комбинации портфелей, состоящих из двух активов с корреляцией -1, располагаются на прямых АС и СВ. Все комбинации портфелей для

251

носят более высокий уровень ожидаемой доходности при том же риске по сравнению с портфелями на участке DA. Сравним для наглядности портфели P1 и P2. Оба портфеля имеют риск равный Σ1, но ожидаемая доходность портфеля P2 больше ожидаемой доходности портфеля P1.

Если один портфель (актив) имеет более высокий уровень доходности при том же уровне риска или более низкий риск при той же доходности, чем остальные портфели (активы), то его называют доминирующим. Так, на рис. 44 портфель P2 будет доминирующим по отношению к портфелю P1, поскольку оба они имеют одинаковый риск (σ1), но доходность портфеля P2 (r2) больше доходности портфеля P1 (r1). Аналогично портфель P2 будет доминирующим по отношению к портфелю Р3, поскольку они оба имеют одинаковую доходность (r1), но риск портфеля P2 (σ2) меньше риска портфеля Р3 (σ3). В то же время, если сравнить портфели P1 и P4, то мы не можем сказать, что какой-нибудь из них является доминирующим по отношению к другому, поскольку они имеют разные значения как ожидаемой доходности, так и риска. Портфель P4 имеет как более высокую ожидаемую доходность, так и более высокий риск по сравнению с портфелем P1.

Рациональный инвестор всегда сделает выбор в пользу доминирующего портфеля, поскольку это наилучший выбор с точки зрения доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов других портфелей.

253

Если инвестор формирует портфель из двух активов, А и В, как показано на рис. 44, то в точке D он может получить для сочетания данных активов портфель с наименьшим уровнем риска. Чтобы его сформировать, необходимо найти удельные веса в портфеле активов А и В. Это можно сделать, продифференцировав уравнение (164) по ΘА и приравняв ее к нулю при условии, что

13. 4. 4. Риск портфеля, состоящего из двух активов с некоррелируемыми доходностями

Доходности двух активов не имеют корреляции, если графически их нельзя представить с той или иной степенью приближения в виде

254

восходящей или нисходящей прямой линии. Такой случай изображен на рис. 45. В этой ситуации коэффициент корреляции равен нулю и формула (158) принимает вид:

Пример.

σА = σв = 0, 2; θA = θв = 0, 5. Риск портфеля равен:

σ P 2 = (0,5)2 (0,2)2 + (0,5)2 (0,2)2 = 0,02

σ P = 0,02 = 0,141или 14,1%

Как видно из формулы (167) и приведенного примера, объединение в портфель активов с некоррелируемыми доходностями позволяет воспользоваться преимуществами диверсификации для снижения риска.

При отсутствии корреляции доходностей двух активов можно найти портфель с минимальным уровнем риска, если продифференцировать уравнение (167) по θA и приравнять его к нулю при условии, что θв = 1 - θA

(σ P 2 )'= (θ A 2σ A 2 +θB 2σ B 2 )

Откуда

Для того, чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей входящих в него активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух активов. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного, состоят в следующем:

1) Если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, то достигается только усреднение, а не уменьшение риска;

2) Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше, чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля достигается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности:

255

3)Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск портфеля;

4)Если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, то можно сформировать портфель без риска;

5)При формировании портфеля необходимо стремиться объединить в него активы с наименьшей корреляцией.

13. 5. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ НЕСКОЛЬКИХ АКТИВОВ

Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны и для портфеля, объединяющего большее количество активов.

Рассмотрим, каким образом определяется риск портфеля, состоящего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле

где: σр2 — риск портфеля;

θi — уд. вес i-гo актива в портфеле; θj — УДвес j-гo актива в портфеле;

Covi, j — ковариация доходности i-го и j-гo активов.

Для того, чтобы проиллюстрировать использование данной формулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех активов.

Пример.

Портфель состоит из трех бумаг — А, В и С; θA = 035; θв = 0, 45;

θс= 0, 2; σA2 = 0, 025; σв2 = 0, 048; σс2 = 0, 065; COVA, B = 0, 031; COVA, C = 0, 034; COVB, A = 0, 031; COVB, C = 0, 055; COVC, A = 0, 034; COVC, B= 0, 055.

Для наглядности сведем данные о дисперсии и ковариации бумаг в табл. 7.

Таблица 7. Ковариационная матрица

С0,034 0,055 0,065

Ковариационная матрица характеризуется тем, что ее диагональные члены являются дисперсиями случайных величин. В нашем слу-

256

чае это позиции АА, ВВ, СС. Остальные члены представляют собой ковариации доходностей активов.

что, раскрывая формулу, мы должны вначале взять значение i = 1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для i = 2 и т. д. В итоге мы получим п слагаемых. Расчеты по нашему примеру представлены в табл. 8.

Таблица 8. Определение дисперсии и стандартного отклонения.

Как уже отмечалось выше, для портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходности +1, риск представляет собой средневзвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого случая не наблюдается уменьшение риска, а происходит только его усреднение. Данный принцип сохраняется и для портфеля, насчитывающего много активов с корреляцией доходности +1. Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю, то риск портфеля рассчитывается по формуле

13. 6. ЭФФЕКТИВНЫЙ НАБОР ПОРТФЕЛЕЙ

Если объединить в портфель некоторое число активов, корреляция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфелей с различными параметрами риска и доходности, которые расположены в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 46.

Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис. 46, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором. Эффективный набор портфелей — это набор, состоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковцем в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при которых минимизируется значение стандартного отклонения для каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:

при условии, что

258

Другими словами, с помощью компьютерной программы необходимо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля определить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам Марковца. Неудобство его состоит в том, что при определения эффективной границы для портфеля, включающего много активов, необходимо произвести большое количество вычислений. Если портфель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых

доходностей и стандартных отклонений и n2 2− n ковариаций.

В результате для определения эффективной границы следует рас-

считать n(n2+1) отдельных показателей ожидаемой доходности, дис-

персий и ковариаций. Так, если мы определяем эффективную границу для портфеля из 5 активов, то необходимо получить 20 исходных данных, для 10 активов — уже 65, для 20 активов — 230, а для 30 активов — 495 данных и т. д. Таким образом, большое количество вычислений делает модель Марковца не очень удобной для решения задачи определения эффективной границы. Эта проблема в более простой форме решена в моделе У. Шарпа, которая будет представлена ниже.

13. 7. ПОРТФЕЛЬ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ АКТИВА БЕЗ РИСКА И РИСКОВАННОГО АКТИВА. КРЕДИТНЫЙ

И ЗАЕМНЫЙ ПОРТФЕЛИ

Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Один из них не несет риска, например, государственная облигация, другой — является рискованным активом. Как уже было сказано, риск портфеля, состоящего из двух активов, определяется по формуле

Поскольку один актив без риска, например актив В, то σв = 0 и CovA, B = 0. Поэтому формула (174) для отмеченного случая принимает вид:

и

где: А — рискованный актив.

Таким образом, риск портфеля, состоящего из актива без риска и рискованного актива, равен произведению риска рискованного актива и его удельного веса в портфеле. Ожидаемая доходность портфеля определяется уже по известной формуле (149). Графически зависимость между ожидаемым риском и ожидаемой доходностью представляет собой прямую линию, как показано на рис. 47. Изменяя уд. вес актива А, инвестор может построить портфель с различными характеристиками риска и доходности; все они располагаются на отрезке АВ, и их риск пропорционален уд. весу актива А. Представленный случай можно рассматривать как покупку инвестором рискованного актива А в сочетании с предоставление кредита (покупка актива В), поскольку приобретение актива без риска есть не что иное как кредитование эмитента. Поэтому портфели на отрезке АВ, например, С, называют кредитными портфелями.

Инвестор может строить свою стратегию не только на основе предоставления кредита, т. е. покупки актива без риска В, но и заимствуя средства под более низкий процент, чем ожидаемая доходность рискованного актива А, с целью приобретения на них актива А, чтобы

260